谜语大全儿童-

2021年1月26日发(作者：王四海)

莫利定理：
将任意三角形的各角三等分，则每两个角的相邻三等分线的交点构成一个 正三角形。


形的一
個頂
点，当然
D
就是△
BPC
的
內
心，因
為
BD, CD
正好是∠
CBP,
∠
BCP
的角平分线。


設
△
ABC
中的∠
B,
∠
C
的两条三等分 角线分
別
交于
P,
D
两个点（图
1
），按照莫利 定理，
D
是莫莱三角
莫利三角形的另两个頂点
E, F
应该分別落在
CP
和
BP
上，因此我们产生了一个念头，如果能夠在
CP,
BP
上找到
E, F
这两个点，使△
DEF
是个正三角形， 再证
AE
、
AF
正好是∠
BAC
的三等分线就行了

为此，先把
DP
连起來，在
CP, BP
上分別取两点
E, F
使∠
EDP
＝∠
FDP
＝
30
°
,于是就得到一个三角形
△
DEF
。为什么它是一个正三角形呢？因为
D< br>是△
BPC
的內心，所以
DP
是∠
BPC
的角平分线 ，即∠
DPE
＝∠
DPF
，由作图知∠
EDP
＝∠
FDP
＝
30
°
,
在△
DPE
和△
DPF
中，
DP
是公共边，而夹此边的两角又是对应相等的，
所以△
DPE
≌△
DPF
。于是
DE
＝
DF,
即△
DE F
是个等腰三角形，它的腰是
DE
和
DF
，而它的頂角又是
60
°，所
以它当然是个正三角形。

接下來，我们的目标就是希望能证明△
DEF
真的是莫利三角形，亦即
AE, AF
的确会三等分∠
BAC
。

如图
2
所示，在
AB, AC
上各取一点
G,H,
使得
BG
＝
BD, CH
＝
CD
，把
G
、
F
、
E
、
H
各点依次连起來，根
据△
BFD
≌△
BFG
，△
CED
≌△
CEH
，我们就得到
GF
＝
FD
＝
FE
＝
ED
＝
EH
。

下面，如果能 夠证明
G,F,E,H
，
A
五点共圆，則定理的证明就完成了，因为∠
GAF,
∠
FAE,
∠
EAH
这三个
圆周角所对的弦GF, FE, EH
都等長，因而这三个圆周角也就都相等了。

为了证明G,H,E,F
，
A
共圓，必须证明∠
FGE
＝∠
FH E
＝∠
A/3
。

看图
2
，首先我们注意到△GFE
是个等腰三角形，∠
GFE
是它的顶角，如果这个角能求出來，其底角∠< br>FGE
也就能求出来了。

△
PFE
也是一个等腰三角形，这 是因为△
PDF
≌△
PDE
，（
PD
是公用边，∠
DPF
＝∠
DPE
，∠
PDF
＝∠
PDE
＝
30
°），所以
PF=PE
。等腰三角形△
PFE
的顶角大小为：

∠
FPE=
π
-2/3
（∠
ABC+
∠
ACB
）
=
π
-2/3
（
π
-
∠
BAC
）
=
π
/3+2/3
∠
BAC
…… ………………………（
1
）

∠
BFD=
∠
PDF +
∠
DPF=
π
/6+1/2
∠
FPE=
π
/6+
π
/6+1/3
∠
BAC=
π
/3+1/3
∠
BAC
……………………

（
2
）

∠
GFE=2
π
-
∠
EFD-2
∠
BFD =2
π
-
π
/3-2
π
/3-2
∠
BAC /3=
π
-2/3
∠
BAC
…………………………

（
3
）

最后得到：
∠
FGE=
∠
FEG=1/2(
π
-
∠
GFE)=1/3
∠
BAC…
（
4
）
同理可证：
∠
FHE=
∠
H FE=1/3
∠
BAC
……………
（
5
）

至此可知
G,H,E,F
，
A
五点共圓。

因GF=FE=EH
，所以∠
GAF=
∠
FAE=
∠
EA H=1/3
∠
BAC
…（
6
）

即
AE< br>和
AF
恰好是∠
BAC
的三等分线，所以△
DEF
是 莫利三角形。



蝴蝶定理：
AB
是圆的一条弦，中点记 为
S
，圆心为
O
，过
S
作任意两条弦
CD
、
EF
，分别交圆
于
C
、
D
、
E
、
F
，连接
CF
,ED
分别交
AB
于点
M
、
N
，求证：
MS=NS
。


证明（一）

过
O
作
OL
⊥
AD
，
OT
⊥
CF
，垂足为
L
、
T
，连接ON
，
OM
，
OS
，
SL
，
ST
容易证明△
ESD
∽△
CSF


所以
ES/CS
＝
ED/FC
根据垂径定理得：
LD＝
ED/2
，
FT
＝
FC/2


所以
ES/CS
＝
EL/CT
又因为∠
E
＝∠
C



所以△
ESL
∽△
CST

所以∠
SLN
＝∠
STM
因为
S
是
AB
的中点


所以
OS
⊥
AB

所以∠
OSN
＝∠
OSN
＝
90°

所以∠
OSN+
∠
OSN
＝
180°

所 以
O
，
S
，
N
，
L
四点共圆



同理
O
，
T
，
M
，
S
四点共圆

所以∠
STM
＝∠
SOM
，∠
SLN
＝∠
SON


所以∠
SON
＝∠
SOM
，

因为
OS
⊥
AB











所以
MS
＝
NS
证明（二）

从
向和
和
作垂线，设垂足分别为
。现在，由于
和
。类似地，从
向
和
作垂线，设垂

足分别为

从这些等式，可以很容易看出：


由于
PM=MQ
现在
，


因此，我们得出结论：


，
也就是说
，
是
的中点。


清宫定理

：设
P
、
Q
为△
ABC
的外接圆上异于
A
、
B
、
C
的两点，
P
关于三边
BC
、
CA
、
AB
的对称点分别是
U、
V
、
W
，且
QU
、
QV
、
QW
分别交三边
BC
、
CA
、
AB
或其延长线于< br>D
、
E
、
F
，则
D
、
E
、
F
在同一直线上






证明

设
P
、
Q
为△
ABC
的外 接圆上异于
A
、
B
、
C
的两点，
P
关于三 边
BC
、
CA
、
AB
的对称点分别是
U
、
V
、
W
，且
QU
、
QV
、
QW< br>分别交三边
BC
、
CA
、
AB
或其延
长线于
D
、
E
、
F



这时，P
、
Q
两点和
D
、
F
、
E
、 三点有如下关系：




将三角形的三边或者其延长线作为镜面， 则从
P
点出发的光线照到
D
点经过
BC
反射以后通过
Q
点，从
P
点出发的光线照到
E
点经
AC
的延长 线反射后通过
Q
点，
从
P
点出发的光线照到
F
点后 通过
Q
点




从而，如果
P
、
Q
两点重合，则
D
、
E
、
F
三点成为从
P
（即
Q
）点向
BC
，
CA
，
A B
或者它们的延长线所引的垂线的垂足。于是，如果
P
、
Q
两点重合 ，
清宫定理就
成为西摩松定理。




我们决定 将证明清宫定理的方针确定如下：因为
D
、
E
、
F
三点中， 有两点在△
ABC
的边上，其余一点在边的延长线上，




如证明

（
BD/DC
）
·
（
CE/EA
）
·
（
AF/FB
）
=1
，




则根据梅涅劳斯定理的逆定理，就可证明
DEF
三点在同一直线上。




首先，
A
、
B
、
P
、
C
四点在同一圆周上，因此

∠
PCE=
∠
ABP



但是，点
P
和
V
关于
CA
对称

所以∠
PCV=2
∠
PCE



又因为
P
和Ｗ关于
AB
对称，所以

∠
PBW=2
∠
ABP



从这三个式子，有

∠
PCV=
∠
PBW



另一方面，因为∠
PCQ
和∠
PBQ
都是弦< br>PQ
所对的圆周角，所以

∠
PCQ=
∠
PBQ



两式相加，有

∠
PCV+
∠PCQ=
∠
PBW+
∠
PBQ



即∠
QCV=
∠
QBW
即△
QCV
和△
QBW
有一个顶角相等，因此




S
（△
QCV
）
/S
（△
Q BW
）
=
（
CV·
CQ
）
/
（
B W·
BQ
）




但是
CV=CP
，
BW=BP
，所以

S
（△
QCV
）
/S
（△
QBW
）
=
（CP·
CQ
）
/
（
BP·
BQ
）




同理
S
（△
QAW
）
/< br>Ｓ（△
QCU
）
=
（
AP·
AQ
）
/
（
CP·
CQ
）




S< br>（△
QBU
）
/S
（△
QAV
）
=
（
BP·
BQ
）
/
（
AP·
AQ
）




于是

（
BD/DC
）
·
（
CE/EA
）
·
（
AF/FB
）



=[S
（△
QBU
）
/S
（△
QCU
）
]·
[S
（△
QCV
）
/S
（ △
QAV
）
]·
[S
（△
QAW
）
/S< br>（△
QBW
）
]


=[S
（△
QBU
）
/S
（△
QAV
）
]·
[S
（△
QCV
）
/S
（△
QBW
）
]·
[S（△
QAW
）
/S
（△
QCU
）
]


=[
（
BP·
BQ)/
（
AP·
AQ< br>）
]·
[
（
CP·
CQ)/
（
BP·
BQ
）
]·
[
（
AP·
AQ)/
（
CP·
CQ
）
] =1



根据梅涅劳斯定理的逆定理，
D
、
E
、
F
三点在同一直线上

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