复兴之路观后感-

2021年1月26日发(作者：吴美玲)
高中数理化公式大全
+
总复习

目

录


数学公式：
P1-20
页

物理公式：
P21-27
页

化学公式：
P28-35
页

生物公式：
P36-40
页

数学总复习：
P41-54
页

物理总复习：
P61-98
页

化学总复习：
P99-132
页

生物总复习：
133-224
页






高中的数学公式定理大全

三角函数公式表


同角三角函数的基本关系式



倒数关系
:
商的关系：

平方关系：



tan
α
·cot
α
＝
1

sin
α
·csc
α
＝
1

cos
α
·sec
α
＝
1 sin
α
/ cos
α
＝
tan
α
＝
sec
α
/csc
α


cos
α
/sin
α
＝
cot
α
＝
csc
α
/sec
α
sin2
α
＋
cos2
α
＝
1

1
＋
tan2
α
＝
sec2
α


1
＋
cot2
α
＝
csc2
α



（六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间
1”；记忆方法“对< br>角线上两个函数的积为
1
；
阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶
点的三角函数值的平方；
任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数
值的乘 积。”）






诱导公式（口诀
:
奇变偶不变，符号看象限。）



sin
（－
α
）＝－
sin
α


cos
（－
α
）＝
cos
α
tan
（－
α
）＝－
tan
α


cot
（－
α
）＝－
cot
α






sin
（
π
/2
－
α
）＝
cos
α


cos
（
π
/2
－
α
）＝
sin
α


tan
（
π
/2
－
α
）＝
cot
α


cot
（
π
/2
－
α
）＝
tan
α



sin
（
π
/2＋
α
）＝
cos
α


cos
（< br>π
/2
＋
α
）＝－
sin
α


tan
（
π
/2
＋
α
）＝－
cot
α


cot
（
π
/2
＋
α
）＝－
tan
α




sin
（
π
－
α
）＝
sin
α


cos
（
π
－
α
）＝－
cos
α


tan
（
π
－
α
）＝－
tan
α


cot
（
π
－
α
）＝－
cot
α



sin
（
π
＋
α
）＝－
sin
α


cos
（
π
＋
α
）＝－
cos
α


tan
（
π
＋
α
）＝
tan
α


cot
（
π
＋
α
）＝
cot
α




sin
（
3
π
/2
－< br>α
）＝－
cos
α


cos
（
3
π
/2
－
α
）＝－
sin
α


tan
（
3
π
/2
－
α
）＝
co t
α


cot
（
3
π
/2
－
α
）＝
tan
α



sin
（
3
π
/2
＋
α
）＝－
cos
α


cos
（
3
π
/2
＋
α
）＝
sin
α


tan
（
3
π
/ 2
＋
α
）＝－
cot
α


cot（
3
π
/2
＋
α
）＝－
tan
α



sin
（
2
π
－
α
）＝－
sin
α


cos
（
2π
－
α
）＝
cos
α


tan< br>（
2
π
－
α
）＝－
tan
α


cot
（
2
π
－
α
）＝－
c ot
α



sin
（
2k
π
＋
α
）＝
sin
α


cos
（
2k
π
＋
α
）＝
cos
α


tan
（
2k
π
＋
α
）＝
tan
α

cot
（
2k
π
＋
α
）＝cot
α


(
其中
k∈Z)






两角和与差的三角函数公式

万能公式



sin
（
α
＋
β
）＝
sin
α
cos
β
＋
cos
αsin
β


sin
（
α
－
β）＝
sin
α
cos
β
－
cos
α
s in
β


cos
（
α
＋
β
） ＝
cos
α
cos
β
－
sin
α
sin< br>β


cos
（
α
－
β
）＝cos
α
cos
β
＋
sin
α
sin
β



tan
α
＋
tan
β


tan
（
α
＋
β
）＝————————


1
－
tan
α
·tan
β



tan
α
－
tan
β


tan
（
α
－
β
）＝————————


1
＋
tan
α
·tan
β




2tan(
α
/2)

sin
α
＝——————


1
＋
tan2(
α
/2)


1
－
tan2(
α
/2)

cos
α
＝——————


1
＋
tan2(
α
/2)


2tan(
α
/2)

tan
α
＝——————


1
－
tan2(
α
/2)







半角的正弦、余弦和正切公式

三角函数的降幂公式









二倍角的正弦、余弦和正切公式

三倍角的正弦、余弦和正切公式



sin2
α
＝
2sin
α
cos
α



cos2
α
＝
cos2
α
－
sin2
α
＝
2cos2
α
－
1
＝
1< br>－
2sin2
α




2tan
α

tan2
α
＝—————


1
－
tan2
α


sin3
α
＝
3sin
α
－
4sin3
α


cos3
α
＝
4cos3
α
－
3cos
α



3tan
α
－
tan3
α


tan3
α
＝——————


1
－
3tan2
α









三角函数的和差化积公式

三角函数的积化和差公式





α
＋
β

α
－
β

si n
α
＋
sin
β
＝
2sin
———·cos———

2 2


α
＋
β

α
－
β

sin
α
－
sin
β< br>＝
2cos
———·sin———

2 2


α
＋
β

α
－
β

co s
α
＋
cos
β
＝
2cos
———·cos———







2 2


α
＋
β

α
－
β


cos
α
－
cos
β
＝－
2sin
——— ·sin———


2 2

1
sin
α
·cos
β
＝
-[sin
（
α
＋
β
）＋
sin
（
α－
β
）
]

2

1

cos
α
·sin
β
＝
-[sin
（
α
＋
β
）－
sin
（
α
－
β
）]

2

1

cos
α
·cos
β
＝
-[cos
（
α
＋
β
）＋< br>cos
（
α
－
β
）
]

2

1

sin
α
·sin
β
＝—
-[cos
（
α
＋
β
） －
cos
（
α
－
β
）
]

2







化
asin
α

±bcos
α
为一个角的一个三角 函数的形式
（辅助角的三角函数的公式


集合、函数


集合

简单逻辑


任一
x∈A x∈B，记作
A B

A B
，
B A A
＝
B

A B
＝{x|x∈A，且
x∈B}


A B
＝{x|x∈A，或
x∈B}



card
（
A B
）＝
card
（
A
）< br>+card
（
B
）－
card
（
A B
）


（
1
）命题


原命题

若
p
则
q

逆命题

若
q
则
p

否命题

若
p
则
q

逆否命题

若
q
，则
p

（
2
）四种命题的关系


（
3
）
A B
，
A
是
B
成立的充分条件


B A
，
A
是
B
成立的必要条件


A B
，
A
是
B
成立的充要条件



函数的性质

指数和对数


（
1
）定义域、值域、对应法则


（
2
）单调性


对于任意
x1
，x2∈D


若
x1
＜
x2 f
（
x1
）＜
f
（
x2
），称
f
（
x
）在
D
上是增函数< br>

若
x1
＜
x2 f
（
x1
） ＞
f
（
x2
），称
f
（
x
）在
D
上是减函数


（
3
）奇偶性

< br>对于函数
f
（
x
）的定义域内的任一
x
，若
f
（－
x
）＝
f
（
x
），称
f
（
x
）是偶函
数


若
f
（－
x
）＝－
f
（
x
），称
f
（
x
）是 奇函数


（
4
）周期性


对于函 数
f
（
x
）的定义域内的任一
x
，若存在常数
T< br>，使得
f
（
x+T
）＝
f(x)
，则
称f
（
x
）是周期函数

（
1
）分数指数幂


正分数指数幂的意义是



负分数指数幂的意义是



（
2
）对数的性质和运算法则



loga
（
MN
）＝
logaM+logaN


logaMn
＝
nlogaM
（n∈R）





指数函数

对数函数


（
1
）
y
＝
ax
（
a
＞
0，a≠1）叫指数函数


（
2
）x∈R，
y
＞
0

图象经过（
0
，
1
）


a
＞
1
时，
x
＞
0
，
y
＞
1
；
x
＜
0
，
0
＜
y
＜
1

0
＜
a
＜
1
时，
x
＞
0
，
0
＜
y
＜
1
；
x
＜
0
，
y
＞
1

a
＞
1
时，
y
＝
ax
是增函数


0
＜
a
＜
1
时，
y
＝
ax
是减函数

（
1
）
y
＝
logax
（
a
＞
0
，a≠1）叫对数函数


（
2
）
x
＞
0
，y∈R


图象经过（
1
，
0
）


a
＞
1
时，
x
＞
1
，
y
＞
0
；
0
＜
x
＜
1
，
y
＜
0

0
＜
a
＜
1
时，
x
＞
1
，
y
＜
0
；
0
＜
x
＜
1
，
y
＞
0

a
＞
1
时，
y
＝
logax
是增函数


0
＜a
＜
1
时，
y
＝
logax
是减函数


指数方程和对数方程


基本型


logaf(x)
＝
b f
（
x
）＝
ab
（
a
＞
0
，a≠1）


同底型



logaf
（
x
）＝
logag
（
x
）
f
（
x
）＝
g
（
x
）＞
0
（
a
＞
0
，a≠1）


换元型
f
（
ax
）＝
0
或
f (logax)
＝
0


数列


数列的基本概念

等差数列


（
1
） 数列的通项公式
an
＝
f
（
n
）


（
2
）数列的递推公式


（
3
）数列的通项公式与前
n
项和的关系



an+1
－
an
＝
d

an
＝
a1+
（
n
－
1
）
d

a
，
A
，
b
成等差
2A
＝
a+b

m+n
＝
k+l am+an
＝
ak+al



等比数列

常用求和公式


an
＝
a1qn
＿
1

a
，
G
，
b
成等比
G2
＝
ab

m+n
＝
k+l aman
＝
akal



不等式



不等式的基本性质

重要不等式


a
＞
b b
＜
a

a
＞
b
，
b
＞
c a
＞
c

a
＞
b a+c
＞
b+c

a+b
＞
c a
＞
c
－
b

a
＞
b
，
c
＞
d a+c
＞
b+d

a
＞
b
，
c
＞
0 ac
＞
bc

a
＞
b
，
c
＜
0 ac
＜
bc

a
＞
b
＞
0
，
c
＞
d
＞
0 ac
＜
bd

a
＞
b
＞
0 dn
＞
bn
（n∈Z，
n
＞
1
）


a
＞
b
＞
0
＞

（n∈Z，
n
＞
1
）


（
a
－
b
）2≥0


a
，b∈R a2+b2≥2ab





|a|
－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|


证明不等式的基本方法


比较法


（1
）要证明不等式
a
＞
b
（或
a
＜
b
），只需证明


a
－
b
＞
0
（或
a
－
b
＜
0
＝即可


（
2
）若
b
＞
0
，要证
a
＞
b，只需证明

，


要证
a
＜
b
，只需证明


综合法

综合法就是从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出
欲证的不等式（由因导果）的方法。


分析法

分析法是从寻 求结论成立的充分条件入手，逐步寻求所需条件成立的充
分条件，直至所需的条件已知正确时为止，明显 地表现出“持果索因”



复数


代数形式

三角形式


a+bi
＝
c+di a
＝
c
，
b
＝
d


（a+bi
）
+
（
c+di
）＝（
a+c
）+
（
b+d
）
i

（
a+bi
） －（
c+di
）＝（
a
－
c
）
+
（
b
－
d
）
i

（
a+bi
）（
c+di
）＝（
ac
－
bd
）
+
（
bc+ad
）
i



a+bi
＝
r
（
cos
θ
+isin< br>θ
）


r1
＝（
cos
θ
1+ isin
θ
1
）•r2（
cos
θ
2+isin
θ
2
）


＝r1•r2〔
cos
（
θ< br>1+
θ
2
）
+isin
（
θ
1+
θ
2
）〕


〔
r
（
cos
θ< br>+sin
θ
）〕
n
＝
rn
（
cosn
θ
+isinn
θ
）





k
＝
0
，
1
，……，
n
－
1


解析几何




1
、直线


两点距离、定比分点

直线方程


|AB|
＝
| |

|P1P2|
＝



y
－
y1
＝
k(x
－
x1)

y
＝
kx
＋
b



两直线的位置关系

夹角和距离



或
k1
＝
k2
，且
b1≠b2


l1
与
l2
重合


或
k1
＝
k2
且
b1
＝
b2

l1
与
l2
相交


或
k1≠k2


l2⊥l2


或
k1k2
＝－
1 l1
到
l2
的角



l1
与
l2
的夹角



点到直线的距离




2.
圆锥曲线


圆

椭


圆


标准方程
(x
－
a)2
＋
(y
－
b)2
＝
r2

圆心为
(a
，
b)
，半径为
R

一般 方程
x2
＋
y2
＋
Dx
＋
Ey
＋
F
＝
0

其中圆心为
( ),

半径
r

(1)
用圆心到直线的距离
d
和圆的 半径
r
判断或用判别式判断直线与圆的位置关
系


(2)
两圆的位置关系用圆心距
d
与半径和与差判断

椭圆


焦点
F1(
－
c
，
0 )
，
F2(c
，
0)

(b2
＝
a2
－
c2)

离心率


准线方程


焦半径
|MF1|
＝
a
＋
ex0
，
|MF2|
＝
a
－
ex0

双曲线

抛物线


双曲线


焦点
F1(
－
c
，
0)
，
F 2(c
，
0)

(a
，
b
＞
0
，
b2
＝
c2
－
a2)

离心率


准线方程


焦半径
|MF1|
＝
ex0
＋
a
，
|MF2|
＝
ex0
－
a
抛物线
y2
＝
2px(p>0)

焦点
F

准线方程



坐标轴的平移



这里
(h
，
k)
是新坐标系的原点在原坐标系中的坐标。

1
．集合元素具有①确定性②互异性③无序性

2
．集合表示方法①列举法

②描述法

③韦恩图

④数轴法

3
．集合的运算

⑴ A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

⑵ Cu(A∩B)=CuA∪CuB

Cu(A∪B)=CuA∩CuB

4
．集合的性质

⑴n
元集合的子集数：
2n
真子集数：
2n-1
；非空真子集数：
2n-2
高中数学概念总结

一、

函数

1
、

若集合
A
中有
n
个元素，则集合
A
的所有不同的子集个数为

，所有非空真
子集的个数是

。

二次函数

的图象的对称轴方程是

，顶点坐标是

。用待定系数法求二次函数的
解析式时，解析式的设法有三种形式，即

，

和



（顶点式）。

2
、

幂函数


，当
n
为正奇 数，
m
为正偶数，
m时，其大致图象是




3
、

函数

的大致图象是


由图象知，函数的值域是

，单调递增区间是

，单调递减区间是

。

二、

三角函数

1
、

以角

的顶点为坐标原点，
始边为
x
轴正半轴建立直角坐标系，
在角

的终边
上任取一个异于原点的点

，
点
P
到原点的距离记为

，
则
sin
=
，
cos
=
，
tg
=
，
ctg =
，
sec =
，
csc =
。

2
、同角三角函数的关系中，平方关系是：

，

，

；

倒数关系是：

，

，

；

相除关系是：

，

。

3
、
诱导公式可用十个字概括为：
奇变偶不变，
符号看象限。
如：


，
=
，


。

4
、

函数


的最大值是

，最小值是

，周期是

，频率是

，相位是

，初相是

；
其图象的对称轴是直线

，凡是该图象与直线

的交点都是该图象的对称中心。

5
、

三角函数的单调区间：





的递增区间是


，
递减区间是


；

的递增区间是


，
递减区间是


，

的递增区间是


，

的递减区间是


。

6
、









7
、二倍角公式是：
sin2 =
cos2 = = =
tg2 =
。

8
、三倍角公式是：
sin3 =

cos3 =
9
、半角公式是：
sin =





cos =
tg = = =
。

10
、升幂公式是：









。

11
、降幂公式是：








。

12
、万能公式：
sin =


cos =


tg =
13
、
sin( )sin( )=
，

cos( )cos( )= =
。

14
、
=
；




=
；




=
。

15
、
=
。

16
、
sin180=
。

17
、特殊角的三角函数值：






0











sin
0





1 0

cos
1





0

0
tg
0

1


不存在
0
不存在

ctg

不存在


1

0
不存在
0

18
、正弦定理是（其中
R
表示三角形的外接圆半径）：

19
、由余弦定理第一形式，
=




由余弦定理第二形式，
cosB=
20
、△ABC
的面积用S
表示，外接圆半径用
R
表示，内切圆半径用
r
表示，半周长用
p
表示则：

① ；② ；

③ ；④ ；

⑤ ；⑥

21
、三角学中的射影定理：在△ABC 中，

，…

22
、在△ABC 中，

，…

23
、在△ABC 中：



















24
、积化和差公式：

① ，

② ，

③ ，

④ 。

25
、和差化积公式：

① ，

② ，

③ ，

④ 。

三、

反三角函数

1
、

的定义域是
[-1
，
1]
，值域是

，奇函数，增函数；





的定义域是
[-1
，
1]
，值域是

，非奇非偶，减函数；





的定义域是
R
，值域是

，奇函数，增函数；





的定义域是
R
，值域是

，非奇非偶，减函数。

2
、当

；
















































对任意的

，有：












当

。

3
、最简三角方程的解集：


四、

不等式

1
、若
n
为正奇数，由

可推出

吗？

（

能

）

若
n
为正偶数呢？


（

均为非负数时才能）

2
、同向不等式能相减，相除吗






（不能）

能相加吗？




















（

能

）

能相乘吗？




















（能，但有条件）

3
、两个正数的均值不等式是：




三个正数的均值不等式是：



n
个正数的均值不等式是：

4
、两个正数

的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是


6
、

双向不等式是：

左边在

时取得等号，右边在

时取得等号。

五、

数列

1
、等差数列的通项公式是

，前
n
项和公式是：


=
。

2
、等比数列的通项公式是

，

前
n
项和公式是：

3
、当等比数列

的公比
q
满足
<1
时，
=S=
。一般地，如果无穷数列

的前
n
项
和的极限
< br>存在，就把这个极限称为这个数列的各项和（或所有项的和），用
S
表示，即
S =
。

4
、若
m
、
n
、
p
、q∈N，且

，那么：当数列

是等差数列时，有

；当数列

是等
比数列时，有

。

5
、

等差数列

中，若
Sn=10
，
S2n=30
，则
S3n=60
；

6
、等比数列

中，若
Sn=10
，
S2n=30
，则
S3n=70
；

六、

复数

1
、


怎样计算？（先求
n
被
4
除所得的余数，

）

2
、


是
1
的两个虚立方根，并且：






































3
、

复数集内的三角形不等式是：

，其中左边在复数
z1
、
z 2
对应的向量共线且
反向（同向）时取等号，右边在复数
z1
、
z2
对应的向量共线且同向（反向）时
取等号。

4
、

棣莫佛定理是：

5
、

若非零复数

，则
z
的
n
次方根有
n
个，即：


它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？

都位于圆心在原点，半径为

的圆上，并且把这个圆
n
等分。

6
、

若

，复数
z1
、
z2
对应的点分别是
A
、
B
，则△AOB（
O
为坐标原点）的面积
是

。

7
、

=
。

8
、

复平面内复数
z
对应的点的几个基本轨迹：




① 轨迹为一条射线。




② 轨迹为一条射线。




③ 轨迹是一个圆。




④ 轨迹是一条直线。




⑤ 轨迹有三种可能情形：
a)
当

时，轨迹为椭圆；
b)
当

时，轨迹为一条线
段；
c)
当

时，轨迹不存在。





⑥ 轨迹有三种可能情形：
a)
当

时，轨迹为双曲线；
b)
当

时，轨迹为
两条射线；
c)
当

时，轨迹不存在。

七、

排列组合、二项式定理

1
、

加法原理、乘法原理各适用于什么情形？有什么特点？

加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关。

2
、排列数公式是：
= =
；




排列数与组合数的关系是：




组合数公式是：
= =
；




组合数性质：
=



+ =
=







=

3
、

二项式定理：


二项展开式的通项公式：



八、

解析几何

1
、

沙尔公式：

2
、

数轴上两点间距离公式：

3
、

直角坐标平面内的两点间距离公式：


4
、

若点
P
分有向线段

成定比
λ
，则
λ
=
5
、

若点

，点
P
分有向线段

成定比
λ
，则：
λ
= =
；









=












=







若

，则△ABC
的重心
G
的坐标是

。

6
、求直线斜率的定义式为
k=
，两点式为
k=
。

7
、直线方程的几种形式：

点斜式：

，

斜截式：





两点式：

，

截距式：




一般式：








经过两条直线

的交点的直线系方程是：

8
、

直线

，则从直线

到直线

的角
θ
满足：

直线

与

的夹角
θ
满足：

直线

，则从直线

到直线

的角
θ
满足：

直线

与

的夹角
θ
满足：

9
、

点

到直线

的距离：


10
、两条平行直线

距离是


11
、圆的标准方程是：

圆的一般方程是：

其中，半径是

，圆心坐标是

思考：方程

在

和

时各表示怎样的图形？

12
、若

，则以线段
AB
为直径的圆的方程是






经过两个圆

，

的交点的圆系方程是：






经过直线

与圆

的交点的圆系方程是：

13
、圆

为切点的切线方程是


一般地，曲线

为切点的切线方程是：

。例如，抛物线

的以点

为切点的切线方
程是：

，即：

。

注意：
这个结论只能用来做选择题或者填空题，
若是做解答题，
只能按照求切线
方程的常规过程去做。

14
、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种，即：





①判别式法：
Δ
>0
，
=0
，
<0
，等价于直线与圆相交、相切、相离；




< br>②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系：
距离大于半径、
等于半径、
小于半 径，等价于直线与圆相离、相切、相交。

15
、抛物线标准方程的四种形式是：


16
、抛物线

的焦点坐标是：

，准线方程是：

。





若点

是抛物线

上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）
是：

，过该抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦（称为通径）的长是：

。

17
、椭圆标准方程的两种形式是：

和

。

18
、椭圆


的焦点坐标是

，准线方程是

，离心率是

，通径的长是

。其中

。

19
、若点

是椭圆


上一点，

是其左、右焦点，则点
P
的焦半径的长是

和

。

20
、双曲线标准方程的两种形式是：

和

。

21
、双曲线

的焦点坐标是

，准线方程是

，离心率是

，通径的长是

，渐近线
方程是

。其中

。

22
、与双曲线

共渐近线的双曲线系方程是


。与双曲线

共焦点的双曲线系方
程是

。

23
、若直线

与圆锥曲线交于两点
A(x1
，
y 1)
，
B(x2
，
y2)
，则弦长为




；





若直线

与圆锥曲线交于两点
A(x1
，
y1)
，
B(x2
，y2)
，则弦长
为






。



24
、
圆锥曲线的焦参数
p< br>的几何意义是焦点到准线的距离，
对于椭圆和双曲线都
有：

。

25
、平移坐标轴，使新坐标系的原点

在原坐标系下 的坐标是（
h
，
k
），若点
P
在原坐标系下的坐标是

在新坐标系下的坐标是

，则
=
，
=
。

九、

极坐标、参数方程

1
、

经过点

的直线参数方程的一般形式是：

。

2
、

若直线

经过点

，则直线参数方程的标准形式是：

。其中点
P
对应的参数
t
的几何意义是：有向线段

的数量。

若点
P1
、
P2
、
P
是直线

上的点，
它们在上述参数方程中对应的参数分别是

则：

；
当点
P
分有向线段

时，

；当点
P
是线段
P1P2
的中点时，

。

3
、圆心在点

，半径为

的圆的参数方程是：

。

3
、

若以直角坐标系的原点为极点，
x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点
P
的极
坐标为

直角坐标为

，则


，


，

。

4
、

经过极点，倾斜角为

的直线的极坐标方程是：

，

经过点

，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是：

，

经过点

且平行于极轴的直线的极坐标方程是：

，

经过点

且倾斜角为

的直线的极坐标方程是：

。

5
、

圆心在极点，半径为
r
的圆的极坐标方程是

；

圆心在点

的圆的极坐标方程是

；

圆心在点

的圆的极坐标方程是

；

圆心在点

，半径为

的圆的极坐标方程是

。

6
、

若点
M
、
N
，则


。

十、

立体几何

1
、求二面角的射影公式是

，其中各个符号的含义是：

是二面角的一个面内图
形
F
的面积，

是图形
F
在二面角的另一个面内的射影，

是二面角的大小。

2
、
若直线

在平面

内的射影是直线

，
直线
m
是平面

内经过

的斜足的一条直线，

与

所成的角为

，

与
m
所成的角为
,

与
m
所成的角为
θ
，则这三个角之间
的关系是

。

3
、体积公式：




柱体：

，圆柱体：

。




斜棱柱体积：

（其中，

是直截面面积，

是侧棱长）；




锥体：

，圆锥体：

。




台体：

，




























圆
台体：




球体：

。

4
、

侧面积：

直棱柱侧面积：

，斜棱柱侧面积：

；

正棱锥侧面积：

，正棱台侧面积：

；

圆柱侧面积：

，圆锥侧面积：

，

圆台侧面积：

，球的表面积：

。

5
、几个基本公式：




弧长公式：

（

是圆心角的弧度数，
>0
）；




扇形面积公式：


；




圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式：

；




圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式：

。




经过圆锥顶点的最大截面的面积为
（圆锥的母线长为

，
轴截面顶角是
θ
）
：


十一、比例的几个性质

1
、比例基本性质：

2
、反比定理：

3
、更比定理：

5
、

合比定理；

6
、

分比定理：

7
、

合分比定理：

8
、

分合比定理：

9
、

等比定理：若

，

，则

。

十二、复合二次根式的化简


当

是一个完全平方数时，对形如

的根式使用上述公式化简比较方便。




⑵并集元素个数：

n(A∪B)=nA+nB
-
n(A∩B)

5
．
N
自然数集或非负整数集

Z
整数集
Q
有理数集
R
实数集

6
．简易逻辑中符合命题的真值表

p
非
p
真

假

假

真

二．函数

1
．二次函数的极点坐标：

函数

的顶点坐标为

2
．函数

的单调性：

在

处取极值

3
．函数的奇偶性：

在定义域内，若

，则为偶函数；若

则为奇函数。





1
过两点有且只有一条直线

2
两点之间线段最短

3
同角或等角的补角相等

4
同角或等角的余角相等

5
过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7
平行公理

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8
如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9
同位角相等，两直线平行

10
内错角相等，两直线平行

11
同旁内角互补，两直线平行

12
两直线平行，同位角相等

13
两直线平行，内错角相等

14
两直线平行，同旁内角互补

15
定理

三角形两边的和大于第三边

16
推论

三角形两边的差小于第三边

17
三角形内角和定理

三角形三个内角的和等于
180°

18
推论
1
直角三角形的两个锐角互余

19
推论
2
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20
推论
3
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21
全等三角形的对应边、对应角相等

22
边角边公理
(SAS)
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23
角边角公理
( ASA)
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24
推论
(AAS)
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25
边边边公理
(SSS)
有三边对应相等的两个三角形全等

26
斜边、
直角边公理
(HL)
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27
定理
1
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28
定理
2
到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30
等腰三角形的性质定理

等腰三角形的两个底角相等
(
即等边对等角）

31
推论
1
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33
推论
3
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于
60°

34
等腰三角形的判定定理

如果一个三角形有两个角相等，
那么这两个角所对的
边也相等（等角对等边）

35
推论
1
三个角都相等的三角形是等边三角形

36
推论
2
有一个角等于
60°的等腰三角形是等边三角形

37
在直角三 角形中，
如果一个锐角等于
30°那么它所对的直角边等于斜边的一
半

38
直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39
定理

线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等


40
逆定理

和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41
线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42
定理
1
关于某条直线对称的两个图形是全等形

43
定理
2
如果两个图形关于某直线对称，
那么对称轴是对应点连线的垂直平分
线

44
定理
3
两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么
交点在对称轴上

45
逆定理

如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，
那 么这两个图形
关于这条直线对称

46
勾股定理

直角三 角形两直角边
a
、
b
的平方和、等于斜边
c
的平方，即a^2+b^2=c^2
47
勾股定理的逆定理

如果三角形的三边 长
a
、
b
、
c
有关系
a^2+b^2=c^2
，
那么
这个三角形是直角三角形

48
定理

四边形的内角和等于
360°

49
四边形的外角和等于
360°

50
多边形内角和定理
n
边形的内角的和等于（
n-2
）×180°


--- -------------------------------------------------- ----------------
-----------
51
推论

任意多边的外角和等于
360°

52
平行四边形性质定理
1
平行四边形的对角相等

53
平行四边形性质定理
2
平行四边形的对边相等

54
推论

夹在两条平行线间的平行线段相等

55
平行四边形性质定理
3
平行四边形的对角线互相平分

56
平行四边形判定定理
1
两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57
平行四边形判定定理
2
两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58
平行四边形判定定理
3
对角线互相平分的四边形是平行四边形

59
平行四边形判定定理
4
一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60
矩形性质定理
1
矩形的四个角都是直角

61
矩形性质定理
2
矩形的对角线相等

62
矩形判定定理
1
有三个角是直角的四边形是矩形

63
矩形判定定理
2
对角线相等的平行四边形是矩形

64
菱形性质定理
1
菱形的四条边都相等

65
菱形性质定理
2
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66
菱形面积
=
对角线乘积的一半，即
S=
（a×b）÷2

67
菱形判定定理
1
四边都相等的四边形是菱形

68
菱形判定定理
2
对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69
正方形性质定理
1
正方形的四个角都是直角，四条边都相等

70
正方形性质定理
2
正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对 角
线平分一组对角

71
定理
1
关于中心对称的两个图形是全等的

72
定理
2
关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称
中心平分

73
逆定理

如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一

点平分，那
么这两个图形关于这一点对称

74
等腰梯形性质定理

等腰梯形在同一底上的两个角相等

75
等腰梯形的两条对角线相等

76
等腰梯形判定定理

在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77
对角线相等的梯形是等腰梯形

78
平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段

相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

79
推论
1
经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

80
推论
2
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第

三边

81
三角形中位线定理

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它

的一半

82
梯形中位线定理

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的

一半
L=
（
a+b
）÷2 S=L×h

83 (1)
比例的基本性质

如果
a:b=c:d,
那么
ad=bc
如果
ad=bc,
那么
a:b=c:d wc
呁/S∕?

84 (2)
合比性质

如果
a
／
b=c
／
d,
那么(a±b)／b=(c±d)／
d
85 (3)
等比性质

如果
a
／
b=c
／d=…=m／
n(b+d+
…+n≠0),那么

(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／
b
86
平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应

线段成比例

87
推论

平行于三角形一边的直线截其 他两边
（或两边的延长线）
，
所得的对应
线段成比例

88
定理

如果一条直线截三角形的两边
（或两边的延长线）所得的对应线段成比
例，那么这条直线平行于三角形的第三边

89
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边
与原三角形三边对应成比例< br>
90
定理

平行于三角形一边的直线和其他两边
（或两 边的延长线）
相交，
所构成
的三角形与原三角形相似

91
相似三角形判定定理
1
两角对应相等，两三角形相似（
ASA
）

92
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93
判定定理
2
两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（
SAS
）

94
判定定理
3
三边对应成比例，两三角形相似（
SSS
）

95
定理

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三

角形的斜边
和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

96
性质定理
1
相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平

分线的比都
等于相似比

97
性质定理
2
相似三角形周长的比等于相似比

98
性质定理
3
相似三角形面积的比等于相似比的平方

99
任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，
任意锐角的余弦值等

于它的余角
的正弦值

100
任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等

于它的余
角的正切值


------------------ -------------------------------------------------- -
-----------

101
圆是定点的距离等于定长的点的集合

102
圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103
圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104
同圆或等圆的半径相等

105
到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半

径的圆

106
和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直

平分线

107
到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

108
到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距

离相等的
一条直线

109
定理

不在同一直线上的三点确定一个圆。

110
垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111
推论
1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

112
推论
2
圆的两条平行弦所夹的弧相等

113
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114
定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦

相等，所对
的弦的弦心距相等

115
推论

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两

弦的弦心距
中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

116
定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117
推论
1
同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的
弧也相等

118
推论
2
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所

对的弦是直
径

119
推论
3
如果三角形一边上的中线等于这边的一半，
那么这个三角形是直角三
角形

120
定理

圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它

的内对角

121①直线
L
和⊙O
相交
d
＜
r
②直线
L
和⊙O
相切
d=r
③直线
L
和⊙O
相离
d
＞
r ?
122
切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

123
切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点的半径

124
推论
1
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125
推论
2
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126
切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，

圆心和这一
点的连线平分两条切线的夹角

127
圆的外切四边形的两组对边的和相等

128
弦切角定理

弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129
推论

如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

130
相交弦定理

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积

相等

131
推论

如果弦与直径垂直相交，
那么弦的一半是它分直径所成的

两条线段的
比例中项

132
切割线定理

从圆外一点引圆的切线和割线，
切线长是这点到割

线与圆交点
的两条线段长的比例中项

133
推论

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线
段长的积相等

134
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

135①两圆外离
d
＞R+r ②两圆外切
d=R+r
③两圆相交
R-r
＜
d
＜
R+r(R
＞
r)

④两圆内切
d=R-r(R
＞r) ⑤两圆内含
d
＜
R-r(R
＞
r)
136
定理

相交两圆的连心线垂直平分两圆的公
*
弦

137
定理

把圆分成
n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正
n
边形

⑵经过 各分点作圆的切线，
以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正
n
边形

138
定理

任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

139
正
n
边形的每个内角都等于（
n-2
）×180°／
n
140
定理

正
n
边形的半径和边心距把正
n边形分成
2n
个全等的直角三角形

141
正
n
边形的面积
Sn=pnrn
／
2 p
表示正
n
边形的周长

142
正三角形面积√3a／
4 a
表示边长

143< br>如果在一个顶点周围有
k
个正
n
边形的角，由于这些角的和应为

360°，因
此
k×(n
-
2)180°／n=360°化为（
n-2
）
(k-2)=4
144
弧长计算公式：
L=n
兀
R
／
180 < br>145
扇形面积公式：
S
扇形
=n
兀
R^2
／
360=LR
／
2
146
内公切线长
= d-(R-r)
外公切线长
= d-(R+r)
乘法与因式分解

a^2-b^2=(a+b)(a-b)
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) •
a^3-b^3=(a-b(a^2+ab+b^2)
三角不等式

|a+b|≤|a|+|b| |a
-
b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>
-
b≤a≤b

|a-
b|≥|a|
-|b| -
|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解
-
b+√(b^2
-4ac)/2a -b-
√(b^2
-4ac)/2a
根与系数的关系
X1+X2=-b/a X1*X2=c/a
注：韦达定理

判别式

b^2-4ac=0
注：方程有两个相等的实根

b^2-4ac>0
注：方程有两个不等的实根


b^2-4ac<0
注：方程没有实根，有共轭复数根

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

























高中部分物理定理、定律、公式表



一、质点的运动（
1
）
------
直线运动


1
）匀变速直线运动


1.
平均速度
V
平＝
s/t
（定义式）

2.
有用推论
Vt2-Vo2
＝
2as

3.< br>中间时刻速度
Vt/2
＝
V
平＝
(Vt+Vo)/2 4.
末速度
Vt
＝
Vo+at

5.
中间位置速度
Vs/2
＝
[(Vo2+Vt2)/2]1/2 6.
位移
s
＝
V
平
t
＝
Vot+at2/ 2
＝
Vt/2t

7.
加速度
a
＝
(Vt-Vo)/t
｛以
Vo< br>为正方向，
a
与
Vo
同向
(
加速
)a>0< br>；反向则
aF2)

2.
互成角度力的合成：


F
＝
(F12+F22+2F1F2cosα)1/2
（余弦定理）

F1
⊥
F2
时
:F
＝
(F12+F22)1/2

3.
合力大小范围：
|F1-
F2|≤F≤|F1+F2|

4.
力的正交分解：
Fx
＝
Fcosβ
，
Fy
＝
Fsinβ
（
β
为合力与
x
轴之间的夹角
tgβ
＝
Fy/Fx
）


注：


(1)
力
(
矢量
)
的合成与分解遵循平行四边形 定则
;

（
2
）合力与分力的关系是等效替代关系
,可用合力替代分力的共同作用
,
反之也成立
;

(3)
除公式法外，也可用作图法求解
,
此时要选择标度
,
严格作图
;

(4)F1
与
F2
的值一定时
,F1
与
F2
的夹角
(α
角
)
越大，合力越小
;

（
5
）同一直线上力的合成，可沿直线取正方向，用正负号表示力的方向，化简为代数
运算。


四、动力学（运动和力）


1.
牛 顿第一运动定律
(
惯性定律）
：
物体具有惯性，
总保持匀速直线运动 状态或静止状态
,
直到有外力迫使它改变这种状态为止


2.牛顿第二运动定律：
F
合＝
ma
或
a
＝
F合
/ma{
由合外力决定
,
与合外力方向一致
}
< br>3.
牛顿第三运动定律：
F
＝
-
F′{
负号表示方向 相反
,F
、
F′
各自作用在对方，平衡力与作用
力反作用力区别，实 际应用：反冲运动
}

4.
共点力的平衡
F
合＝
0
，推广

｛正交分解法、三力汇交原理｝


5.
超重：
FN>G
，失重：
FN>r
｝


3.
受迫振动频率特点：
f
＝
f
驱动力


4.
发生共振条件
:f
驱动力＝
f
固，
A
＝
max
，共振的防止和应用〔见第一册
P175
〕


5.
机械波、横波、纵波〔见第二册
P2
〕


6.
波速
v
＝
s/t
＝
λf
＝
λ /T{
波传播过程中，一个周期向前传播一个波长；波速大小由介质
本身所决定
}

7.
声波的波速
(
在空气中）
0
℃：
3 32m/s
；
20
℃
:344m/s
；
30
℃:349m/s
；
(
声波是纵波
)

8.
波 发生明显衍射（波绕过障碍物或孔继续传播）条件：障碍物或孔的尺寸比波长小，
或者相差不大


9.
波的干涉条件：两列波频率相同
(
相差恒定、振幅相近、振动 方向相同
)

10.
多普勒效应
:
由于波源与观测者间的 相互运动，导致波源发射频率与接收频率不同
｛相互接近，接收频率增大，反之，减小〔见第二册
P21
〕
｝


注：


（
1
）物体的固有频率与振幅、驱动力频率无关，取决于振动系统本身；


（
2
）加强区是波峰与波峰或波谷与波谷相遇处，减弱区则是波峰与波谷相 遇处；


（
3
）波只是传播了振动，介质本身不随波发生迁移,
是传递能量的一种方式；


（
4
）干涉与衍射是波特有的；


(5)
振动图象与波动图象；


(6)
其它相关内容：超 声波及其应用〔见第二册
P22
〕
/
振动中的能量转化〔见第一册
P 173
〕
。


六、冲量与动量
(
物体的受力与动量的变化）


1.
动量：
p
＝
mv
｛
p:
动量
(kg/s)
，
m:
质量
(kg)
，
v:
速度< br>(m/s)
，方向与速度方向相同｝


3.
冲量：
I
＝
Ft
｛
I:
冲量
(N?s)
，
F:
恒力
(N)
，
t:
力的作用时 间
(s)
，方向由
F
决定｝


4.
动量 定理：
I
＝
Δp
或
Ft
＝
mvt
–mvo {Δp:
动量变化
Δp
＝
mvt
–
mvo
，是矢量 式
}

5.
动量守恒定律：
p
前总＝
p
后总或
p
＝
p’′
也可以是
m1v1+m2v2
＝
m1v1′+m2v2′

6.
弹性碰撞：
Δp
＝
0；
ΔEk
＝
0 {
即系统的动量和动能均守恒
}
< br>7.
非弹性碰撞
Δp
＝
0
；
0r0
，
f
引
>f
斥，
F
分子力表现为引力


(4)r>10r0
，
f
引＝
f
斥
≈0
，
F
分子力
≈0
，
E
分子势能
≈0

5.
热力学第一定律
W+Q
＝
ΔU
｛
(
做功和热传递， 这两种改变物体内能的方式，在效果
上是等效的
)
，


W :
外界对物体做的正功
(J)
，
Q:
物体吸收的热量
(J)
，
ΔU:
增加的内能
(J)
，涉及到第一类
永动机不可造出 〔见第二册
P40
〕
｝


6.
热力学第二定律


克氏表述：
不可能使热量由低温物 体传递到高温物体，
而不引起其它变化
（热传导的方
向性）
；


开氏表述：
不可能从单一热源吸收热量并把它全部用来做功，
而不引起其它 变化
（机械
能与内能转化的方向性）
｛涉及到第二类永动机不可造出〔见第二册
P44
〕
｝


7.
热力学第三定律：热力学零度不可达 到｛宇宙温度下限：－
273.15
摄氏度（热力学
零度）
｝


注
:

(1)
布朗粒子不是分子
,
布 朗颗粒越小，布朗运动越明显
,
温度越高越剧烈；


(2)
温度是分子平均动能的标志；


3)
分子间的引力 和斥力同时存在
,
随分子间距离的增大而减小
,
但斥力减小得比引力快；

(4)
分子力做正功，分子势能减小
,
在
r0处
F
引＝
F
斥且分子势能最小；


(5)< br>气体膨胀
,
外界对气体做负功
W0
；吸收热量，
Q>0

(6)
物体的内能是指物体所有的分子动能和分子势能的总和，对于理想气体分子间 作用
力为零，分子势能为零；


(7)r0
为分子处于平衡状态时，分子间的距离；


(8)其它相关内容：
能的转化和定恒定律
〔见第二册
P41
〕
/能源的开发与利用、
环保
〔见
第二册
P47
〕
/
物体的内能、分子的动能、分子势能〔见第二册
P47
〕
。


九、气体的性质


1.
气体的状态参量：

< br>温度：
宏观上，
物体的冷热程度；
微观上，
物体内部分子无规则运动的 剧烈程度的标志，


热力学温度与摄氏温度关系：
T
＝
t+273
｛
T:热力学温度
(K)
，
t:
摄氏温度
(
℃
)｝


体积
V
：气体分子所能占据的空间，单位换算：
1m3
＝
103L
＝
106mL

压强
p
：单位面积上，大量气体分子频繁撞击器壁而产生持续、均匀的压力，标准大气
压：
1atm
＝
1.013×
105Pa
＝
76cmHg(1Pa
＝1N/m2)

2.
气体分子运动的特点：分子间空隙大；除了碰撞的瞬间外， 相互作用力微弱；分子运
动速率很大


3.
理想气体的状态方程：
p1V1/T1
＝
p2V2/T2 ｛
PV/T
＝恒量，
T
为热力学温度
(K)
｝


注
:

(1)
理想气体的内能与理想气体的体积无关< br>,
与温度和物质的量有关；


(2)
公式
3
成立条件均为一定质量的理想气体，
使用公式时要注意温度的单位，
t
为摄氏
温度
(
℃
)
，而
T
为热力学温度
(K)
。


十、电场


1.
两种电荷、电荷守恒定律 、元电荷：
(e
＝
1.60×
10-19C
）
；带电体电荷 量等于元电荷
的整数倍


2.
库仑定律：
F
＝< br>kQ1Q2/r2
（在真空中）
｛
F:
点电荷间的作用力
(N )
，
k:
静电力常量
k
＝
9.0×
109N?m2 /C2
，
Q1
、
Q2:
两点电荷的电量
(C)
，< br>r:
两点电荷间的距离
(m)
，方向在它
们的连线上，作用力与反作用 力，同种电荷互相排斥，异种电荷互相吸引｝


3.
电场强度：
E
＝
F/q
（定义式、
计算式
)
｛
E:
电场 强度
(N/C)
，
是矢量
（电场的叠加原理）
，
q
：检验电荷的电量
(C)
｝


4.
真空点（源）电荷形成的电场
E
＝
kQ/r2
｛r
：源电荷到该位置的距离（
m
）
，
Q
：源电
荷的电量｝


5.
匀强电场的场强
E
＝
UAB/d
｛
UAB: AB
两点间的电压
(V)
，
d:AB
两点在场强方向的距
离
(m)
｝


6.
电场力：
F
＝
qE
｛
F:
电场力< br>(N)
，
q:
受到电场力的电荷的电量
(C)
，
E:
电场强度
(N/C)
｝


7.
电势与电势差：< br>UAB
＝
φA
-
φB
，
UAB
＝
W AB/q
＝
-
ΔEAB/q

8.
电场力做功：
WAB
＝
qUAB
＝
Eqd
｛
WAB:
带电体由< br>A
到
B
时电场力所做的功
(J)
，
q:
带< br>电量
(C)
，
UAB:
电场中
A
、
B
两点间的电势差
(V)(
电场力做功与路径无关
),E:
匀强电场强
度
,d:
两点沿场强方向的距离
(m)
｝


9.
电势能：
EA
＝
qφA
｛
EA:
带 电体在
A
点的电势能
(J)
，
q:
电量
(C)，
φA:A
点的电势
(V)
｝


10.
电势能的变化
ΔEAB
＝
EB-EA
｛带电体在电场中从
A
位置到
B
位置时电势能的差值｝


11.
电场力做功与电势能变化
ΔEAB
＝
-WAB＝
-qUAB
(
电势能的增量等于电场力做功的
负值
)

12.
电容
C
＝
Q/U(
定义式
,计算式
)
｛
C:
电容
(F)
，
Q:
电量
(C)
，
U:
电压
(
两极板电势差
)(V)< br>｝


13.
平行板电容器的电容
C
＝
εS /4πkd
（
S:
两极板正对面积，
d:
两极板间的垂直距离，ω
：
介电常数）


常见电容器〔见第二册
P111
〕


14.
带电 粒子在电场中的加速
(Vo
＝
0)
：
W
＝
ΔEK< br>或
qU
＝
mVt2/2
，
Vt
＝
(2qU/ m)1/2

15.
带电粒子沿垂直电场方向以速度
Vo
进入匀强 电场时的偏转
(
不考虑重力作用的情况
下
)

类平

垂直电场方向
:
匀速直线运动
L
＝
Vot(
在带等量异种电荷的平行极板中：
E
＝
U/d)

抛运动

平行电场方向
:
初速度为零的匀加速直线运动
d< br>＝
at2/2
，
a
＝
F/m
＝
qE/m

注
:

(1)
两个完全相同的带电金属小球接触时,
电量分配规律
:
原带异种电荷的先中和后平分
,
原带同种电荷 的总量平分；


(2)
电场线从正电荷出发终止于负电荷
,
电场线不相交
,
切线方向为场强方向
,
电场线密处
场强大
,
顺着电场线电势越来越低
,
电场线与等势线垂直；


（
3
）常见电场的电场线分布要求熟记〔见图
[
第二册
P98]
；


(4)
电场强度（矢量）与电势（标量）均由电场本身决定
,
而电场力与电势能还与带电体
带的电量多少和电荷正负有关；


(5)
处于静电平衡导体是个等势体
,
表面是个等势面
,
导体外表面 附近的电场线垂直于导
体表面，导体内部合场强为零
,
导体内部没有净电荷
,
净电荷只分布于导体外表面；


(6)
电容单位换算：
1 F
＝
106μF
＝
1012PF
；


( 7
）电子伏
(eV)
是能量的单位
,1eV
＝
1.60×< br>10-19J
；


(8)
其它相关内容：静电屏蔽〔见第二 册
P101
〕
/
示波管、示波器及其应用〔见第二册
P114
〕等势面〔见第二册
P105
〕
。


十一、恒定电流


1.
电流强度：
I
＝
q/t
｛
I:
电流强度
(A
）
，
q:
在时 间
t
内通过导体横载面的电量
(C
）
，
t:
时间< br>(s
）
｝


2.
欧姆定律：
I
＝
U/R
｛
I:
导体 电流强度
(A)
，
U:
导体两端电压
(V)
，
R:
导体阻值
(Ω)
｝


3.
电阻、
电阻定 律：
R
＝
ρL/S
｛
ρ:
电阻率
(Ω?m)
，
L:
导体的长度
(m)
，
S:
导体横截面积
( m2)
｝


4.
闭合电路欧姆定律：
I
＝
E/(r+R)
或
E
＝
Ir+IR
也可以是
E
＝
U
内
+U
外


｛
I:
电路中的 总电流
(A)
，
E:
电源电动势
(V)
，
R:外电路电阻
(Ω)
，
r:
电源内阻
(Ω)
｝


5.
电功与电功率：
W
＝
UIt
，
P< br>＝
UI
｛
W:
电功
(J)
，
U:
电 压
(V)
，
I:
电流
(A)
，
t:
时间< br>(s)
，
P:
电功率
(W)
｝


6.
焦耳定律：
Q
＝
I2Rt
｛
Q:
电热
(J)
，
I:
通过导体的电流
(A)
，
R:
导体的 电阻值
(Ω)
，
t:
通电
时间
(s)
｝


7.
纯电阻电路中
:
由于
I
＝
U/R, W
＝
Q
，因此
W
＝
Q
＝
UIt
＝
I2Rt
＝
U2t/R

8.
电源总动率、电源输出功率 、电源效率：
P
总＝
IE
，
P
出＝
IU
，
η
＝
P
出
/P
总｛
I:
电路
总电 流
(A)
，
E:
电源电动势
(V)
，
U:
路端电压
(V)
，
η
：电源效率｝


9.
电路的串
/
并联

串联电路
(P
、
U
与
R
成正比
)
并联电路
(P
、
I
与
R
成反比
)

电阻关系
(
串同并反
) R
串＝
R1+R2+R3+ 1/R
并＝
1/R1+1/R2+1/R3+

电流关系

I
总＝
I1
＝
I2
＝
I3 I
并＝
I1+I2+I3+

电压关系

U
总＝
U1+U2+U3+ U
总＝
U1
＝
U2
＝
U3

功率分配

P
总＝
P1+P2+P3+ P
总＝
P1+P2+P3+

10.
欧姆表测电阻


(1)
电路组成

(2)
测量原理


两表笔短接后
,
调节
Ro
使电表指针满偏，得


Ig
＝
E/(r+Rg+Ro)

接入被测电阻
Rx
后通过电表的电流为


Ix
＝
E/(r+Rg+Ro+Rx)
＝
E/(R
中
+Rx)

由于
Ix
与
Rx
对应，因此可指示被测电阻大小


(3)
使用方法
:
机械调零、
选择量程、欧姆调零、测量读数｛注意 挡位
(
倍率
)
｝
、
拨
off
挡。


(4)
注意
:
测量电阻时，要与原电路断开
,
选 择量程使指针在中央附近
,
每次换挡要重新短
接欧姆调零。


11.
伏安法测电阻


电流表内接法：


电压表示数：
U
＝
UR+UA

电流表外接法：


电流表示数：
I
＝
IR+IV

Rx
的测量值＝
U/I
＝
(UA+UR)/IR
＝
RA+Rx>R
真


Rx
的测量值＝
U/I
＝
UR/(IR+ IV)
＝
RVRx/(RV+R)>RA [
或
Rx>(RARV)1/2]

选用电路条件
RxRx

电压调节范围大
,
电路复杂
,
功耗较大


便于调节电压的选择条件
Rp
电压调节范围大
,
电路复杂
,
功耗较大


便于调节电压的选择条件
Rp
注
1)
单位换算：
1A
＝
103mA
＝
106μA
；
1kV
＝
103V
＝
106mA
；
1MΩ
＝
103kΩ< br>＝
106Ω

(2)
各种材料的电阻率都随温度的变化而变化
,
金属电阻率随温度升高而增大；


(3)
串联总电阻大于任何 一个分电阻
,
并联总电阻小于任何一个分电阻；


(4)
当电源有内阻时
,
外电路电阻增大时
,
总电流减小
,
路端电 压增大；


(5)
当外电路电阻等于电源电阻时
,
电源输 出功率最大
,
此时的输出功率为
E2/(2r)
；

(6)
其它相关内容：电阻率与温度的关系半导体及其应用超导及其应用〔见第二册
P12 7
〕
。


十二、磁场


1.
磁感应强度是用来表示磁场的强弱和方向的物理量
,
是矢量，单位
T),1T
＝
1N/A?m

2.
安培力
F
＝
BIL
；
(
注：
L
⊥
B) {B:
磁感应强度
(T), F:
安培力
(F),I:
电流强度
(A),L:
导线长度
( m)}

3.
洛仑兹力
f
＝
qVB(
注
V
⊥
B);
质谱仪〔见第二册
P155
〕

｛f:
洛仑兹力
(N)
，
q:
带电粒子
电量
(C )
，
V:
带电粒子速度
(m/s)
｝


4.
在重力忽略不计
(
不考虑重力
)
的情况下
,
带 电粒子进入磁场的运动情况
(
掌握两种
)
：


（
1
）带电粒子沿平行磁场方向进入磁场
:
不受洛仑兹力的作用
,做匀速直线运动
V
＝
V0

(2)
带电粒子沿垂直磁 场方向进入磁场
:
做匀速圆周运动
,
规律如下
a)F
向＝< br>f
洛＝
mV2/r
＝
mω2r
＝
mr(2π/T)2
＝
qVB
；
r
＝
mV/qB
；
T
＝
2πm/qB
；
(b)
运动周期与圆周运动的半径
和线速度无关< br>,
洛仑兹力对带电粒子不做功
(
任何情况下
)
；
(c )
解题关键
:
画轨迹、
找圆心、
定半径、圆心角（＝二倍弦切角）< br>。


注：


(1)
安培力和洛仑兹力的 方向均可由左手定则判定，只是洛仑兹力要注意带电粒子的正
负；


(2)
磁感线的特点及其常见磁场的磁感线分布要掌握〔见图及第二册
P144
〕
；
(3)
其它相
关内容：地磁场
/
磁电式电表原理〔见第二册
P150
〕
/
回旋加速器〔见第二册
P156
〕
/
磁性材料


十三、电磁感应


1.[
感应电动势的大小计算公式
]

1)E
＝
nΔΦ/Δt
（普适公式）
｛法拉第电磁感应定律，
E
：感应电动势
(V)
，
n
：感应线圈匝
数，
ΔΦ/Δt:
磁通量的变化率 ｝


2)E
＝
BLV
垂
(
切割磁感线运动
)
｛
L:
有效长度
(m)
｝


3)Em
＝
nBSω
（交流发电机最大的感应电动势）

｛
Em:
感应电动势峰值｝


4)E
＝
BL2ω/2
（导体一端固定以
ω
旋转切割）

｛
ω:角速度
(rad/s)
，
V:
速度
(m/s)
｝


2.
磁通量
Φ
＝
BS {Φ:
磁通量
(Wb),B:
匀强磁场的磁感应强度
(T),S:
正对面积
(m2)}

3.
感应电动势的正负极可利用感应电流方向判定
｛电源内部的电流方向：
由负极流向正
极｝


*4.
自感电动势
E
自＝
nΔΦ/Δt
＝
LΔI/Δt
｛
L:
自感系数
(H)(
线圈
L
有铁芯比无铁芯时要大
)
，
ΔI:
变化电流，
?t:
所用时间，
ΔI/Δt:
自感电流变化率
(变化的快慢
)
｝


注：
(1)
感应电流的方 向可用楞次定律或右手定则判定，楞次定律应用要点〔见第二册
P173
〕
；
(2)
自感电流总是阻碍引起自感电动势的电流的变化；
(3)
单位换算：
1 H
＝
103mH
＝
106μH
。
(4)
其它相关内 容：自感〔见第二册
P178
〕
/
日光灯〔见第二册
P180
〕
。


十四、交变电流（正弦式交变电流）


1.
电压瞬时值
e
＝
Em
sinωt
电流瞬时值
i
＝
Imsinωt
；
(ω
＝
2πf)

2.
电动势峰值
Em
＝
nBSω
＝
2BLv 电流峰值
(
纯电阻电路中
)Im
＝
Em/R
总


3.
正
(
余
)
弦式交变电流有效值：
E
＝
Em/(2)1/2
；
U
＝
Um/(2)1/2
；
I
＝
Im/(2)1/2

4.
理想变压器原副线圈中的电压与电流及功率关系


U1/U2
＝
n1/n2
；

I1/I2
＝
n2/n2
；

P
入＝
P
出


5.
在远距离输电中,
采用高压输送电能可以减少电能在输电线上的损失损
′
＝
(P/U)2 R
；
（
P
损
′:
输电线上损失的功率，
P:
输送电能的总功率，
U:
输送电压，
R:
输电线电阻）
〔见第二< br>册
P198
〕
；


6.
公式
1< br>、
2
、
3
、
4
中物理量及单位：
ω:
角频率
(rad/s)
；
t:
时间
(s)
；
n:
线圈匝数；
B:
磁
感强度
(T)
；

< br>S:
线圈的面积
(m2)
；
U
输出
)
电压< br>(V)
；
I:
电流强度
(A)
；
P:
功率< br>(W)
。





































高中所有化学方程式
+
反映说明
+
反映现象

方程式
:

1
、硫酸根离子的检验
: BaCl2 + Na2SO4 = BaSO4↓+ 2NaCl

2
、碳酸根离子的检验
: CaCl2 + Na2CO
3 = CaCO3↓ + 2NaCl

3
、碳酸钠与盐酸反应
: Na2CO3 + 2HCl = 2NaCl + H2O + CO2↑

4
、木炭还原氧化铜
: 2CuO + C
高温

2Cu + CO2↑

5
、铁片与硫酸铜溶液反应
: Fe + CuSO4 = FeSO4 + Cu

6
、氯化钙与碳酸钠溶液反应：
CaCl2 + Na2CO3 = CaCO3↓+ 2NaCl

7
、钠在空气中燃烧：
2Na + O2
△

Na2O2

钠与氧气反应：
4Na + O2 = 2Na2O

8
、过氧化钠与水反应：
2Na2
O2 + 2H2O = 4NaOH + O2↑

9
、过氧化钠与二氧化碳反应：
2Na2O2 + 2CO2 = 2Na2CO3 + O2

10
、钠与水反应：
2Na + 2H2O = 2NaOH + H2↑

11
、铁与水蒸气反应：
3Fe + 4H2O(g) = F3O4 + 4H2↑

12
、铝与氢氧化钠溶液反应：
2Al + 2NaOH + 2H2O = 2NaAlO2 + 3H2↑

13
、氧化钙与水反应：
CaO + H2O = Ca(OH)2

14
、氧化铁与盐酸反应：
Fe2O3 + 6HCl = 2FeCl3 + 3H2O

15
、氧化铝与盐酸反应：
Al2O3 + 6HCl = 2AlCl3 + 3H2O

16
、氧化铝与氢氧化钠溶液反应：
Al2O3 + 2NaOH = 2NaAlO2 + H2O

17
、氯化铁与氢氧化钠溶液反应：
FeCl3 + 3NaOH = Fe(OH)3↓+ 3NaCl

18
、硫酸亚铁与氢氧化钠溶液反应：
FeSO4 + 2NaOH = Fe(OH)2↓+ Na2SO4

19
、氢氧化亚铁被氧化成氢氧化铁：
4Fe(OH)2 + 2H2O + O2 = 4Fe(OH)3

20
、氢氧化铁加热分解：
2Fe(OH)3
△

Fe2O3 + 3H2O↑

21
、实验室制取氢氧化铝：
Al2(SO4)3 + 6NH3·H2O = 2Al(OH)3↓ + 3(NH3)2SO4

22
、氢氧化铝与盐酸反应：
Al(OH)3 + 3HCl = AlCl3 + 3H2O

23
、氢氧化铝与氢氧化钠溶液反应：
Al(OH)3 + NaOH = NaAlO2 + 2H2O

24
、氢氧化铝加热分解：
2Al(OH)3
△

Al2O3 + 3H2O

25
、三氯化铁溶液与铁粉反应：
2FeCl3 + Fe = 3FeCl2

26
、氯化亚铁中通入氯气：
2FeCl2 + Cl2 = 2FeCl3

27
、二氧化硅与氢氟酸反应：
SiO2 + 4HF = SiF4 + 2H2O

硅单质与氢氟酸反应：
Si + 4HF = SiF4 + 2H2↑

28
、二氧化硅与氧化钙高温反应：
SiO2 + CaO
高温

CaSiO3

29
、二氧化硅与氢氧化钠溶液反应：
SiO2 + 2NaOH = Na2SiO3 + H2O

30
、往硅酸钠溶液中通入二氧化碳：
Na2SiO3 + CO2 + H2O = Na2CO3 + H2SiO3↓

31
、硅酸钠与盐酸反应：
Na2SiO3 + 2HCl = 2NaCl + H2SiO3↓

32
、氯气与金属铁反应：
2Fe + 3Cl2
点燃

2FeCl3

33
、氯气与金属铜反应：
Cu + Cl2
点燃

CuCl2

34
、氯气与金属钠反应：
2Na + Cl2
点燃

2NaCl

35
、氯气与水反应：
Cl2 + H2O = HCl + HClO

36
、次氯酸光照分解：
2HClO
光照

2HCl + O2↑

37
、氯气与氢氧化钠溶液反应：
Cl2 + 2NaOH = NaCl + NaClO + H2O

38
、氯气与消石灰反应：
2Cl2 + 2Ca(OH)2 = CaCl2 + Ca(ClO)2 + 2H2O

39
、盐酸与硝酸银溶液反应：
HCl + AgNO3 = AgCl↓ + HNO3

40
、漂白粉长期置露在空气中：
Ca(ClO)2 + H2O + CO2 = CaCO3↓ + 2HClO

41
、二氧化硫与水反应：
SO2 + H2O ≈ H2SO3

42
、氮气与氧气在放电下反应：
N2 + O2
放电

2NO

43
、一氧化氮与氧气反应：
2NO + O2 = 2NO2

44
、二氧化氮与水反应：
3NO2 + H2O = 2HNO3 + NO

45
、二氧化硫与氧气在催化剂的作用下反应：
2SO2 + O2
催化剂

2SO3

46
、三氧化硫与水反应：
SO3 + H2O = H2SO4

47
、浓硫酸与铜反应：
Cu + 2H2SO4(
浓
)
△

CuSO4 + 2H2O + SO2↑

48
、浓硫酸与木炭反应：
C + 2H2SO4(
浓
)
△

CO2 ↑+ 2SO2↑ + 2H2O

49
、浓硝酸与铜反应：
Cu + 4HNO3(
浓
) = Cu(NO3)2 + 2H2O + 2NO2↑

50
、稀硝酸与铜反应：
3Cu + 8HNO3(
稀
)
△

3Cu(NO3)2 + 4H2O + 2NO↑

51
、氨水受热分解：
NH3·
H2O
△

NH3↑ + H2O

52
、氨气与氯化氢反应：
NH3 + HCl = NH4Cl

53
、氯化铵受热分解：
NH4Cl
△

NH3↑ + HCl↑

54
、碳酸氢氨受热分解：
NH4HCO3
△

NH3↑ + H2O↑ + CO2↑

55
、硝酸铵与氢氧化钠反应：
NH4NO3 + NaOH
△

NH3↑ + NaNO3 + H2O

56
、氨气的实验室制取：
2NH4Cl + Ca(OH)2
△

CaCl2 + 2H2O + 2NH3↑

57
、氯气与氢气反应：
Cl2 + H2
点燃

2HCl

58
、硫酸铵与氢氧化钠反应：
（
NH4
）
2SO4 + 2NaOH
△

2NH3↑ + Na2SO4 + 2H2O

59
、
SO2 + CaO = CaSO3

60
、
SO2 + 2NaOH = Na2SO3 + H2O

61
、
SO2 + Ca(OH)2 = CaSO3↓ + H2O

62
、
SO2 + Cl2 + 2H2O = 2HCl + H2SO4

63
、
SO2 + 2H2S = 3S + 2H2O

64
、
NO
、
NO2
的回收：
NO2 + NO + 2NaOH = 2NaNO2 + H2O

65
、
Si + 2F 2 = SiF4

66
、
Si + 2NaOH + H2O = NaSiO3 +2H2↑

67
、硅单质的实验室制法：粗硅的制取：
SiO2 + 2C
高温电炉

Si + 2CO
（石英沙）
（焦碳）

（粗硅）



粗硅转变为纯硅：
Si
（粗）

+ 2Cl2
△

SiCl4


SiCl4 + 2H2
高温

Si
（纯）
+ 4HCl



化合反应


1
、镁在空气中燃烧：
2Mg + O2
点燃

2MgO

2
、铁在氧气中燃烧：
3Fe + 2O2
点燃

Fe3O4

3
、铝在空气中燃烧：
4Al + 3O2
点燃

2Al2O3

4
、氢气在空气中燃烧：
2H2 + O2
点燃

2H2O

5
、红磷在空气中燃烧：
4P + 5O2
点燃

2P2O5

6
、硫粉在空气中燃烧：

S + O2
点燃

SO2

7
、碳在氧气中充分燃烧：
C + O2
点燃

CO2

8
、碳在氧气中不充分燃烧：
2C + O2
点燃

2CO

9
、二氧化碳通过灼热碳层：

C + CO2
高温

2CO

10
、一氧化碳在氧气中燃烧：
2CO + O2
点燃

2CO2

11
、二氧化碳和水反应（二氧化碳通入紫色石蕊试液）
：
CO2 + H2O === H2CO3

12
、生石灰溶于水：
CaO + H2O === Ca(OH)2

13
、无水硫酸铜作干燥剂：
CuSO4 + 5H2O ==== CuSO4?5H2O

14
、钠在氯气中燃烧：
2Na + Cl2
点燃

2NaCl


分解反应


15
、实验室用双氧水制氧气：
2H2O2 MnO2 2H2O+ O2↑

16
、加热高锰酸钾：
2KMnO4
加热

K2MnO4 + MnO2 + O2↑

17
、水在直流电的作用下分解：
2H2O
通电

2H2↑+ O2 ↑

18
、碳酸不稳定而分解：
H2CO3 === H2O + CO2↑

19
、高温煅烧石灰石（二氧化碳工业制法）
：
CaCO3
高温

CaO + CO2↑


置换反应


20
、铁和硫酸铜溶液反应：
Fe + CuSO4 == FeSO4 + Cu

21
、锌和稀硫酸反应（实验室制氢气）
：
Zn + H2SO4 == ZnSO4 + H2↑

22
、镁和稀盐酸反应：
Mg+ 2HCl === MgCl2 + H2↑

23
、氢气还原氧化铜：
H2 + CuO
加热

Cu + H2O

24
、木炭还原氧化铜：
C+ 2CuO
高温

2Cu + CO2↑

25
、甲烷在空气中燃烧：
CH4 + 2O2
点燃

CO2 + 2H2O

26
、水蒸气通过灼热碳层：
H2O + C
高温

H2 + CO

27
、焦炭还原氧化铁：
3C+ 2Fe2O3
高温

4Fe + 3CO2↑


其他


28
、氢氧化钠溶液与硫酸铜溶液反应：
2NaOH + CuSO4 == Cu(OH)2↓ + Na2SO4

29
、甲烷在空气中燃烧：
CH4 + 2O2
点燃

CO2 + 2H2O

30
、酒精在空气中燃烧：
C2H5OH + 3O2
点燃

2CO2 + 3H2O

31
、一氧化碳还原氧化铜：
CO+ CuO
加热

Cu + CO2

32
、一氧化碳还原氧化铁：
3CO+ Fe2O3
高温

2Fe + 3CO2

33
、二氧化碳通过澄清石灰水（检验二氧化碳）
：
Ca(OH)2 + CO2 ==== CaCO3 ↓+ H2O

34
、氢氧化钠和二氧化碳反应（除去二氧化碳）
：
2NaOH + CO2 ==== Na2CO3 + H2O

35
、
石灰石
（或大理石 ）
与稀盐酸反应
（二氧化碳的实验室制法）
：
CaCO3 + 2HCl === CaCl2
+ H2O + CO2↑

36
、碳酸钠与浓盐酸反应（泡沫灭火器的原理）
: Na2CO3 + 2HCl === 2NaCl + H2O + CO2↑


一．

物质与氧气的反应：


（
1
）单质与氧气的反应：


1.
镁在空气中燃烧：
2Mg + O2
点燃

2MgO

2.
铁在氧气中燃烧：
3Fe + 2O2
点燃

Fe3O4

3.
铜在空气中受热：
2Cu + O2
加热

2CuO

4.
铝在空气中燃烧：
4Al + 3O2
点燃

2Al2O3

5.
氢气中空气中燃烧：
2H2 + O2
点燃

2H2O

6.
红磷在空气中燃烧：
4P + 5O2
点燃

2P2O5

7.
硫粉在空气中燃烧：

S + O2
点燃

SO2

8.
碳在氧气中充分燃烧：
C + O2
点燃

CO2

9.
碳在氧气中不充分燃烧：
2C + O2
点燃

2CO

（
2
）化合物与氧气的反应：


10.
一氧化碳在氧气中燃烧：
2CO + O2
点燃

2CO2

11.
甲烷在空气中燃烧：
CH4 + 2O2
点燃

CO2 + 2H2O

12.
酒精在空气中燃烧：
C2H5OH + 3O2
点燃

2CO2 + 3H2O

二．几个分解反应：


13.
水在直流电的作用下分解：
2H2O
通电

2H2↑+ O2 ↑

14.
加热碱式碳酸铜：
Cu2(OH)2CO3
加热

2CuO + H2O + CO2↑

15.
加热氯酸钾（有少量的二氧化锰）
：
2KClO3 ==== 2KCl + 3O2 ↑

16.
加热高锰酸钾：
2KMnO4
加热

K2MnO4 + MnO2 + O2↑

17.
碳酸不稳定而分解：
H2CO3 === H2O + CO2↑

18.
高温煅烧石灰石：
CaCO3
高温

CaO + CO
2↑

三．几个氧化还原反应：


19.
氢气还原氧化铜：
H2 + CuO
加热

Cu + H2O

20.
木炭还原氧化铜：
C+ 2CuO
高温

2Cu + CO2↑

21.
焦炭还原氧化铁：
3C+ 2Fe2O3
高温

4Fe + 3CO2↑

22.
焦炭还原四氧化三铁：
2C+ Fe3O4
高温

3Fe + 2CO2↑

23.
一氧化碳还原氧化铜：
CO+ CuO
加热

Cu + CO2

24.
一氧化碳还原氧化铁：
3CO+ Fe2O3
高温

2Fe + 3CO2

25.
一氧化碳还原四氧化三铁：
4CO+ Fe3O4
高温

3Fe + 4CO2

四．单质、氧化物、酸、碱、盐的相互关系


（
1
）金属单质

+
酸

--------
盐

+
氢气

（置换反应）


26.
锌和稀硫酸
Zn + H2SO4 = ZnSO4 + H2↑

27.
铁和稀硫酸
Fe + H2SO4 = FeSO4 + H2↑

28.
镁和稀硫酸
Mg + H2SO4 = MgSO4 + H2↑

29.
铝和稀硫酸
2Al +3H2SO4 = Al2(SO4)3 +3H2↑

30.
锌和稀盐酸
Zn + 2HCl === ZnCl2
+ H2↑

31.
铁和稀盐酸
Fe + 2HCl === FeCl2 + H2↑

32.
镁和稀盐酸
Mg+ 2HCl === MgCl2 + H2↑

33.
铝和稀盐酸
2Al + 6HCl == 2AlCl3 + 3H2↑

（
2
）金属单质

+
盐（溶液）

-------
另一种金属

+
另一种盐


34.
铁和硫酸铜溶液反应：
Fe + CuSO4 === FeSO4 + Cu

35.
锌和硫酸铜溶液反应：
Zn + CuSO4 === ZnSO4 + Cu

36.
铜和硝酸汞溶液反应：
Cu + Hg(NO3)2 === Cu(NO3)2 + Hg

（
3
）碱性氧化物

+
酸

--------
盐

+
水


37.
氧化铁和稀盐酸反应：
Fe2O3 + 6HCl === 2FeCl3 + 3H2O

38.
氧化铁和稀硫酸反应：
Fe2O3 + 3H2SO4 === Fe2(SO4)3 + 3H2O

39.
氧化铜和稀盐酸反应：
CuO + 2HCl ==== CuCl2 + H2O

40.
氧化铜和稀硫酸反应：
CuO + H2SO4 ==== CuSO4 + H2O

41.
氧化镁和稀硫酸反应：
MgO + H2SO4 ==== MgSO4 + H2O

42.
氧化钙和稀盐酸反应：
CaO + 2HCl ==== CaCl2 + H2O

（
4
）酸性氧化物

+
碱

--------
盐

+
水


43
．苛性钠暴露在空气中变质：
2NaOH + CO2 ==== Na2CO3 + H2O

44
．苛性钠吸收二氧化硫气体：
2NaOH + SO2 ==== Na2SO3 + H2O

45
．苛性钠吸收三氧化硫气体：
2NaOH + SO3 ==== Na2SO4 + H2O

46
．消石灰放在空气中变质：
Ca(OH
)2 + CO2 ==== CaCO3 ↓+ H2O

47.
消石灰吸收二氧化硫：
Ca(OH)2 + SO2 ==== CaSO3 ↓+ H2O

（
5
）酸

+
碱

--------
盐

+
水


48
．盐酸和烧碱起反应：
HCl + NaOH ==== NaCl +H2O

49.
盐酸和氢氧化钾反应：
HCl + KOH ==== KCl +H2O

50
．盐酸和氢氧化铜反应：
2HCl + Cu(OH)2 ==== CuCl2 + 2H2O

51.
盐酸和氢氧化钙反应：
2HCl + Ca(OH)2 ==== CaCl2 + 2H2O

52.
盐酸和氢氧化铁反应：
3HCl + Fe(OH)3 ==== FeCl3 + 3H2O

53.
氢氧化铝药物治疗胃酸过多：
3HCl + Al(OH)3 ==== AlCl3 + 3H2O

54.
硫酸和烧碱反应：
H2SO4 + 2NaOH ==== Na2SO4 + 2H2O

55.
硫酸和氢氧化钾反应：
H2SO4 + 2KOH ==== K2SO4 + 2H2O

56.
硫酸和氢氧化铜反应：
H2SO4 + Cu(OH)2 ==== CuSO4 + 2H2O

57.
硫酸和氢氧化铁反应：
3H2SO4 + 2Fe(OH)3==== Fe2(SO4)3 + 6H2O

58.
硝酸和烧碱反应：
HNO3+ NaOH ==== NaNO3 +H2O

（
6
）酸

+
盐

--------
另一种酸

+
另一种盐


59
．大理石与稀盐酸反应：
CaCO3 + 2HCl === CaCl2 + H2O + CO2↑

60
．碳酸钠与稀盐酸反应
: Na2CO3 + 2HCl === 2NaCl + H2O + CO2↑

61
．碳酸镁与稀盐酸反应
: MgCO3 + 2HCl === M
gCl2 + H2O + CO2↑

62
．盐酸和硝酸银溶液反应：
HCl + AgNO3 === AgCl↓ + HNO3

63.
硫酸和碳酸钠反应：
Na2CO3 + H2SO4 === Na2SO4 + H2O + CO2↑

64.
硫酸和氯化钡溶液反应：
H2SO4 + BaCl2 ==== BaSO4 ↓+ 2HCl

（
7
）碱

+
盐

--------
另一种碱

+
另一种盐


65
．氢氧化钠与硫酸铜：
2NaOH + CuSO4 ==== Cu(OH)2↓ + Na2SO4

66
．氢氧化钠与氯化铁：
3NaOH + FeCl3 ==== Fe(OH)3↓ + 3NaCl

67
．氢氧化钠与氯化镁：
2NaOH + MgCl2 ==== Mg(OH)2↓ + 2NaCl

68.
氢氧化钠与氯化铜：
2NaOH + CuCl2 ==== Cu(OH)2↓ + 2NaCl

69.
氢氧化钙与碳酸钠：
Ca(OH)2 + Na2CO3 === CaCO3↓+ 2NaOH

（
8
）盐

+
盐

-----
两种新盐


70
．氯化钠溶液和硝酸银溶液：
NaCl + AgNO3 ==== AgCl↓ + NaNO3

71
．硫酸钠和氯化钡：
Na2SO4 + BaCl2 ==== BaSO4↓ + 2NaCl

五．其它反应：


72
．二氧化碳溶解于水：
CO2 + H2O === H2CO3

73
．生石灰溶于水：
CaO + H2O === Ca(OH)2

74
．氧化钠溶于水：
Na2O + H2O ==== 2NaOH

75
．三氧化硫溶于水：
SO3 + H2O ==== H2SO4

76
．硫酸铜晶体受热分解：
CuSO4?5H2O
加热

CuSO4 + 5H2O

77
．无水硫酸铜作干燥剂：
CuSO4 + 5H2O ==== CuSO4?5H2


化学方程式

反应现象

应用


2Mg+O2
点燃或
Δ2MgO
剧烈燃 烧
.
耀眼白光
.
生成白色固体
.
放热
.
产 生大量白烟

白色信号弹


2Hg+O2
点燃或
Δ2HgO
银白液体、生成红色固体

拉瓦锡实验


2Cu+O2
点燃或
Δ2CuO
红色金属变为黑色固体


4Al+3O2
点燃或
Δ2Al2O3
银白金属变为白色固体


3Fe+2O2
点燃
Fe3O4
剧烈燃烧、火星四射、生成黑色固体、放热

4Fe + 3O2
高温
2Fe2O3

C+O2
点燃
CO2
剧烈燃烧、白光、放热、使石灰水变浑浊


S+O2
点燃
SO2
剧烈燃烧、放热、刺激味气体、空气中淡蓝色火焰
.
氧气中蓝紫色火焰


2H2+O2
点燃
2H2O
淡蓝火焰、放热、生成使无水
CuSO4
变蓝的液体（水）

高能燃料


4P+5O2
点燃
2P2O5
剧烈燃烧、大量白烟、放热、生成白色固体

证明空气中氧气含量


CH4+2O2
点燃
2H2O+CO2
蓝色火焰、放热、生成使石灰水变浑 浊气体和使无水
CuSO4
变
蓝的液体（水）

甲烷和天然气的燃烧


2C2H2+5O2
点燃
2H2O+4CO2
蓝色火焰、放热、黑烟、生成 使石灰水变浑浊气体和使无水
CuSO4
变蓝的液体（水）

氧炔焰、焊接切割金属


2KClO3MnO2 Δ2KCl +3O2↑
生成使带火星的木条复燃的气体

实验室制备氧气


2KMnO4Δ K2MnO4+MnO2+O2↑
紫色变为黑色、
生成使带火星木条复燃的气体

实验室制备
氧气


2HgOΔ2Hg+O2↑
红色变为银白、生成使带火星木条复燃的气体

拉瓦锡实验


2H2O
通电
2H2↑+O2↑
水通电分解为氢气和氧气

电解水


Cu2(OH)2CO3Δ2CuO+H2O+CO2↑
绿色变黑色、试管壁有液体、使石灰水变浑浊气体

铜绿
加热


NH4HCO3ΔNH3↑+ H2O +CO2↑
白色固体消失、管壁有液体、使石灰水变浑浊气体

碳酸氢
铵长期暴露空气中会消失


Zn+H2SO4=ZnSO4+H2↑
有大量气泡产生、锌粒逐渐溶解

实验室制备氢气


Fe+H2SO4=FeSO4+H2↑
有大量气泡产生、金属颗粒逐渐溶解


Mg+H2SO4 =MgSO4+H2↑
有大量气泡产生、金属颗粒逐渐溶解


2Al+3H2SO4=Al2(SO4)3+3H2↑
有大量气泡产生、金属颗粒逐渐溶解


Fe2O3+3H2 Δ 2Fe+3H2O
红色逐渐变为银白色、试管壁有液体

冶炼金属、利用氢气的还原
性


Fe3O4+4H2
Δ3Fe+4H2O
黑色逐渐变为银白色、试管壁有液体

冶炼金属、利用氢气的还原
性


WO3+3H2Δ W +3H2O
冶炼金属钨、利用氢气的还原性


MoO3+3H2 ΔMo +3H2O
冶炼金属钼、利用氢气的还原性


2Na+Cl2Δ
或点燃
2NaCl
剧烈燃烧、黄色火焰

离子化合物的形成、


H2+Cl2
点燃或光照

2HCl
点燃苍白色火焰、瓶口白雾

共价化合物的形成、制备盐酸


CuSO4+2NaOH=Cu(OH)2↓+Na2SO4
蓝色沉淀生成、上部为澄清溶液

质量守恒定律实验


2C +O2
点燃
2CO
煤炉中常见反应、空气污染物之一、煤气中毒原因


2C O+O2
点燃
2CO2
蓝色火焰

煤气燃烧


C + CuO
高温
2Cu+ CO2↑
黑色逐渐变为红色、产生使澄清石灰水变浑浊的气体

冶炼金属


2Fe2O3+3C
高温
4Fe+ 3CO2↑
冶炼金属


Fe3O4+2C
高温
3Fe + 2CO2↑
冶炼金属


C + CO2
高温
2CO

CO2 + H2O = H2CO3
碳酸使石蕊变红

证明碳酸的酸性


H2CO3 ΔCO2↑+ H2O
石蕊红色褪去


Ca(OH)2+CO2= CaCO3↓+ H2O
澄清石灰水变浑浊

应用
CO2
检验和石灰浆粉刷墙壁


CaCO3+H2O+CO2 = Ca(HCO3)2
白色沉淀逐渐溶解

溶洞的形成，石头的风化


Ca(HCO3)2Δ
CaCO3↓+H2O+CO2↑
白色沉淀、产生使澄清石灰水变浑浊的气体

水垢形成
.
钟乳石的形成


2NaHCO3ΔNa2CO3+H2O+CO2↑
产生使澄清石灰水变浑浊的气体

小苏打蒸馒头


CaCO3
高温

CaO+ CO2↑
工业制备二氧化碳和生石灰


CaCO3+2HCl=CaCl2
+ H2O+CO2↑
固体逐渐溶解、有使澄清石灰水变浑浊的气体

实验室制
备二氧化碳、除水垢


Na2CO3+H2SO4=Na2SO4+H2O+CO2↑
固体逐渐溶解、有使澄清石灰水变浑浊的气体

泡沫
灭火器原理


Na2CO3+2HCl=2NaCl+
H2O+CO2↑
固体逐渐溶解、有使澄清石灰水变浑浊的气体

泡沫灭
火器原理


MgCO3+2HCl=MgCl2+H2O+CO2↑
固体逐渐溶解、有使澄清石灰水变浑浊的气体


CuO +COΔ Cu + CO2
黑色逐渐变红色，产生使澄清石灰水变浑浊的气体

冶炼金属


Fe2O3+3CO
高温

2Fe+3CO2
冶炼金属原理


Fe3O4+4CO
高温

3Fe+4CO2
冶炼金属原理


WO3+3CO
高温

W+3CO2
冶炼金属原理


CH3COOH+NaOH=CH3COONa+H2O

2CH3OH+3O2
点燃
2CO2+4H2O

C2H5OH+3O2
点燃
2CO2+3H2O
蓝色火焰、
产生使石灰水变浑浊的气体、
放热

酒精的燃烧


Fe+CuSO4=Cu+FeSO4
银白色金属表面覆盖一层红色物质

湿法炼铜、镀铜


Mg+FeSO4= Fe+ MgSO4
溶液由浅绿色变为无色

Cu+Hg(NO3)2=Hg+ Cu (NO3)2

Cu+2AgNO3=2Ag+ Cu(NO3)2
红色金属表面覆盖一层银白色物质

镀银


Zn+CuSO4= Cu+ZnSO4
青白色金属表面覆盖一层红色物质

镀铜


Fe2O3+6HCl=2FeCl3+3H2O
铁锈溶解、溶液呈黄色

铁器除锈


Al2O3+6HCl=2AlCl3+3H2O
白色固体溶解


Na2O+2HCl=2NaCl+H2O
白色固体溶解


CuO+2HCl=CuCl2+H2O
黑色固体溶解、溶液呈蓝色


ZnO+2HCl=ZnCl2+ H2O
白色固体溶解


MgO+2HCl=MgCl2+ H2O
白色固体溶解


CaO+2HCl=CaCl2+ H2O
白色固体溶解


NaOH+HCl=NaCl+ H2O
白色固体溶解


Cu(OH)2+2HCl=CuCl2+2H2O
蓝色固体溶解


Mg(OH)2+2HCl=MgCl2+2H2O
白色固体溶解


Al(OH)3+3HCl=AlCl3+3H2O
白色固体溶解

胃舒平治疗胃酸过多


Fe(OH)3+3HCl=FeCl3+3H2O
红褐色沉淀溶解、溶液呈黄色


Ca(OH)2+2HCl=CaCl2+2H2O

HCl+AgNO3= AgCl↓+HNO3
生成白色沉淀、不溶解于稀硝酸

检验
Cl
—
的原理


Fe2O3+3H2SO4= Fe2(SO4)3+3H2O
铁锈溶解、溶液呈黄色

铁器除锈


Al2O3+3H2SO4= Al2(SO4)3+3H2O
白色固体溶解


CuO+H2SO4=CuSO4+H2O
黑色固体溶解、溶液呈蓝色


ZnO+H2SO4=ZnSO4+H2O
白色固体溶解


MgO+H2SO4=MgSO4+H2O
白色固体溶解


2NaOH+H2SO4=Na2SO4+2H2O

Cu(OH)2+H2SO4=CuSO4+2H2O
蓝色固体溶解


Ca(OH)2+H2SO4=CaSO4+2H2O

Mg(OH)2+H2SO4=MgSO4+2H2O
白色固体溶解


2Al(OH)3+3H2SO4=Al2(SO4)3+3H2O
白色固体溶解


2Fe(OH)3+3H2SO4=Fe2(SO4)3+3H2O
红褐色沉淀溶解、溶液呈黄色


Ba(OH)2+ H2SO4=BaSO4↓+2H2O
生成白色沉淀、不溶解于稀硝酸

检验
SO42
—
的原理


BaCl2+ H2SO4=BaSO4↓+2
HCl
生成白色沉淀、不溶解于稀硝酸

检验
SO42
—
的原理


Ba(NO3)2+H2SO4=BaSO4↓+2HNO3
生成白色沉淀、不溶解于稀硝酸

检验
SO42
—
的原理


Na2O+2HNO3=2NaNO3+H2O
白色固体溶解


CuO+2HNO3=Cu(NO3)2+H2O
黑色固体溶解、溶液呈蓝色


ZnO+2HNO3=Zn(NO3)2+ H2O
白色固体溶解


MgO+2HNO3=Mg(NO3)2+ H2O
白色固体溶解


CaO+2HNO3=Ca(NO3)2+ H2O
白色固体溶解


NaOH+HNO3=NaNO3+ H2O

Cu(OH)2+2HNO3=Cu(NO3)2+2H2O
蓝色固体溶解


Mg(OH)2+2HNO3=Mg(NO3)2+2H2O
白色固体溶解


Al(OH)3+3HNO3=Al(NO3)3+3H2O
白色固体溶解


Ca(OH)2+2HNO3=Ca(NO3)2+2H2O

Fe(OH)3+3HNO3=Fe(NO3)3+3H2O
红褐色沉淀溶解、溶液呈黄色


3NaOH + H3PO4=3H2O + Na3PO4

3NH3+H3PO4=(NH4)3PO4

2NaOH+CO2=Na2CO3+ H2O
吸收
CO
、
O2< br>、
H2
中的
CO2
、


2NaOH+SO2=Na2SO3+ H2O 2NaOH+SO3=Na2SO4+ H2O
处理硫酸工厂的尾气（
SO2
）


FeCl3+3NaOH=Fe(OH)3↓+3NaCl
溶液黄色褪去、有红褐色沉淀生成


AlCl3+3NaOH=Al(OH)3↓+3NaCl
有白色沉淀生成


MgCl2+2NaOH = Mg(OH)2↓+2NaCl

CuCl2+2NaOH = Cu(OH)2↓+2NaCl
溶液蓝色褪去、有蓝色沉淀生成


CaO+ H2O = Ca(OH)2
白色块状固体变为粉末、

生石灰制备石灰浆


Ca(OH)2+SO2=CaSO3↓+ H2O
有白色沉淀生成

初中一般不用


Ca(OH)2+Na2CO3=CaCO3↓+2NaOH
有白色沉淀生成

工业制烧碱、实验室制少量烧碱


Ba(OH)2+Na2CO3=BaCO3↓+2NaOH
有白色沉淀生成


Ca(OH)2+K2CO3=CaCO3↓ +2KOH
有白色沉淀生成


CuSO4+5H2O= CuSO4?H2O
蓝色晶体变为白色粉末


CuSO4?H2OΔ CuSO4+5H2O
白色粉末变为蓝色

检验物质中是否含有水


AgNO3+NaCl = AgCl↓+Na NO3
白色不溶解于稀硝酸的沉淀（其他氯化物类似反应）

应用
于检验溶液中的氯离子


BaCl2 + Na2SO4 = BaSO4↓+2NaCl
白色不溶解于稀硝酸的沉淀（其他硫酸盐类似反应）

应
用于检验硫酸根离子


CaCl2+Na2CO3= CaCO3↓+2NaCl
有白色沉淀生成


MgCl2+Ba(OH)2=BaCl2+Mg(OH)2↓
有白色沉淀生成


CaCO3+2HCl=CaCl2+H2O+CO2 ↑

MgCO3+2H
Cl= MgCl2+H2O+ CO2 ↑

NH4NO3+NaOH=NaNO3+NH3↑+H2O
生成使湿润石蕊试纸变蓝色的气体

应用于检验溶液
中的铵根离子


NH4Cl+ KOH= KCl+NH3↑+H2O
生成使湿润石蕊试纸变蓝色的气体



【高中生物】公式大全

1
、蛋白质结构中的等量关系：


蛋白质中氨基酸数目＝肽键数目（即水分子数目）＋

肽链条数

＝
mRNA
（翻译摸板）中的碱基数
÷
3
＝
DNA
（相应基因）中的碱基数
÷
6
蛋白质中至少还有氨基和羧基的数目＝肽链条数；

蛋白质中最多有氨基酸种类为
20
种。

2
、区别有丝分裂和减数分裂的一般方法步骤如下：

①一数
——< br>数染色体数目：若为奇数，则肯定是减数第二次分裂；
若为偶数，则进入下一步
骤；
②二看
——
一看有无同源染色体：若无，
则肯定是减数第二次分裂；若 有，
则再看同源染色
体的

行为变化：
如果有同源染色体的联会、形 成四分体、同源染色体彼此分离中的任意一项，即
为减数

第一次分裂；如果同源染色体始终单独活动，则肯定是有丝分裂；

③三判断
——
对照分裂过程中染色体的行为变化规律（有丝分裂各时期）来判断分裂时期。

附有丝分裂各期特点（口诀）：

①
“
染色体
”
复制现
“
单体
”

（间）

②膜、仁消失现两体

（前）

③赤道板上排整齐


（中）

④均分牵引到两极

（后）

⑤膜、仁板（重）现两体失


（末）

3
、 细胞分裂中有关染色体的一组概念（染色体和
DNA
等的数量判断要点）：

①染色体组：二倍体生物配子中的一套染色体（大小，形态互不相同。）

②同源染色 体：
形态大小一般都相同
,
一个来自父方
,
一个来自母方
(
次级精、
卵母细胞，
精子、
卵细胞中没有
)
；

③染色体：

以着丝点数目为准，常染色体：在雌雄个体中没有差异的染色体，性 染色体：
在雌雄个体中有显著差异的染色体

④染色单体：一个染色体复制后内含两个
DNA
时，才有染色单体；（染色体复制后才有并
连在一个

着丝点上，着丝点分裂后就没有）；

⑤
DNA
量：

有单体时等于单体数（是染色体数的两倍），无单体时等于染色体数；


⑥四分体：

（减
I
前、中期）联会后，每对同源染色体含两条染色体，四个染色单体；

（
1
个四分体

= 1
对同源染色体

= 2
个染色体

= 4
个染色单体

= 4
个
DNA
）。

4
、如某种生物体细胞中染色体数目为（２Ｎ），则有：


5
、
5
、坐标曲线的判断方法；

①标识
——
（看横、纵坐标含义）；

②明点
——
（看起点、转折点、终点的意义）；

③述线
— —
［据纵坐标
（因变量）
随横坐标
（自变量）
而改变的原则对曲线各 段进行描述］
。

6
、课本中的有关反应式：


①氨基酸脱水缩合：




②
ATP
和
ADP
的相互转化：




③光合作用：



能量变化：光能
→
电能
→
活跃的化学能（
ATP
、
NADPH
）
→
稳定的化学能（有机物）

④有氧呼吸：





⑤无氧呼吸




7
、光合作用和呼吸作用的有关计算：

在光下，光合作用和呼吸作用同时进行；在黑暗中，只有呼吸作用，没有光合作用。

光合作用实际产氧量＝实测的氧气释放量＋呼吸作用耗氧量

光化作用实际二氧化碳消耗量＝实测的二氧化碳消耗量＋呼吸作用二氧化碳释放量

光化作用葡萄糖净生产量＝光化作用实际葡萄糖生产量－呼吸作用葡萄糖消耗量

8
、（
1
）解遗传题的一般方法步骤：

①、依照题意，画出便于逻辑推导的图解；

②、判断遗传病的显隐性，及染色体位置；

③、根据表现型初步确定基因型；（详细见后面的判断方法）

④、抓住
“< br>隐性性状
”
深入探究
——“
隐性突破法
”
；

⑤、逐对相对性状研究，各个击破；

⑥、根据后代性状分离比，来计算概率。（注意性别比例的带入情况）

（
2
）遗传病判断的一般方法：


肯定判断：①、无中生有为隐性，如是女儿定为常
——
常隐；

②、有中生无为显性，如是女儿定为常
——
常显；

否定判断：③、 系谱中只有男性患者，且男患儿必患
——
可能是伴
Y
遗传，否则必不是；
④、系谱中都是母病儿必病，女病父必病
——
可能是伴
X
隐性 遗传，否则必不是；

⑤、系谱中都是父病女必病，儿病母必病
——
可能是伴
X
显性遗传，否则必不是。

初步确定基因型：⑥、隐性性状的基因型唯一

——

必为纯合

dd
；

⑦、显性性状的基因型至少有一显性基因
——

必有
D__
9
、
2
n

的含义：

①、具有
n
对同源染色体的生物减数分裂产生配子的种类数；

②、具有
n
对等位基因（自由组合）的生物减数分裂产生配子的种类数；

③、具有
n
对相对性状的生物产生的子代中表现型的种类数；

④、 一个
DNA
分子复制
n
次后的
DNA
分子的数目；

⑤、一个细胞有丝分裂
n
次后产生的子细胞数目。

10
、有关中心法则的内容：



公式：


②某
DNA
片段中有腺嘌呤
a
个，占全部碱基比例为b
，则胞嘧啶为
个

③在
DNA
分子中的一条单链
，则在另一互补链中这种比例是

1/m
；

这个比例关系在整个
DNA
分子中是
_1_
；

④当在一条单链中，
时：在另一互补链中这种比例是
_n_
；

这个比例关系在整个
DNA
分子中是
_n_
。

⑤ 某
DNA
分子共有
a
个碱基，其中含胞嘧啶
m
个
,
则该
DNA
分子复制
n
次，需要

游离的胸腺嘧啶脱氧核苷酸数为：
⑥基因对性状的控制情况：



11
、关于两个遗传定律的关系：


12
、有关能量流动的内容：




13
、有关物质循环的内容：


（
1
）碳循环：
①特点：
循环性、
全球性；
②循环形式：
群落和无机环 境之间是
CO
2
形式，
群落内各生物间是含碳有机物形式沿食物链传递；③途径：
一来源
——
生产者通过光合作用
将
CO
2固定；三返回
——
通过动植物呼吸、微生物分解、化石燃料的燃烧返回。


（
2
）氮循环：①特点：循环性、全球性；②循环形式：进入群落形式
——
N
2
→NH
3
→NO
2
-
→ NO
3
-
，群落内各生物间是含氮有机物形式沿食物链传递，回到无机
环境形 式
——
NH
3
、
NO
3
-
、
N< br>2
、尿素等；③途径：三来源
——
生物固氮、大气高能固氮、工
业固氮 为
NH
3
、
NO
3
-
、尿素等，硝化细菌将
NH3
氧化为
NO
3
-
，植物同化作用转化为含氮
有机物 ；三返回
——
微生物分解、反硝化细菌的作用、化石燃料的燃烧返回。


















高中数学知识汇总


熟悉这些解题小结论，启迪解题思路、探求解题佳径，总结解题方法，防止解题易误
点的产生，对提升高考数学成绩将会起到立竿见影的效果。

一、集合与简易逻辑




1.
集合的元素具有无序性和互异性
.

2.
对集合
A
、
B
，
A
B

时
，你是否注意到“极端”情况：
A


或
B


；求集
合的子集时是否注意到

是任何集合的子集、

是任何非空集合的真子集
.




3 .
对于含有
n
个元素的有限集合
M
，其子集、真子集、非空子集、非 空真子集的个数依
2

1
，
，
次为
2
，< br>
2

1

2

2
.
< br>4.
“
交的补
等于
补的并
，即
C
U
(
A
n
n
n
n
B
)

C
U
A
C
U
B
”
；
“
并的补
等于< br>补的交
，即
C
U
(
A
B
)

C
U
A
C
U
B
”
.
5.
判断命题的真假

关键是
“抓住
关联字词
”< br>；注意：
“不‘或’即‘且’
，不‘且’即‘或’
”
.
6.
“或命题”的
真假特点是
“一真即真，要假全假”
；
“且命题”的真 假特点是“一假即
假，要真全真”
；
“非命题”的真假特点是“一真一假”
.
7
.
四种命题
中“
‘逆’者‘交换’也”
、
“‘否’者‘否定’也”
.
原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价< br>.
反证法分为三步：假设、
推矛、得果
.
注意
：命题的否定 是“命题的非命题，也就是‘条件不变，仅否定结论’所得命题”
，
但否命题是
“既否 定原命题的条件作为条件，
又否定原命题的结论作为结论的所得命题”


.
8.
充要条件


二、函

数

1.
指数式、对数式
，

m
n
n
m
a

a
，
a

m
n
log
N< br>，
a
a

N


1
m
a< br>n
a
b

N

log
a
N

b
(
a

0,
a

1,
N
0)
，
.
a
0

1
，
l og
a
1

0
，
log
a
a
< br>1
，
lg
2

lg5

1
，
log
e
x

ln
x
，

log
c
b
，
.
log
b
n

n
lo g
b
.
log
a
b

a
a
m< br>m
log
c
a
2.(1)
映射
是“
‘全部射 出’加‘一箭一雕’
”
；映射中第一个集合
A
中的元素必有像，但
第 二个集合
B
中的元素不一定有原像（
A
中元素的像有且仅有下一个，但
B
中元素的原像
可能没有，也可任意个）
；函数是“非空数集上的映射”
， 其中“值域是映射中像集
B
的子
集”
.

(2)
函数图像与
x
轴垂线至多一个公共点，但与
y
轴垂线的公共点可能没有，也可 任意
个
.
(3)
函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像
.
(4)
原函数与反函数有两个
“交叉关系”
：
自变量与因变量、定义域与值域
.
求一个函数的
反函数，分三步：逆解、交换、定域（确定原函数的 值域，并作为反函数的定义域）
.
注意：①
f
(
a
)
b

f
但
f
[
f

1
1
(
b
)

a
，
f
[f

1
(
x
)]

x
，
f< br>
1
[
f
(
x
)]

x
，

(
x
)]

f

1
[
f
(
x
)]
.
②

函数
y
< br>f
(
x

1)
的反函数是
y

f< br>
1
(
x
)

1
，而不是
y

f

1
(
x

1)
.
3.
单调性和奇偶性

(1)
奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同
.
偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反
.
单调函数的反 函数和原函数有相同的性；
如果奇函数有反函数，
那么其反函数一定还
是奇函数
.
注意：
（
1
）确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点 对称

.
确定函
数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等
.

对于偶函数而言有：
f
(

x
)
f
(
x
)

f
(|
x
|)
.
（
2
）若奇函数定义域中有
0
，则必有
f
(0)< br>
0
.
即
0

f
(
x
)< br>的定义域时，
f
(0)

0
是
f
(
x
)
为奇函数的必要非充分条件
.
（
3
）确定函数的单调 性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）
、
导数法；在选择、填空题中还 有：数形结合法
(
图像法
)
、特殊值法等等
.
（
4
）
函数单调是函数有反函数的一个充分非必要条件
.

(5)
定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函
数的和（或差）
”
.
(6)
函数
单调是
函数
有 反函数的充分非必要条件
，奇函数可能反函数，但偶函数只有
f
(
x
)

0(
x

{0})
有反函数；既奇又偶函数有无穷多个 （
f
(
x
)

0
，定义域是关于原点对
称 的任意一个数集）
.
(7)
复合函数的单调性特点是：
“
同性得增 ，增必同性；异性得减，减必异性
”
.
复合函数的奇偶性特点是：
“
内偶则偶，内奇同外
”
.
复合函数要考虑定义域的变化。
（即复合有意义）


4.
对称性与周期性（以下结论要消化吸收，不可强记）

(1)
函 数
y

f

x

与函数
y
f


x

的图像关于直线
x

0< br>（
y
轴）对称
.
推广一：如果函数
y

f

x

对于一切
x

R
，都有
f

a

x


f

b

x

成立，那么
y

f

x
< br>的图像关于直线
x

a

b
(
a

x
)

(
b

x
)
（由“
x
和的一半
x

确定”
）对称
.
2
2
b

a
（由
a

x

b

x
2
推广二：函数
y

f

a

x

，
y

f

b

x

的图像关于直线
x

确定）对称
.

(2)
函数
y

f

x

与函数
y


f

x

的图像关于直线
y

0
（
x
轴）对称
.
推广：函数
y

f

x

与函数
y

A

f

x

的图像关于直线
y

A
对称（ 由“
y
和的一
2
半
y

[
f
(< br>x
)]

[
A

f
(
x
) ]
确定”
）
.

2
(3)
函数
y

f

x

与函数
y


f

x

的图像关于坐标原点中心对称
.

推 广：函数
y

f

x

与函数
y

m

f

n

x

的图像关于 点
(
n
,
m
)
中心对称
.
2
2

1
(4)
函数
y

f

x
与函数
y

f

x

的图像关于直 线
y

x
对称
.
推广：
曲线
f
(
x
,
y
)

0
关于直线
y
< br>x

b
的对称曲线是
f
(
y

b< br>,
x

b
)

0
；

曲线
f
(
x
,
y
)

0
关于直线y


x

b
的对称曲线是
f
(
y

b
,

x

b
)
0
.
(5)
曲线
f
(
x
,
y
)

0
绕原点逆时针旋转
90
，所得曲线是
f
(
y
,

x
)

0
（
逆 时针横变再
交换
）
.
特
别
：
y

f
(
x
)
绕
原
点
逆
时
针
旋
转
90
，
得

x

f
(y
)
，
若
y

f
(
x
)有
反
函
数
y

f

1
(x
)
，则得
y

f

1
(

x
)
.
曲线
f
(
x
,
y
)

0
绕原点顺时针旋转
90
，
所得曲线是
f< br>(

y
,
x
)

0
（
顺时 针纵变再交
换
）
.
特
别
：
y

f
(
x
)
绕
原
点
顺
时
针
旋
转
90
，
得
x

f
(

y
)
，
若
y

f
(
x
)
有
反
函
数
y

f

1
(
x
)
，则得
y


f

1
(< br>x
)
.
(6)
类比“三角函数图像”得：

若y

f
(
x
)
图像有两条对称轴
x

a
,
x

b
(
a

b
)
，则
y

f
(
x
)
必是周期函数，且一< br>周期为
T

2
|
a

b
|
.
若
y

f
(
x
)
图像有两个对称中心
A
(
a
,0),
B
(
b
,0)(
a

b
)
，
则
y

f
(
x
)
是周期函数，
且
一周期为
T

2
|< br>a

b
|
.
如果函数
y

f(
x
)
的图像有下一个对称中心
A
(
a
,0)
和一条对称轴
x

b
(
a

b
)
，则函数
y

f
(
x
)
必是周期函数，且 一周期为
T

4
|
a

b
|
.< br>

如果
y

f
(
x
)
是
R
上的周期函数，且一个周期为
T
，那么
f
(
x< br>
nT
)

f
(
x
)(
n

Z
)
.


特别
：若
f
(x

a
)


f
(
x
)(< br>a

0)
恒成立，则
T

2
a
.
若
f
(
x

a
)

成立，则T

2
a
.
如果
y

f
(
x
)
是周期函数，那么
y

f
(
x
)
的定义域“无界”
.


5.
图像变换

(1)
函数图像的
平移和伸缩变换应注意哪些问题？

函数
y

f
(
x
)
的图像按向量
a

(
k
,
h
)
平移
后，得函数
y

h

f
(
x

k
)
的图像
.

(2)
函数图像的平移、伸缩变换中，图像的
特殊点、特殊线也作相应的变 换
.

(3)
图像变换应重视将所研究函数与常见函数（正比例函数、反比 例函数、一次函数、
二次函数、对数函数、指数函数、三角函数、
“鱼钩函数
y

x

k
1
1
(
a

0)恒成立，则
T

2
a
.
若
f
(
x

a
)


(
a

0)恒
f
(
x
)
f
(
x
)
x
k

0

”及函数
y

x

k
x

k

0

等）相互转化
.
2

注意：①形如
y

ax

bx

c
的函数，不一定是二次函数
.
②应特别重视
“ 二次三项式”
、
“二次方程”
、
“二次函数”
、
“二次曲线 ”
之间的特别联系
.

③形如
y

ax< br>
b
(
c

0,
ad

bc
)
的图像是等轴双曲线，双曲线两渐近线分别直线
cx

d
x

d
(
由分母为零确定
)
、直线
y

a
(
由分子、分母中
x
的系数确定
)
，双曲线的 中心是
c
c
点
(

d
,
a
).


c
c
三、数


列

1.
数列的通项
、数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前
n
项和公
式的关系：
a
n


S
1,(
n

1)
(
必要时请分类讨论
)
. S
n

S
n

1
,(
n
< br>2)

(
a
2

a
1
)

a
1
；

注意：
a
n

(
a
n

a
n

1
)

(
a
n

1

a
n

2
)

a
n

a
n
a
n

1


a
n

1
a
n

2

a
2

a
1
.
a
1
2.< br>等差数列
{
a
n
}
中：

（
1
）等差数列公差的取值与等差数列的单调性
.
（
2< br>）
a
n

a
1

(
n
< br>1)
d

a
m

(
n

m
)
d
；
p

q

m

n

a
p

a
q

a
m

a
n
.
(3)
{
a
n
1
(
k

1)
m
}
、
{
ka
n
}
也成等差数列
.
(4)
两等差数列对应项和
(
差
)
组成的新数列仍成
等差数列
.
(5)
a
1< br>
a
2

（
6
）
S
n
< br>
a
m
,
a
k

a
k
< br>1


a
k

m

1
,< br>仍成等差数列
.
n
(
a
1

a
n
)
n
(
n

1)
d
d
，
S
n

na
1

d
，
S
n

n
2

(
a
1

)
n
，

2
2
2
2
a
n

A
a
S
2
n

1
，
n

f
(
n
)

n

f
(2
n
1)
.
b
n
2
n

1
B
n
(7)
a
p

q
,
a
q

p
(
p

q
)

a
p

q

0
；
S
p

q
,
S
q

p
(
p

q
)

S
p

q


(
p

q
)
；
S
m

n

S
m

S
n

mnd
.
(8)
“首正”的递减等差数列中，前
n
项和的最大值是所有非负项之和；

“首负”的递增等差数列中，前
n
项和的最小值是所有非正项之和；

(9)
有限等差数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定
.
若总项数为偶数，则“偶数项和”－“奇数项和”＝总项数的一半与其公差的
积
；若总项数为奇数，则“奇数项和”－“偶数项和”＝此数列的中项
.
（
10
）两数的等差中项惟一存在
.
在遇到三数或四数成等差数列时，常考虑选 用“中项关
系”转化求解
.
(11)
判定数列是否是等差数列的主要方法有 ：定义法、中项法、通项法、和式法、图像
法
(
也就是说数列是等差数列的充要条件主 要有这五种形式
).
3.
等比数列
{
a
n
}
中：

（
1
）
等比数列的符号
特征
(
全正或全负或一正一负
)
，
等比数列的首项、公比与等比数列
的单调性
.
n
< br>1
n

m
（
1
）
a
n
< br>a
1
q

a
m
q
；

p< br>
q

m

n

b
p
< br>b
q

b
m

b
n
.
{
b
n
}
成等比数列

{
a
n
b< br>n
}
成等比
(3)

{|
a
n
|}
、
{
a
n
1

(
k

1 )
m
}
、
{
ka
n
}
成等比数列；
{
a
n
}
、
数列
.
(4)
两等比数列 对应项积
(
商
)
组成的新数列仍成等比数列
.
(5)a
1

a
2


a
m
,a
k

a
k

1


ak

m

1
,
成等比数列
.

na
1
(
q

1)

na
1
(
q

1)




a
1
n
（
6
）
S
n


a
1

a
n
q
a
1
(1

q
n)
.
a
1

q

(
q

1)

1

q

1

q
(
q

1)

1

q
1

q



特别：
a

b

(
a

b
)(
a
n
n
n
1

a
n

2
b

a
n
3
b
2


ab
n

2< br>
b
n

1
)
.
(7)
Sm

n

S
m

q
m
Sn

S
n

q
n
S
m
. < br>(8)
“首大于
1
”的正值递减等比数列中，前
n
项积的最大 值是所有大于或等于
1
的项
的积；
“首小于
1
”的正值递增 等比数列中，前
n
项积的最小值是所有小于或等于
1
的项的
积；
(9)
有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数 还
是奇数决定
.
若总项数为偶数，则“偶数项和”＝“奇数项和”与“公比”的积；若总项数
为奇数，则“奇数项和”＝“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和
.
（
10
）并非任何两数总有等比中项
.

仅当实数
a
,
b
同号时，实数
a
,
b
存在等比中项
.
对同
号两实数
a
,
b
的等比中项不仅存在，而且有一对< br>G


ab
.
也就是说，
两实数要么没有等比
中项
(
非同号时
)
，
如果有，必有一对
(
同号时
)
.
在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考
虑选用“中项关系”转化求解
.

(11)
判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通 项法、和式法
(
也就是
说数列是等比数列的充要条件主要有这四种形式
).
4.
等差数列与等比数列的联系

(1)
如果数列
{
a
n
}
成等差数列，那么数列
{
A
n
}
(
A
n
总有意义
)
必成等比数列
.
(2)
如果数列
{
a
n
}
成等比数列，那么数列
{log
a
|
a
n
|}(
a

0,
a

1)
必成等差数列
.
(3)
如果数列
{
a
n
}
既成等差数列又成等比数列，那么数列
{
a
n
}是非零常数数列；但数列
{
a
n
}
是常数数列仅是数列既成等差 数列又成等比数列的必要非充分条件
.
a
a
(4)
如果两等差数列 有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，
且新等差数列的公差是原两等差数列公 差的最小公倍数
.
如果一个等差数列与一个等比数列有公共项顺次组成新数列，那么常选用“ 由特殊到
一般的方法”
进行研讨，
且以其等比数列的项为主，
探求等比数列中 那些项是他们的公共项，
并构成新的数列
.
注意：
(1)
公共项仅 是公共的项，
其项数不一定相同，
即研究
a
n

b
m
.
但也有少数问题中
研究
a
n

b
n< br>，这时既要求项相同，也要求项数相同
.(2)
三
(
四
)个数成等差
(
比
)
的中项转化和
通项转化法
.
5.
数列求和的常用方法：

（
1
）
公式法
：①等差数列求和公式（三种形式）
，②等比数列求和公式（三种形式）
，

③
1

2

3


n

1
n
(
n

1)
，
1
2
2
2

3
2

2

n
2
1
n
(
n

1)(2
n

1)
，

6
1

3

5


(2
n

1)

n
2
，
1< br>
3

5


(2
n

1 )

(
n

1)
2
.
（
2）
分组求和法
：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合
并在一起，再运用公式法求和
.
（
3
）
倒序相加法
：在数 列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列
的通项与组合数相关联，
则常可考 虑选用倒序相加法，
发挥其共性的作用求和
（这也是等差
数列前
n
和 公式的推导方法）
.
（
4
）
错位相减法
：如果数列的通项 是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相
乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个 新的的等比数列的和”求解（注意：
一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差 ”
！
）
（这也是等比数列
前
n
和公式的推导方法之一）.
（
5
）
裂项相消法
：如果数列的通项可“分裂成两项差”的 形式，且相邻项分裂后相关
联，那么常选用裂项相消法求和
.
常用裂项形式有：

1
1

1

1
，

②

1
(
1

1
)
，

n
(
n

1)
n
n

1
n
(
n

k
)
k
n
n

k
1
1
1
1
1
③
2

2

(

)
，

k
k

1
2
k

1
k

1
①
1
1
1
1
1
1
1



2



，

k
k

1
(
k

1)
k
k
(
k

1)
k
k
1
k
④
1
1
1
1
n
11



[

]

，⑤
,
(
n

1)!
n
!
(
n

1)!
n
(
n

1)(
n

2)
2
n
(
n

1)
(
n

1)(
n

2)
⑥
2(
n

1

n
)

1

2(
n

n
1)
,
n
⑦
a
n

S
n

S
n

1
(
n

2)
，⑧
C
n
m

1
m
m
m
m
m

1

C
n

C
n
.
1

C
n

C
n

1
C
n
特别声明：

运用等比数列求和公式，务必检查其公比与
1
的关系，必要时分类讨论
.
（
6
）通项转换法。


6.
分期付款型应用问题

(1)
重视将这类应用题与等差数列或等比数列相联系
.
(2)
若 应用问题像“森林木材问题”那样，既增长又砍伐，则
常选用“统一法”统一到
“最后”解决< br>.
(3)
“分期付款”
、
“森林木材”
等问题的解决过程中 ，
务必
“卡手指”
，
细心计算
“年限”
作为相应的“指数”
.




四、三角函数

1.

终边与

终边相同
(

的终边在

终边 所在射线上
)





2
k

(
k

Z
)
.

终边与
终边共线
(

的终边在

终边所在直线上
)

.

终边与

终边关于
x
轴对称





2
k

(
k
Z
)
.

终边与

终边关于
y< br>轴对称







2
k

(
k

Z
)
.

终边与< br>
终边关于原点对称







2
k

(
k

Z
)
.
一般地：

终边与

终边关于角

的终边对称



2




2
k

(
k

Z
)
.

sin
2
2
cos

2
2
tan

2
2
sin


cos

sin

cos

1
0



1
1
0
1
0

2
2

2
2
0

1

2
2
1
0

1
0
1
2
1
2
1
0
0
1
0

1

1

2
2
0
2
2


1

2

1

1
< br>2

与

的终边关系由“两等分各象限、一二三四”确定
.
2
2
2.
弧长公式：
l

|

|
R
，扇形面积公式：
S

1
lR

1|

|
R
，
1
弧度
(1rad)
< br>57.3
.
2
2
3.
三角函数符号特征是：
一是全 正、二正弦正、三是切正、四余弦正
.
注意：
sin15

cos75


6

2
,sin75


cos15


6

2
，

4
4
tan15

cot
75

2
3,
tan
75

cot15

2

3
，
sin18


5

1
.

4
4.
三角函数线的特征
是：
正弦线
“站在
x轴上
(
起点在
x
轴上
)
”
、
余弦线< br>“躺在
x
轴上
(
起
点是原点
)
”
、 正切线“站在点
A
(1,0)
处
(
起点是
A
)”
.
务必重视“三角函数值的大小与单位
圆上相应点的坐标之间的关系，
‘正弦’

‘纵坐标’
、
‘余弦’

‘横坐标’
、
‘正切’

‘纵坐标除以横坐标之商’
”
；
务必记住
：
单位圆中角终边的变化与
sin


cos

值的大小
变化的关系
.

为锐角

sin




tan

.

5.
三角函数同 角关系中，
平方关系的运用中，
务必重视
“根据已知角的范围和三角函数
的取 值，精确确定角的范围，并进行定号”
；

6.
三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变，符号看象限
.
7.
三角函数变换主要是：
角、
函数名、
次数、
系数
(
常值)
的变换，
其核心是
“角的变换
”
!


角的变换主要有
：
已知角与特殊角的变换、
已知角与目标角的变换、
角与其倍角的变
换、两角与其和差角的变换
.
如


(< br>


)



(

< br>
)


，

2


(< br>


)

(



)< br>，
2


(



)
< br>(



)




< br>2




2
2
2
常值变换主要指 “
1
”的变换：

，














2

等
.
1

sin
2
x
cos
2
x

sec
2
x

tan< br>2
x

tan
x

cot
x
tan


sin


cos0

4
2
等
.
三角式变换主要有：三角函数名互化
(
切割化弦< br>)
、三角函数次数的降升
(
降次、升次
)
、
运算结构 的转化
(
和式与积式的互化
).

解题时本着“三看”的基本原则来 进行
:
“看角、看函
数、看特征”
,
基本的技巧有
:
巧变角
,
公式变形使用
,
化切割为弦
,
用倍角公式将高次 降次
.
注意
：和
(
差
)
角的函数结构与符号特征 ；余弦倍角公式的三种形式选用；降次
(
升次
)
公式中的符号特征
.
“正余弦‘
三兄妹
—
sin
x

cos
x
、
sin
x
cos
x
’的内存联系”
(
常和三角换
元法联系在一起
t

sin
x

cos
x


[

2,
2],sin
x
cos
x











).
辅助角公式中辅助角的确定
：
asin
x

b
cos
x

象限由
a< br>,
b
的符号确定，

角的值由
tan


a
2

b
2
sin

x



(
其中

角所在的
b
确定
)
在求最值、化简时起着重要作用
.
尤其
a
2
2
2
是两者系数绝对值之比为
1
或
3
的情形
.
A
sin
x

B
cos
x

C
有实数解

A

B

C
.

8.
三角函数性质、图像及其变换：

(1)
三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、有界性和周期性

注意： 正切函数、余切函数的定义域；
绝对值对三角函数周期性的影响
：一般说来，
某一周期 函数解析式加绝对值或平方，
其周期性是：
弦减半、
切不变
．
既为周 期函数又是偶
函数的函数自变量加绝对值，
其周期性不变；
其他不定
. 如
y

sin
2
x
,
y

s in
x
的周期都是

,
但
y

sin< br>x

cos
x
y

sin
x
cos
x
的
周
期
为

，

y =|tan
x
|
的
周
期
不
变
，
问
函
数
2
y
=cos|
x
|,
y

sin
x
,
y

sin
x
,
y< br>
cos
x

，
y
=cos|
x
|
是周期函数吗？

(2)
三角函数图像及其几何性质：

2

sin(
A
sin(


y
y
=
A
ω
x
+
x
φ
)

)
y
O
三角函数图象 几何性质
x
三角函数图象几何性质

y
=
ω
x+
φ
y
A

tan(
A
tan(
< br>x

)

)
O
y
x
x
3< br>x
4
邻中心轴相距
x
3
x
=
T
x< br>1
4
x
4
x
=
x
1
x
=< br>x
2
x
=
x
2
邻中心
|x
3
-
x
4
|=
T
/2
无穷对称中心
:
由
y
=
0
或
y
无意义确定
邻中心
|
x
3
-
x
4
|=
T
/2
无穷对称中心:
由
y
=0
确定
邻轴
|
x
1
-
x
2
|=
T
/2
无穷对称轴
:
由
y
=
A
或
-
A
确定

(3)
三角函数图像的变换：两轴方向的平移、伸缩及其向量的平移变换
.
(4)
三角函数图像的作法：三角函数线法、
五点法
(
五点横坐标成等差数列
)
和变换法
.
9.
三角形中的三角函数：

(1 )
内角和定理
：三角形三角和为

，
任意两角和
与第三个角 总互补，
任意两半角和
与
邻渐近线
|x
1
-
x2
|=
T
无对称轴
任意一条
y
轴的垂线与正切
函数图象都相交
,
且相邻两
交点的距离为一个周期！
第三个角的半角总互余< br>.
锐角三角形

三内角都是锐角

三内角的余弦值为正值
任两
角和都是钝角

任意两边的平方和大于第三边的平方
.
(2)
正弦定理
：
a

b

c

2
R
(
R
为三角形外接圆的半径
).
sinA
sin
B
sin
C
注意：
已知三角形两边一对角，< br>求解三角形时，若运用正弦定理，
则务必注意可能有两
解
.
2
2
2
(
b

c
)

a
b

c

a
(3)
余弦定理
：
a

b

c

2
bc
cos
A
,cosA



1
等，
2
bc
2
b c
2
2
2
2
2
常选用余弦定理鉴定三角形的类型
.
(4)
面积公式：
S

1
ah
a

1
ab
sin
C

abc
.
2
2
4
R
10.
反三角函数：

(1)< br>反
正
弦
arcsin
x
、
反
余
弦< br>arccos
x
、
反
正
切
arctan
x< br>的
取
值
范
围
分
别
是
[
< br>

,
],
[
0
,

],
(

,
)
.

2
2
2
2
(2)
异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角、向量的夹角的范围
依次是


(0,
]
，
[0,
],[0,

]，
[0,

]
.
直线的倾斜角、
l
1
到
l
2
的角、
l
1
与
l
2
的夹角 的范围
依次是
2
2


[0,

),[0 ,

),(0,
]
.
2
五、向

量

1.
向量运算的几何形式和坐标形式，
请注意
：
向量运算中向量起点、
终点及其坐标的特
征
.
2.
几
个
概
念
：
零
向
量
、
单
位
向
量
(
与
AB
共
线
的
单
位
向
量
是

AB
，
特
别
：
|
AB
|

(
AB
AB

AC
AC
)

(
AB
AB

AC
AC
)
)
、
平行
(
共线
)
向量
(
无传递性，是因 为有
0
)
、
相等向量
(
有
传递性
)
、
相反向量
、
向量垂直
、以及
一个向量在另一向量方向上的投影（
a
在
b
上的投影
是

a
cos

a
,
b

a

b
b

R
)
.
3.
两
非
零
向
量
平行
(
共
线
)
的
充
要
条
件a
//
b

a


b

< br>(
a

b
)
2

(|
a
| |
b
|)
2


x
1
x
2

y
1
y
2

0
.

两
个
非
零
向
量
垂
直
的
充要
条
件
a

b

a

b
0

|
a

b
|

|a

b
|


x
1
x
2
y
1
y
2

0
.

特别：零向量和任何向量共线
.
a


b
是向量平行的充分不必要条件
!
4.
平面向量的基本定理
：如果
e
1
和
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面
内的任一向量
a
，有且只有一对实数

1
、

2
，使
a
=

1
e
1
＋

2
e
2
.

AC
共线；

5.
三点
A
、
B
、
C
共线

AB
、
向
量
PA
、、
B
、
C
共
线

存
在
实数

、

使
得
：

PB
、

PC
中
三
终
点
A

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