突破自我-

2021年1月26日发(作者：红妆电视剧)

第一篇

数与代数

第一节

数与式

一、实数

1.

实数的分类：整数(
包括
:
正整数、
0
、负整数
)
和
分 数
(
包括
:
有限小数和无限环循小数
)
都是
有理数
.
如
:
－
3, ,0.231,0.737373
…
, ,
等；无限不环循小数叫做
无理数
.
如
:
π
, , 0.1010010001
…
(
两个
1
之间依次多
1
个
0)
等
.
有理数和无理数统称为
实数
.

2.

数轴
：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。实数和数轴上的点一一对应。

3.

绝对值
：在数轴上表示数
a
的点到原点的距离叫 数
a
的绝对值，记作∣
a
∣。正数的绝对值
是它本身；负数的绝对值 是它的相反数；
0
的绝对值是
0
。如
:
丨－
_
丨
=
；丨
3.14
－
π
丨
=
π
－
3.14.
4.

相反数
：符号不同、绝对值相等 的两个数，叫做互为相反数。
a
的相反数是
-a
，
0
的相反 数
是
0
。

5.

有效数字
：一个
近似数
,
从左边笫一个不是
0
的数字起
,
到最末一个数字止
,
所有的数字
,
都叫
做这个近似数的有效数字.
如
:0.05972
精确到
0.001
得
0.060 ,
结果有两个有效数字
6,0.
6.

科学记数法
：把 一个数写成
a
×
10
n
的形式
(
其中
1< br>≤
a<10,n
是整数
),
这种记数法叫做科学记
数法
.
如
:407000=4.07
×
10
5
,0.000 043=4.3
×
10
－
5
.
7.

大小比较
：正数大于
0
，负数小于
0
，两个负数，绝对值大的反而小 。

8.

数的乘方：
求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂。


9
.
平方根
：一般地，如果一个数
x
的平方等于
a,
即
x
2
=a
那么这个数
a
就叫做
x< br>的平方根（也叫
做二次方根式）。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
0
只有一个平方根，它是
0
本身；
负数没有平方根．

10
．
开平方
：求一个数
a
的平方根的运算，叫做开平方．

11
．
算术平方根
：一般地，如果一个正数
x
的平方等于
a,< br>即
x
2
=a
，那么这个正数
x
就叫做
a的
算术平方根，
0
的算术平方根是
0
．

12
．
立方根
：
一般地，
如果一个数
x
的立方等于a,
即
x
3
=a
，
那么这个数
x
就叫 做
a
的立方根
（也
叫做三次方根）
,
正数的立方根是正数< br>;
负数的立方根是负数；
0
的立方根是
0
．

13
．
开立方
：求一个数
a
的立方根的运算叫做开立方．

14
．
平方根易错点
：（
1
）平方根与算术平方根不分，如
64
的平方根为士
8
，易丢掉－
8
，而
求为< br>64
的算术平方根；

（
2
）

的平方根是士

，误认为

平方根为士
2
，应知道

=2
．

15.
二次根式：

(1)
定义
:________________________________ ___________________
叫做二次根式
.
16
．
二次根式的化简：

17
．
最简二次根式应 满足的条件
：（
1
）被开方数的因式是整式或整数；（
2
）被开方数 中不含
有能开得尽的因数或因式．

18
．
同类二次根式
： 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根
式就叫做同类二次根式．

19
．
二次根式的乘法、除法公式

20
．
.
二次根式运算注意事项
：（
1
）
二次根式相加减
，先把各 根式化为最简二次根式，再合并
同类二次根式，
防止：
①该化简的没化简；
② 不该合并的合并；
③化简不正确；
④合并出错．
（
2
）
二次 根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，
运算结果一定写成最简二次根式
或整式．

21
．有理数加法法则
：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 异号两数相加，绝对
值相等时和为
0
；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用 较大的绝对值减去较小的
绝对值；一个数同
0
相加，仍得这个数．

22
．有理数减法法则
：减去一个数，等于加上这个数的相反数．


23
．有理数乘法法则
：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；任 何数与
0
相乘，积仍为
0
．

24
．有理数除法法 则
：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
0
除以任何
非
0
的数都得
0
；除以一个数等于乘以这个数的倒数．

25
．有理数的混合运算法则
：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的．

26
．有理数的运算律
：


加法交换律：

为任意有理数
)

加法结合律：
(a+ b
）
+c=a+(b+c)(a, b,c
为任意有理数
)
二
.
代数式：

（
1
）
用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
单独一个数或一个 字母也
是代数式。


（
2
）同类项：是指所含字母相同 ，并且相同字母的指数也相同的项。合并同类项的法则：系
数相加作系数，字母和字母的指数不变。
三
.
整式

1.
幂的运算性质：
①同底数幂 的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即

（
m
、
n< br>为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即

（a
≠
0
，
m
、
n
为正整数，
m>n< br>）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即

（
n
为正整数）；
④零指数：

（
a
≠< br>0
）；⑤负整数指数：
（
a
≠
0
，
n
为正整数）；


2.
整式的乘除法
:
①几个单项式相 乘除
,
系数与系数相乘除
,
同底数的幂结合起来相乘除
.
②单项式乘以多项式
,
用单项式乘以多项式的每一个项
.
③多项式乘以多项式
,
用一个多
_
项式的每一项分别乘以另一个多项 式的每一项
.
④多项式除以单项式
,
将多项式的每一项分别除以这个单项式
.
⑤平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方，即

；

⑥完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的
2< br>倍，即


3
．分解因式
：把一个多项式化成几个整式的积的 形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．

4
．分解因式的方法
：


⑴提公团式法：如果一个多 项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，
从而
将多项式化成两个因式乘积的形 式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．


⑵运用公式法：公式


；

5
．
分解因式的步骤
：
分解因式 时，
首先考虑是否有公因式，
如果有公因式，
一定先提取公团式，
然后再考虑 是否能用公式法分解．

6
．分解因式时常见的思维误区：

⑴

提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．

⑵

提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“
1
”易漏掉．

⑶

分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等

四
.
分式

1
．分式
：整式
A
除 以整式
B
，可以表示成的形式，如果除式
B
中含有字母，那么称为分式．
注：（
1
）若
B
≠
0
，则有意义；（
2
）若
B=0
，则无意义；（
2
）若
A=0
且< br>B
≠
0
，则
=0
2
．分式的基本性质< br>：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不
变．

3
．约分
：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分．
< br>4
．通分
：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分 式的通
分．


5
．分式的加减法法则
：（
1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；（
2
）异分母的
分式相加减， 先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算．

6
．分式的 乘除法法则
：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积
的分母；两 个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．

7
．通分注意事项< br>：（
1
）通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系救的最小公
倍 数与所有相同因式的最高次幂的积；（
2
）易把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去
分母，把分式中的分母丢掉．

8
．分式的混合运算顺序
，先算乘方，再算 乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．

9
．对于化简求
值的题型要注意解题格式，要先化简，

第二节

方程与不等式

一、一元一次方程


1
．方程：
含有未知数的等式叫方程．

2
．一 元一次方程
：只含有一个未知数，并且未知数的指数是
1
（次）系数不为
0< br>，这样的方程
叫一元一次方程．一般形式：
ax
＋
b=0
（< br>a
≠
0
）

3
．解一元一次方程的一般步骤及注意事项
：



二、二元一次方程（组）

1
．二元一次方程
：含有两个未知数，并 且所含未知数的项的次数都是
1
的方程叫做二元一次
方程．

2．二元一次方程组：
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程
组．

3
．二元一次方程组的解
：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做 这个二元一次方程组的
解．

4
．二元一次方程组的解法
．


（
1
）
代人消元法
：解方程组的基本思路是“消元”一 把“二元”变为“一元”，主要步骤是，
将其中一个方程中

的某个未知数用含有另一 个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未
知数，化二元一次方程组为一元一次 方程，
这种解方程组的方法称为代人消元法，
简称代人法．


（
2
）
加减消元法
：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，这种解 二元一次方程
组的方法叫做加减消元法，简称加减法．

三、分式方程


1
．分式方程
：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2.
解分式方程的步骤
:
①去分母
,
化为整式方程
;< br>②解整式方程
;
③验根
;
④下结论
.
3
．分式方程的增根问题
：⑴

增根的产生：分式方程本身隐含着分 母不为
0
的条件，当把分
式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大 了，如果转化后的整式方程的
根恰好使原方程中分母的值为
0
，那么就会出现不适合原 方程的根
l
增根；⑵

验根：因为解
分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．

四、一元二次方程

1
．一元二次方程
：只含有一个未知数，未知数 的最高次数是
2
，且系数不为
0
，这样的方程
叫一元二次方

程．一般形式：
ax
2＋
bx+c=0(a
≠
0
）

2
．一元二次方程的解法：

⑴

配方法
：配方法 是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用
配方法解一元二次方程：
ax
2
＋
bx+c=0(k
≠
0
）的一般步骤是：①化二 次项系数为
1
，即方程
两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一 次项，右边为常数项；③配
方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为
(x+m
）
2
=n
的形式；
⑤如果
n
≥
0
就可以用两边开平方来求出方程的解；如果
n=
＜
0
，则原方程无 解．


⑵

公式法
：
公式法是用求根公式求出一 元二次方程的解的方法．
它是通过配方推导出来的．
一
2
元二次方程的求根公 式是

(b
－
4ac
≥
0)
⑶

因式分解法
：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．它的理论根
据是 两个因式中至少要有一个等于
0
，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为
0
；②将方
程左边分解为两个一次因式的乘积；③令

每个因式等于
0
，得到两个一元一次方程，解这
两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．

3
．一元二次方程的注意事项：

⑴

在一元二次方程的一 般形式中要注意，
强调
a
≠
0
．因当
a=0
时，不 含有二次项，即不是一
元二次方程．如关于
x
的方程（
k
2
－
1
）
x
2
+2kx+1=0
中，当
k=
±
1
时就是一元一次方程了．

⑵

应用求根公式解一元二 次方程时应注意：
①化方程为一元二次方程的一般形式；
②确定
a
、
b
、
c
的值；③求出
b
2
－
4ac
的值； ④若
b
2
－
4ac
≥
0
，则代人求根公式，求出< br>x
1
,x
2
．若
b
2
－
4a＜
0
，则方程无解．

⑶

方程两边绝不能随便约去含 有未知数的代数式．如－
2(x
＋
4)
2
=3
（
x
＋
4
）中，不能随便约
去（
x
＋
4
）
⑷

注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌 握，解一元二
次方程的一般顺序是：
开平方法→因式分解法→公式法．

五、一元一次不等式
(
组
)


1
．不等式
：用不等号（“＜”“≤”“＞”“≥”）表示不等关系的式子．

2
．
不等式的基本性质
：
（）
不等式的两边都加上
（或减 去）
同一个整式，
不等号的方向不变．
（
2
）
不等式的两边 都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（
3
）不等式的两边都乘
以（或除 以）同一个负数，不等号的方向改变．

3
．不等式的解
：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．

4
．不等式的解集
：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集．

5
．解不等式
：求不等式解集的过程叫做解不等式．

6
． 一元一次不等式
：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
1
，系数不为零的不等 式
叫做一元一次不等式．

7
．解一元一次不等式易错点
：（
1
）不等式两边部乘以（或除以）同一个
负数
时，不等号的
方向要
改变
，
这是同学们经常忽略的地方，
一定要注意；
（
2
）< br>在不等式两边不能同时乘以
0
．

8

解一元一次不 等式的步骤
：①去分母，②去话号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为
1
9
．求不等式的正整数解，可负整数解等特解，可先求出这个不等式的所有解，再从中找出所
需特解．< br>
10
．一元一次不等式组
：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起 ，就组成一个一
元一次不等式组．

11
．一元一次不等式组的解集
：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这
个一元一次不等式组的解集．

12
．解不等式组
：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．

1 3
．不等式组的分类及解集
(a
＜
b
）
．

14
．解一元一次不等式组的步骤
：


（
1
）分别求出不等式组中各个不等式的解集

（
2
）利用数轴或口诀求出这些解集的公共部分，即这个不等式的解。


第三节

函数

一
.
平面直角坐标系

1
．平面直角坐标系
：


（
1
）在 平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系．通常，两条数轴
分别置于水平位置与铅 直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向．水平的数轴
叫做
x
轴或横轴， 铅直的数轴叫做
y
轴或纵轴，
x
轴和
y
轴统称坐标轴，它们 的公共原点
O
称为直角坐标系的原点．这个平面叫做坐标平面．



(2)
象限
:



二
.
一次函数

1
．一次函数
：若两个变量
x
、
y
间的关系式可以表示成
y=kx
＋
b(k
、
b
为常数，
k
≠
0
）的形式，
则称
y
是
x
的一次函数
(x
是自变量
,y
是因变量〕特别 地，当
b=0
时，称
y
是
x
的正比例函
数．

2
．一次函数的图象
：一次函数
y=kx+b
的图象是经过点< br>(0
，
b),(
－，
0
）的一条直线，正比例
函数
y=kx
的图象原点
(0
，
0
）的一条直线，如下表所示．

3.
一次函数的图象和性质
:
y=kx+b(k
、b
为常数
k
≠
0)
的图象是一条直线
(b
是直 线与
y
轴的交
点的纵坐标
).
当
k>0
时
, y
随
x
的增大而增大
(
直线从左向右上升
);
当
k<0
时
,y
随
x
的增大而
减小
(< br>直线从左向右下降
).
特别
:
当
b=0
时
, y=kx_
又叫做正比例函数
(y
与
x
成正比例
),
图象必过
原点；一次函数
y=kx+b
的图象是由正比例函数
y=kx< br>的图象沿
y
轴向上（
b>0
）或向下
(b<0)
平< br>移的到一条直线
,
三
.
反比例函数

1.
定义
:
_______________________________________ __________
的函数成为
反比例函数

2.
图象和性质
:
利用画函数图象的方法，
可以画出反比例函数的 图象，
它的图象是双曲线，
反比例函数
y=
具有如下的性质（见下表）①当< br>k
＞
0
时，函数的图象在第一、三象限，在每个
象限内，曲线从左到右 下降，也就是在每个象限内，
y
随
x
的增加而减小；②当
k
＜
0
时，函数
的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每 个象限内，
y
随
x
的
增加而增大．

四
.
二次函数

1.
定义
:__________ _________________________________________
的函数称为
二次函数

2.
图象和性质
:
函数

的图象是对称轴平行于
y
轴的抛物线；

①开口方向：当
a>0
时，抛物线开口向上，当
a<0
时，抛物线开口向下；

②对称轴：过点（

且平行于
y
轴的直线；③顶点坐标（

；

④增减性：当
a>0
时，如果

，则
y
随
x
的增大而减小，如果

，则
y
随
x
的增大而增大；当
a<0
时，如果

，则
y
随
x
的增大而增大，如果

，则
y
随
x
的增大而减小；

3
．图象的平移
：将二次函数
y=ax
2
(a
≠
0
）的图象进行平移，可得到
y=ax
2
＋
c
，< br>y=a(x
－
h)
2
，
y=a(x
－
h)< br>2
＋
k
的图象．

⑴

将
y=ax
2
的图象向上
(c
＞
0
）或向下
(c< 0
）平移
|c|
个单位，即可得到
y=ax
2
＋
c
的图象．其
顶点是（
0,c
）

形状、对称轴、开口方向与抛物线
y=ax
2
相同．

⑵

将
y=ax
2
的图象向左（
h<0
）
或向右
(h
＞
0
）
平移
|h|
个单位，即 可得到
y=a(x
－
h)
2
的图象．
其
顶点是（< br>h
，
0
），对称轴是直线
x=h
，形状、开口方向与抛物线< br>
y=ax
2
相同．

⑶

将
y= ax
2
的图象向左
（
h<0
）
或向右
(h
＞
0
）
平移
|h|
个单位，
再向上
(k>0)或向下
(k<0)
平移
|k|
个单位，即可得到
y=a(x－
h)
2
+k
的图象，其顶点是（
h
，
k< br>），对称轴是直线
x=h
，形状、
开口方向与抛物线
y=ax
2
相同．

4.
二次函数的图象与一元二次方程的根的关系
:
（
1
）一元二次方程

就是二次函数

当函数
y
的值为
0
时的情况．


（
2
）当二次函数

的图象与
x
轴有两个交点时，则一元二次方程

有两个不相等的实数根；当
二次函数

的图象与
x
轴有一个 交点时，
则一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝
0
有两个相等的实数根；
当二次函数
y
＝
ax
2
+ bx+c
的图象与
x
轴没有交点时，则一元二次方程

没有实数根．

第二篇

空间与图形

第一
节

图形的认识

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