高级初中中学数学竞赛定理大全
温柔似野鬼°
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2021年01月26日 10:21
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我不知道风是在哪一个方向吹-
欧拉（
Euler
）线
：
同一三角形的
垂心
、
重心
、
外心
三点共线，
这条直线称为三角形的
欧拉
线
；
且
外心
与
重心
的距离等于
垂心
与
重心
距离的
一半
。
九点圆：
任意三角形三边的
中点
，
三高的垂足
及三顶点
与
垂心间线段
的
中点
，共九个点共圆，
这个圆称为三角形的
九点圆
；
其圆心为三角形外心与
垂心
所连
线段
的
中点
，其
半 径
等于三角形外接
圆半径的一半
。
费尔马点：
已知
P
为锐角△
ABC
内一点，
当
∠
APB
＝∠
BPC
＝∠
CPA
＝
120
°时，
PA＋
PB
＋
PC
的值
最小
，
这个点
P
称为△
ABC
的
费尔马点
。
海伦（
Heron
）公式：
塞瓦（
Ceva
）定理：
在△
ABC
中，过△< br>ABC
的顶点作相交于一点
P
的直线，分别
交边
B C
、
CA
、
AB
与点
D
、
E
、< br>F
，则
(BD/DC)
·
(CE/EA)
·
(AF/ FB)
＝
1
；其逆亦真。
密格尔（
Miquel
）点：
若
AE
、
AF
、
ED
、
FB
四条直线相交于
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
六点，
构成四个三角形，它们是
△
ABF
、△
AED
、△BCE
、△
DCF
，
则这四个三角形的外接圆
共点
，这个点称为密格尔点。
葛尔刚（
Gergonne
）点
:
△
ABC的内切圆分别切边
AB
、
BC
、
CA
于点
D< br>、
E
、
F
，
则
AE
、
B F
、
CD
三线共点，这个点称为
葛尔刚点
。
西摩松（
Simson
）线：
已知
P
为△
ABC
外接圆周上任意一点，
PD
⊥
BC
，
PE
⊥
ACPF
⊥
AB
，
D
、
E
、
F
为
垂
足
，
则
D
、
E
、
F
三点共线
，这条直线叫做
西摩松线
。
黄金分割：
把一条
线段
(AB)
分成
两条线段< br>，使其中较大的
线段
(AC)
是
原线段
(AB)
< br>与
较小线段
(BC)
的
比例中项
，这样的分割称为
黄 金分割。
帕普斯（
Pappus
）定理：
已知点
A
1
、
A
2
、
A
3
在直线
l< br>1
上，已知点
B
1
、
B
2
、
B3
在直线
l
2
上，
且
A
1
B
2
与
A
2
B
1
交于点
X
，
A
1
B
3
与
A
3
B
1
交于点
Y
，
A
2
B
3
于
A
3
B
2
交
于
点
Z
，则
X
、
Y
、
Z
三点共线。
笛沙格（
Desargues
）定理：
已知在△
ABC
与△
A'B'C'
中，
AA'
、
BB'
、< br>CC'
三线相交于点
O
，
BC
与
B'C'
、
CA
与
C'A'
、
AB
与
A'B'分别相交于点
X
、
Y
、
Z
，则
X
、< br>Y
、
Z
三点
共线
；
其逆亦真
摩莱（
Morley
）三角形：
在已知
△
ABC
三内角
的
三等分线
中，分别与
BC
、
CA
、
AB
相邻的每两线相交于
点
D
、
E
、
F
，
则
△
DEF
是
正三角形
，
这个正三角形称为
摩莱三角形。
帕斯卡（
Paskal
）定理：
已知
圆内接六边形
ABCDEF
的边
AB
、
DE
延长线交于点
G
， 边
BC
、
EF
延长线
交
于点
H
，边
CD
、
FA
延长线交于点
K
，则
H
、
G
、
K
三点共线
。
托勒密（
Ptolemy
）定理：
在圆内接四边形中
，< br>AB
·
CD
＋
AD
·
BC
＝
AC< br>·
BD
（任意四边形都可！哇哈哈）
斯图尔特（
Stewart
）定理：
设
P
为△
ABC
边
BC
上一点
，
且
BP
：
PC
＝
n
：
m
，
则
m
·
(AB
)
＋
n
·
(AC
)
＝
m
·
(BP
)
＋
n
·
(P C
)
＋（
m
＋
n
）
(AP
)
梅内劳斯定理：
在△
ABC
中，若在
BC
、CA
、
AB
或其延长线上被同一条直线
截于点
X、
Y
、
Z
，则
(BX/XC)
·
(CY/YA )
·
(AZ/ZB)
＝
1
阿波罗尼斯（
Apollonius
）圆
2
2
2
2
2
一动点
P
与两定点
A
、
B
的 距离之比等于定比
m:n
，则点
P
的轨迹，是以定
比
m:n
内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，
这个圆被称为
阿波罗尼
斯圆 ，
简称
“阿氏圆”
。
布拉美古塔（
Brahmagupta
）定理：
在
圆内接 四边形
ABCD
中，
AC
⊥
BD
，自对角线的交点
P
向一边作垂线，
其
延长线必平分对边。
广勾股定理：
在任一三角形中，
(1)
锐 角对边的平方
，等于
两夹边之平方和
，
减去某夹边和另一夹边在
此边 上的影射乘积的两倍．
(2)
钝角对边的平方
，等于
两夹边的平 方和
，
加上某夹边与另一夹边在
此边延长上的影射乘积的两倍．
加法原理
：
做一件事情，完成它有
N
类办法，在第一类办 法中有
M1
种不同的方法，在
第二类办法中有
M2
种不同的方法，… …，在第
N
类办法中有
M(N)
种不同的
方法，那么完成这件事情共 有
M1+M2+……+M(N)
种不同的方法。
比如说：从
北京到上海
有
3
种方法可以直接到达上海，
1
：火车
2
：飞机
3
：轮船
k
1
k
2
k
3
，那么从北京
-
上海的方法
N =
k
1
+k
2
+k
3
乘法原理
：
做一件事，完成它需要分成
n
个步骤
，
做第一
步有
m1
种不同的方法，
做第二步有
m2
不同的 方法，……，做第
n
步有
m
·
n
不同的方法
.那么完成这件
事共有
N=m1
·
m2
·m3…mn 种不同的方法
.
正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的
正弦
的比相等。
即
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
（
2R
在同一个三角形中 是恒量，是此三角形
外接圆的直径）
这一定理对于任意三角形
ABC
，都有
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
（
R
为三角形外接圆半径）
余弦定理：
对于任意三角形，任何一边的
平方
等于其他
两边平方
的和
减去