《故乡》-

2021年1月26日发(作者：小虎队爱的伴奏)




初二公式定理大全


1
、单独的一个数或一个字母也是单项式。


2
、单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。


3
、一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。


4
、几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单向式叫做多项式的项，其中，不含字
母 的项叫做常数项。


5
、一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。


6
、单项式和多项式统称整式。


7
、所含字母相同，并 且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。


8
、
把多项式中的同类项合并成一项，
即把它们的系数相加作为新的系数，
而字母部分不变 ，
叫做合并同类项。


9
、几个整式相加减，通常用括号把每个整 式括起来，再用加减号连接：然后去括号，合并
同类项。


10
、幂的乘方，底数不变，指数相同。


11
、同底数幂相乘，底数不变，指数相加。


12
、幂的乘方，底数不变，指数相乘。


13
、积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。


14
、单向式与单向式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单向式里含有的字母，则连同它的指数作为积的因式。


15
、单向式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。


16
、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再 把所得
的积相加。


17
、两个数的和与这两个数的差的积＝这两 个数的平方差。这个公式叫做（乘法的）平方
差公式。


18
、两 数和（或差）的平方＝它们的平方和，加（或减）它们积的
2
倍。这两个公式叫做
（乘 法的）完全平方公式。


19
、添括号时，如果括号前面是正号，括到括号 里的各项都不变符号；如果括号前面是负
号，括到括号里的各项都改变符号。


20
、同底数幂相加，底数不变，指数相减。


21
、任何不等于
0
的数的
0
次幂都等于
1.

22
、单向式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含 有的字
母，则连同它的指数作为商的一个因式。


23
、多项式除 以单向式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。


24< br>、吧一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式
分解，也叫 做把这个多项式分解因式。


25
、
ma+mb+mc
， 它的各项都有一个公共的因式
m
，我们把因式
M
叫做这个多项式各项的
公因式。


由
m(a+b+c)=ma+mb+mc
，可得ma+mb+mc=m(a+b+c)

这样就把
ma+mb+mc
分 解成两个因式乘积的形式，
其中一个因式是各项的公因式
m
，
另一
个 因式（
a
＋
b+c
）是
ma+mb+mc
除以
m< br>所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式
法。


26
、两个数的平方，等于这两个数的和与这两个数差的积。


2 7
、两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的
2
倍，等于这两个数的和（或差） 的
平方。





十字交叉双乘法没有公式，一定要说的话


那就是利用
x
2
+(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)
其中
PQ
为常数。

1.
因式分解



即和差化积，其最后结果要分解到不能 再分为止。而且可以肯定一个多项式要能分解因式，
则结果唯一，因为：数域
F
上的次 数大于零的多项式
f(x),
如果不计零次因式的差异，那么
f(x)
可以唯 一的分解为以下形式：



f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)… Piki(x)*,
其中
α
是
f(x)
的最高次项的系数，
P1(x),P2(x)……Pi
（
x
）
是首
1
互不相等的 不可约多项式，并且
Pi(x)(I=1,2…,t)
是
f(x)
的
Ki
重因式。



（
*
）或叫做多项式
f(x)
的典型分解式。证明：可参见《高代》
P52-53


初等数学中，把多项式的分解叫因式分解，其一般步骤为：一提二套三分组等



要求为：要分到不能再分为止。



2.
方法介绍



2.1
提公因式法：



如果多项式各项都有公共因式，
则可先考虑把公因式提出来，
进 行因式分解，
注意要每项都
必须有公因式。



例
15x3+10x2+5x


解析显然每项均含有公因式5x
故可考虑提取公因式
5x
，接下来剩下
x2+2x+1
仍可 继续分
解。



解：原式
=5x(x2+2x+1)

=5x(x+1)2


2.2
公式法



即多项式如果满足特殊公式的结构特征，
即可采用套公式法，
进 行多项式的因式分解，
故对
于一些常用的公式要求熟悉，
除教材的基本公式外，
数学竞赛中常出现的一些基本公式现整
理归纳如下：



a
2
-b
2
=(a+b)(a-b)


a
2
±
2ab+b
2
=(a±
b)
2



a
3
+b
3
=(a+b)(a
2-ab+b
2
)


a
3
-b
3< br>=(a-b)(a
2
+ab+b
2
)


a
3
±
3a
2
b+3ab
2
±
b
2
=(a±
b)
3



a
2
+ b
2
+c
2
+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)
2



a12+a22+…+an2+2a1a2+…+2an
-
1a n=(a1+a2+…+an)2


a
3
+b
3
+c
3
-3abc=(a+b+c)(a
2
+b
2
+c< br>2
-ab-ac-bc)


an+bn=(a+b)(an-1- an-
2b+…+bn
-1)(n
为奇数
)


说明由因式定理，即对一元多项式
f(x)
，若
f(b)=0
，则一定含有一 次因式
x-b
。可判断当
n
为偶数时，当
a=b,a=-b
时，均有
an-bn=0
故
an- bn
中一定含有
a+b
，
a-b
因式。



例
2
分解因式：①
64x6-y12
②
1+x+ x2+…+x15


解析各小题均可套用公式


< br>解①
64x6-y12=
（
8x3-y6
）
(8x3+y6)


=(2x-y2)(4x2+2xy2+y4)(2x+y2)(4x2-2xy2+y4)


②
1+x+x2+…+x15=


=(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8)


注多项式分解时，先分构造公式再解。



2.3
分组分解法



当多项式的项数较多时，
可将多项式进行合理分组，
达到顺利分解的目的。
当然可能要综合
其他分法，且分组方 法也不一定唯一。



例
1
分解因式：
x15+m12+m9+m6+m3+1


解原式
=
（
x15+m12
）
+(m9+m6) +(m3+1)


=m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1)


=(m3+1)(m12+m6++1)


=(m3+1)[(m6+1)2-m6]


=(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3)


例
2
分解因式：
x4+5x3+15x-9


解析可根据系数特征进行分组



解原式
=
（
x4-9
）
+5x3+15x


=(x2+3)(x2-3)+5x(x2+3)


=(x2+3)(x2+5x-3)


2.4
十字相乘法



对于形如
ax
2
+bx+c
结构特征的二次三项式可以考虑用十字相乘法
,

< br>即
x
2
+(b+c)x+bc=(x+b)(x+c)
当
x< br>2
项系数不为
1
时，同样也可用十字相乘进行操作。



例
3
分解因式：①
x
2
-x-6
②6x
2
-x-12


解①
1x2


1x-3


原式
=
（
x+2
）
(x-3)


②
2x-3


3x4


原式
=
（
2x-3
）
(3x+4)


注：
“ax4+bx2+c”
型也可考虑此种方法。



2.5
双十字相乘法



在分解二次三项式时，
十字相乘法是常用的基本方法，
对于比较复杂的多项式，
尤其是某些
二次六项式，如< br>4x2-4xy-3y2-4x+10y-3
，也可以运用十字相乘法分解因式，其具体步骤为：



（
1
）用十字相乘法分解由前三次组成的二次三项式，得到一个十字相乘图



（
2
）把常数项分解成两个因式填在第二个十字的右边且使这两 个因式在第二个十字中交叉
之积的和等于原式中含
y
的一次项，
同时还必须与 第一个十字中左端的两个因式交叉之积的
和等于原式中含
x
的一次项



例
5
分解因式



①

4x
2
-4xy-3y
2
-4x+10y-3
②

②
x
2
-3xy-10y
2
+x+9y-2

③

ab+b
2
+a-b-2
④

④
6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2

解①原式
=
（
2x-3y+1
）
(2x+y-3)


2x-3y


1


2x




y-3


②原式
=
（
x-5y+2
）
(x+2y-1)


x-5y



2


x





2y-1


③原式
=(b+1)(a+b-2)


0ab



1


a




b-2


④原式
=
（
2x-3y+z
）
(3x+y-2z)


2x-3yz


3x-y-2z


说明：③式补上
oa2,
可用双十字相乘法，当然此题也可用分组分解法。



如（
ab+a
）
+(b2-b-2)=a(b+1)+ (b+1)(b-2)=(b+1)(a+b-2)


④式三个字母满足二次六项式，把
-2z2
看作常数分解即可：



2.6
拆法、添项法



对于一些多项式，< br>如果不能直接因式分解时，
可以将其中的某项拆成二项之差或之和。
再应
用分组 法，公式法等进行分解因式，其中拆项、添项方法不是唯一，可解有许多不同途径，
对题目一定要具体分 析，选择简捷的分解方法。



例
6
分解因式：
x3+3x2-4


解析法一 ：可将
-4
拆成
-1
，
-3
即（
x3-1
）
+(3x2-3)


法二：添
x4,
再减
x 4,.
即（
x4+3x2-4
）
+(x3-x4)

< br>法三：添
4x,
再减
4x
即，（
x3+3x2-4x
）
+(4x-4)


法四：把
3x2
拆成
4x 2-x2,
即（
x3-x2
）
+(4x2-4)

法五：把
x3
拆为，
4x2-3x3
即
(4x3-4)-(3x 3-3x2)
等



解（选择法四）原式
=x3-x2+4x2-4


=x2(x-1)+4(x-1)(x+1)


=(x-1)(x2+4x+4)


=(x-1)(x+2)2


2
．
7
换元法



换元法就是引入新的字母变量，将原式中的字母变量换掉化简式子。运用此



种方法对于某些特殊的多项式因式分解可以起到简化的效果。



例
7
分解因式：



(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120


解析若将此展开，将十分繁琐，但我们注意到



(x+1)(x+4)=x
2
+5x+4


(x+2)(x+3)=x
2
+5x+6


故可用换元法分解此题



解原式
=(x
2
+5x+4)(x2+5x+6)-120


令
y=x
2
+5x+5
则原式
=(y-1)(y +1)-120


=y
2
-121


=(y+11)(y-11)


=(x
2
+5x+16)(x
2
+5x-6)


=(x+6)(x-1)(x
2
+5x+16)


注在 此也可令
x
2
+5x+4=y
或
x
2
+5x+6= y
或
x
2
+5x=y
请认真比较体会哪种换法更简单？



2
．
8
待定系数法


< br>待定系数法是解决代数式恒等变形中的重要方法
,
如果能确定代数式变形后的字母框架< br>,
只
是字母的系数高不能确定
,
则可先用未知数表示字母系数
,
然后根据多项式的恒等性质列出
n
个含有特殊确定系数的方程
(
组
)
，解出这个方程
(
组
)
求出待定系数。待定系数法应用广 泛
,
在
此只研究它的因式分解中的一些应用。



例
7
分解因式：
2a2+3ab-9b2+14a+3b+20


分析属于二次六项式，也可考虑用双十字相乘法，在此我们用待定系数法



先分解
2a
2
+3ab+9b
2
=(2a-3b )(a+3b)


解设可设原式
=(2a-3b+m)(a+3b+n)


=2a
2
+3ab-9b
2
+(m+2n)a +(3m-
3n)b+mn……………

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