排列与组合最全最详细最经典练习题
绝世美人儿
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2021年01月26日 13:28
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举例子的句子-
排列与组合最全最详细最经典
练习题
排列与组合
(
一
)
排列
学习目标
（1
）正确理解排列的意义。能利用树形
图写出简单问题的所有排列；
（
2
）了解排列和排列数的意义，能根据
具 体的问题，写出符合要求的排列；
（
3
）掌握排列数公式，并能根据具体的
问题，写出符合要求的排列数；
（
4
）会分析与数字有关的排列问题，培
养 学生的抽象能力和逻辑思维能力；
（
5
）通过对排列应用问题的学习，让学
生通过对具体事例的观察、
归纳中找出规律，得
出结论，
培养学生解决应用问题的能力和严谨的
学习态度。
例题分析
例
1
、用
0
到
9
这十个数字．可组成多
少个没 有重复数字的四位偶数？
分析：
这一问题的限制条件是：①没有重复数
字；②数字 “
0
”不能排在千位数上；③个位数
字只能是
0
、
2
、
4
、
6
、
8
、，从限制条件入手 ，
可划分如下：
如果从个位数入手，四 位偶数可分为：
个位数是“
0
”的四位偶数，个位数是
2
、
4
、
6
、
8
的四位偶数（这是因为零不能放在千位数
上）． 由此解法一与二．
如果从千位数入手．四位偶数 可分为：
千位数是
1
、
3
、
5
、
7
、
9
和千位数是
2
、
4
、
6
、
8
两类，由此得解法三．
如果四位数划 分为四位奇数和四位偶数
两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解
法四．
解法
1
：当个位数上排“
0”时，千位，
百位，
十位上可以从余下的九个数字中任选
3
个
来 排列，故有
个当个位上在“
2
、
4
、
6
、
8
”中
任选一个来排，
则千位上从余下的八个非零数字
中任选一个，
百位，
十位上再从余下的八个数字
中任选两个来排，按乘法原理有
∴没有重复数字的四位偶数有
个．
解法
2
：
当个位数上排“
0
”时，同解一有
个；
（个）．
当个位数上排
2
、
4、
6
、
8
中之一时，千位，百
位，
十位上可从余下9
个数字中任选
3
个的排列
数中减去千位数是“
0
”排 列数得：
∴没有重复数字的四位偶数有
解法
3
：
千位数上从
1
、
3
、
5
、
7
、
9
中 任选一个，
个位数上从
0
、
2
、
4
、
6< br>、
8
中任选一个，百位，
十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有
个
干位上从
2
、4
、
6
、
8
中任选一个，个位
数上从余下的四个偶数中 任意选一个
（包括
0
在
内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两
个作排列，有
个
个．
解法
4
：
将没有重复数字的四位数字划分为两
类：四位奇数和四位偶数．
没有重复数字的四位数有
其中四位奇数有
个
个．
∴没有重复数字的四位偶数有
个．
∴没有重复数字的四位偶数有
个
说明；
这是典型的简单具有限制条件的排列问
题，上述四种解法是基 本、常见的解法、要认真
体会每种解法的实质，
掌握其解答方法，
以期灵
活运 用．
例
2
、三个女生和五个男生排成一排
（
1
）如果女生必须全排在一起，可有多
少种不同的排法？
（
2
）如果女生必须全分开，可有多少种
不同的排法？
（
3
）如果两端都不能排女生，可有多少
种不同的排法？
（
4
）如果两端不能都排女生，可有多少
种不同的排法？
解：
（
1
）
（捆绑法）因为三个女生必须排在
一起，
所以可以先把她们看 成一个整体，
这样同
五个男生合一起共有六个元素，然成一排有
种不同排法．
对于其中的每一种排法，
三个女生
之间又都有
对种不同的排法，因此共有
种不同的排法
（
2
）
（插空法）要保证女生全 分开，可
先把五个男生排好，
每两个相邻的男生之间留出
一个空档．
这样共有
4
个空档，
加上两边两个男
生外侧的两个位置，
共有六个位置，再把三个女
生插入这六个位置中，
只要保证每个位置至多插
入一个女生，就能保证 任意两个女生都不相
邻．由于五个男生排成一排有
种不同排法，对
于其中任意一种排法 ，
从上述六个位置中选出三
个来让三个女生插入都有
种方法，因此共有
种不同的排法．
（
3
）
解法
1
：（位置分析法）因为 两
端不能排女生，
所以两端只能挑选
5
个男生中的
2
个，< br>有
种不同的排法，
对于其中的任意一种
排法，其余六位都有
种排法，所以共有
种不同的排
法．
解法
2
：（间接法）
3
个女生和
5
个男生排成一排共有
种不同的排
法，从中扣除女生排在首位的
排在末位的
种排法和女生
种排法，但这样两端都是女生
的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一
次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一
次，
所以还需加一次回来，
由于 两端都是女生有
种不同的排法，所以共有
种不同的排法．
解法
3
：（元素分析法）从中间
6
个位
置中挑选出
3
个来让
3
个女生排入，有
种不
同 的排法，
对于其中的任意一种排活，
其余
5
个
位置又都有
种不同的排法，所以共有
种不同的排法，（
4
）解法
1< br>：因为只
要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，
则未位就不再受条件限制了，这 样可有
种不
同的排法；如果首位排女生，有
种排法，这
时末位就只能排男生，有
种排法，首末两端
任意排定一种情况后，其余
6
位都有
种不同
的排法，这样可有
有
种不同排法．因此共
种不同的排法．
解法
2
：
3
个女生和
5
个男生排成一排有
种排法，
从中扣去两端都是女生排法
就能得到两端不都是女生的排法种数．
因此共有
说明：
解决排列、组合（下面将学到，由于规
种，
种不同的排法．
律相同，顺便提及，以下遇到也同样处理） 应用
问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和
元素分析法．
若以位置为主，需先满足特殊位置的要
求，再处理其它位置，有两个以上 约束条件，往
往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其它条件．
若以元素为主，需先满足特殊元素要求
再处理其它的元素．
间接法有的也称做排除法或排异法，有
时用这种方法解决问题来得简单、明快．
捆绑法、插入法对于有的问题确是适用
的好方法，要认真搞清在什么条件下使用．
例
3
、排一张有
5
个歌 唱节目和
4
个舞
蹈节目的演出节目单。
（
1
）
任何两个舞蹈节目不相邻的排法有
多少种？
（
2
）
歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方
法有多少种？
解：
（
1
）先排歌唱节目有
种，歌唱节目
之间以及两端共有< br>6
个位子，
从中选
4
个放入舞
蹈节目，共有
中方法， 所以任两个舞蹈节目不
相邻排法有：
＝
43200.
（
2
）先排舞蹈节目有
中方法，在舞
蹈节目之间以及两端共有
5
个空位，
恰好供
5
个
歌唱节目放入。
所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排
列的排法有：
＝
2880
种方法。
说明：
对于“间隔”排列问题，我们往 往先排
个数较少的元素，
再让其余元素插空排列。
否则，
若先排个数较多的元 素，再让其余元素插空排
时，
往往个数较多的元素有相邻情况。
如本题
（2
）
中，
若先排歌唱节目有
，
再排舞蹈节目有
，
这样排完之后，其中含有歌唱节目相邻的情况，
不符合间隔排列的要求。
例
4
、某一天的课程表要排入政治、语< br>文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第
一节不排体育，
最后一节不排数学，那么共有多
少种不同的排课程表的方法．
分析与解法
1
：
6
六门课总的排法是
，其中不符合要
求的可分为：体育排在第一书有
种排法，如
图中Ⅰ；数学排在最后一节有
种排法，如图
中Ⅱ；
但这两种排法，
都包括体育排在第一书数
学排在最后一节，如图中Ⅲ，这种情况有
种
排法，因此符合条件的排法应是：
（种）．
分析与解法
2
：
根据要求，
课程表安排可分为
4
种情况：
（
1
）体育、数学既不排在第一节也不排
在 最后一节，这种排法有
一节，有排法
一节，有排法
种；
种；
种；
（
2
）
数学排在第一节但体育不排在最后
（
3
）
体育排在最后一节但数学不排在第
（
4
）数学排在第一节，体育排在最后一
节，
有排法
这四类排法并列，
不重复也不遗漏，
故总的排法有：
分析与解法
3
：
根据要求，课表安排还可分下述
4
种情
况：
（
1
）体育，数学既不在最后也不在开头
一节，有
种排法；
（
2
）数学 排在第一节，体育不排在最后
一节，有
4
种排法；
（
3
）体育在最后一书，数学木在第一节
（种）．
有
4
种排法；
（
4
）数学在第一节，体育在最后一节有
1
种排法．
上述
21
种排法确定以后，仅剩余下四
门课程排法是种
，
故总排法数为
（种）
．
下面再提出一个问题，请予解答．
问题：有
6
个人排队，甲不在排头，乙
不在排尾，问并 肩多少种不同的排法．
请读者完成此题．
说明：
解答排列、组合问题要注意一题多解的
练习，不仅能提高解题能力，
而且是检验所解答
问题正确与否的行之有效的方法
检测题
1
．
6
人站一排，甲不站在排头，乙不站
在排尾，共有
_ ________
种不同的排法．
2
．
5
名男生和
4
名女生排成一队，其中
女生必须排在一起，
一 共有
________
种不同的排
法．
3
．
a,b,c,d
排成一行，
其中
a
不排第一 ，
b
不排第二，
c
不排第三，
d
不排第四的不同排
法有
_______
种．
4
．
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
这六个数组成没
有重复数字的四位偶数，
将这些四 位数从小到大
排列起来，第
71
个数是
．
5
．下列各式中与排列数
相等的是
（
）．
A
．
C
．
6
．
于（
）．
A
．
7
．
若
位数字是（
）．
A
．
8
B
．
5
C
．
3
D
．
0
8
．
7
名同学排成一排，其中甲、乙两人
必 须排在一起的不同的排法有（
）．
A
．
720
种
B
．
360
种
C
．
1440
种
D
．
120
种
9
．求和
.
B
．
C
．
D
．
，
则
的个
B
．
D
．
，且
，则
等
10
．
5
名男生、
2
名女生站成一排照像：
（
1
）两名女生要在两端，有多少种不同
的站法？
（
2
）两名女生都不站在两端，有多少不
同的站法？
（
3
）两名女生要相邻，有多少种不同的
站法？
（
4
）两名女生不相邻，有多少种不同的
站法？
（
5
）女生甲要在女生乙的右方，有多少
种不同的站法？
（
6
）
女生甲不在左端，
女生乙不 在右端，
有多少种不同的站法？
参考答案
:
1
．
504
2
．
17280
3
．
9
4
．
3140
5
．
D
6.D
7
．
C
8
．
C
9
．∵
.
∴
10
．
，
（
1
）两端的两个位置，女生任意排，中
间的五个位置男生任意排；
其余五个位置任意排男生；
（种）；
（种）
；
（
2
）中间的五个位置任选两个排女生，
（
3
）把两名女生当作一个元素，于是对
六个元素任意排，然后解决两个女生 的任意排
列；
（种）；
（
4
）把男生任意全排列，然后在六个空
中（包括两端）有顺序地插入两名女生；
（种）；
（
5
）七个位置中任选五个排男生问题就
已解决，因为留下两个位置女生排法是既定的；
（种）；
（
6
）
采用排除法，
在七个人的全排列中，
去掉 女生甲在左端的
个，再去掉女生乙在右
端的
个，但女生甲在左端同时女生乙在右端的
种排除了两次，要找回来一次．
（种）．
（二）组合
学习目标
（
1
）正确理解组合的意义，正确区分排
列、组合问题；
（
2
）掌握组合数的计算公式、组合数的
性 质以及组合数与排列数之间的关系，
并能运用
这些知识解决一些简单的组合应用题；
（
3
）通过对排列、组合综合问题的求解
与剖析，
培养按事件发生的过程进行熟练地分类
与分步，
培养严谨科学的思维 习惯．
培养严谨的
学习态度．
（
4
）通过对比排列学习组合知识，掌握
类比的学习方法，
提高分析问题和解 决问题的能
力，
并培养用对立统一规律和辩证唯物主义思想
解决实际问题．
例题分析
第一阶梯
例
1
、计算：
（
1
）
．
分析：
本题如果直接计算组合数，运算比较
繁．
本题应努力在式子中创造条件使用 组合数的
；
（
2
）
性质，第（
1
）题中，
，经此变形后，可
，求和；
，
继续使用组合数性质．第（
2
）题有两个考虑 途
径，一方面可以抓住项的变形
另一方面，变形
解：
（
1
）原式
．
（
2
）
原式
另一方法是：
原式
．
说明：
利用第（
2
）小题的手段，我们可以得到
组合数的一个常用的结论：
左边
右边．
例
2、从
7
名男生
5
名女生中，选出
5
人，
分别求 符合下列条件的选法种数有多少种？
，接着
…，反复使用公式．
．
．
（
1
）
A
、
B
必须当选；
（
2
）
A
、
B
都不当选；
（
3
）
A
、
B
不全当选；
（
4
）至少有
2
名女生当选；
（
5
）选出
5
名同学，让他们分别担任体育委员、
文娱委员等
5
种不同工作，
但体育委员
由男生担任，文 娱委员由女生担任．
分析：
本题是组合应用题中典型的选代表问
题，
通过一些明 确的条件对结果进行限制．
问题
（
1
）
A
、
B必须当选，它们就不必再考虑，只要
再选出余下的代表．
问题
（
2
）
A
、
B
必须不当选，
实际上就是去掉这几个元素不予考虑．问题
（
3
）
A
、
B
不全当选可以从正反两方面 考虑．从正面
考虑可以按
A
、
B
全不选和
A
、B
选一个分类，从
反面考虑可用间接法，
去掉
A
、
B< br>全选的情况．
问
题（
4
）可以按女生选
2
人、
3
人…进行分类，
当然也可以从反面考虑用间接法．问题（
5
）可
以先处理特殊位置的体育班委与文娱班委．
解：
（
1
）除
A
、
B
选出外，从其它
10
个人中
再选
3
人，共有的选法种数为
（种）．
（
2
）去掉
A
、
B
，从其它
10
人中任选
5
人，共有的选法种数为：
（种）．
（
3
）按< br>A
、
B
的选取情况进行分类：
A
、
B
全不选 的方法数为
，
A
、
B
选
1
人的方法数
为
，共有选法
（种）．
本小题的另一解法：
从
12
人中选
5
人的
选法中去掉A
、
B
全选的情况，所有选法只有
（种）．
方法一：按女同学的选取情况分类：
选
2
名女同学、
3
名男同学；选
3< br>名女
同学
2
名男同学；
选
4
名女同学
1名男同学；
选
5
名女同学．所有选法数
为：
（种）．
方法二：从反面考虑，用间接 方法，去
掉女同学不选或选
1
人的情况，
所有方法总数为
（种）．
（
5
）选出一个男生担任体育班委，再选
出
1
名女生担任文娱班 委，剩下的
10
人中任取
3
人担任其它
3
个班委．用分步计 数原理可得到
所有方法总数为：
说明：
对于本题第（
4
）小题，
“至少有
2
名女
（种）．
生当选”，我们可能还有另外一种考虑，先从
5
名女生中选出
2
人，然后在剩下的
10
人中任选
3人，得到的方法数为
（种），与上述
答案比较，
结果明显增多了，为什么会出现以上
情况？上述步骤得到的选取结果虽然符合了有
2
名女生的要求，
但在计数时出现了重复，
比如先
选两女生为
a
、
b
，剩下的
10
人中如果又选出了
女生
c
，与先选两名女生为
a
、
c
后又选出了女
生
b
，出现了同样的结果，因为选取问 题仅考虑
选出了哪些元素，
至于先选后选并不考虑．
这里
需要我们引起注意的 是以后遇到
“至少”
类型的
问题，
一般采用分类法或间接法解决，
在 选取问
题中尽可能避免出现重复计数，
我们还可以进一
步从下一个例子加深理解．
例
3
、空间
10
个点，其中有
5
点在同一
个平面内，其余无三点共线，四点共面，问以这
些点 为顶点，共可构成多少个四面体？
分析：
本题如果从正面考虑可以按5
个共面的
点的选用情况进行分类．
如果从反面考虑用间接
法，
只要去掉从
5
个共面的点中任取四个点的情
况，
因为共面的四个点不能构成四 面体的四个顶
点．
解：方法一：可以按共面的点取
0
个、
1
个、
2
个、3
个进行分类，得到所有的取法总数
为：
个．
方法二：
从< br>10
个点中任取
4
个点的方法
数中去掉
4
个点全部取 自共面的
5
个点的情况，
得到所有构成四面体的方法数为：
（个）．
说明：
以几何为背景的此类应用题中，间接方
法用得比较多，在考虑去掉不符合要求的选法
时，既不能多去，也不能少去，此外有时还需去
掉一些重复计数的情况．
比如：
四面体的顶点和
各条棱的中点共
10
个点，任取其中的
4
个点，< br>其中不共面的取法有多少种？我们可以从
10
个
点中任取
4
点 ．共有
种取法，然后去掉下面
几种情况，
4
个点取在四面体的同一 个面上，有
种取法；四个中点连成平行四边形的情形，
有
3
种取法 ，
还有
3
点在四面体的一条棱上，
另
一点是其它点，
不考虑 已计算的四点在四面体同
一面上的情况，
共有
6种取法．
用间接法可得不
同的取法共有：
（种）．
例
4
、在
1
，
3
，
5
，
7
，
9
中任取
3
个数
字， 在
0
，
2
，
4
，
6
，
8
中任取两个数字，可组成
多少个不同的五位偶数．
分析：
因为零不能作首位数，
所以是特殊元素，
因此可以根据选零不选零为分类标准。
解：第一类：五位数中不含数字零。
第一步：选出
5
个数字，共有
法．
第二步：排成偶数—先排末位数，有
种排法，再排其它四位数字，有
种排法．
∴
（个）
种选
第二类：五位数中含有数字零．
第一步：选出
5
个数字，共有
法。
第二步：排顺序又可分为两小类；
（
1
）末位排零，有
种排列方法；
（
2
）末位不排零．这时本位数有
种
选法，
而因为零不能排在首位，
所以首位有
种
排法，其余
3
个数字则有
种排法．
种选
∴
说明：
（个）
∴
符合条件的偶数个数为
本题也可以用间接法（即排除法）来
解．请读者自行完成．
例
5
、有
12
名划船运动员，其中
3
人只
会划左舷，
4
人只会划右舷，其余
5
人既会划左
舷也会划右舷。现在要从这
12
名运动员中选出
6
人平均分在左、右舷划船 参加比赛，有多少种
不同的选法？
分析：
设集合
A={
只会划左舷的
3
个人
}
，
B={
只
会划右舷的4
个人
}
，
C={
既会划左舷又会划右舷
的
5
个人
}
先分类，以集合
A
为基准，划左舷的
3
个人 中，有以下几类情况：①
A
中有
3
人；②
A
中有
2
人；
C
中有
1
人；③
A
中有
1
人 ，
C
中有
2
人；
④
C
中有
3
人。
第①类，
划左舷的人已选定，
划右舷的人可以在
中选
3
人，即有
种选
种选法。第②
中
法。因是分步问题，所以有
类，划左舷的人在
A
中选
2< br>人，有
种选法，
在
C
中选
1
人，
有
种选法，
划右舷的在
剩下的
8
个人中选
3
人，有
种选法。因是分
步问题，所以有
类，
有
种选法。类似地，第③
种选法。
种选法。
第④类有
种选法。
解：
说明：
这种比较复杂的在若干个集合中选取元
素的问题，
只要能运用分类思想正确 对所求选法
分类，又能正确地根据题目要求合理地考察步
骤，就可以顺利地求得解．在分类时， 要注意做
到既不重复也不遗漏．
这里是 以集合
A
为基准进行分类，也可
以集合
B
或集合
C
为基准进行分类，
其结果是相
同的，
但一般都选择元素个数较少的集合作为基
准来分类，这样可以减少分类，方便运算．
例< br>6
、甲、乙两队各出
7
名队员，按事
先排好的顺序出场参加围棋擂台赛 ，
双方由
1
号
因为是分类，所以一共有
种
答：一共有
2174
种不同选法．
队员出赛，
负者被淘汰，
胜者再与负方
2
号队员
比赛，…，直到一方队员全被淘汰为止， 另一方
获胜，
形成一种比赛过程，
试求所有可能出现的
比赛过程的种类．
分析与解：
若甲队取胜，
比赛结果可能是
，
，
，
，
．
7
：
0
只有一个过程；
7
：
1
共
8
场，乙队在前
7
场中胜一场，
有
种不同的过程；
7
：
2
共
9
场，乙队在前
8
场中胜二场 ，
有
种不同的过程；
7：
3
共
10
场，乙队在前
9
场中胜三场，
有< br>
种不同的过程；
………………
∴甲队取胜的过程种数是：
类似乙队取胜也有同样的过程种数
∴
共有
小结：
一个排列与另一个排列的区别有两点，
一点是元素 不同，
另一点是顺序不同
（在元素相
，
，
种不同的比赛过程．
同时）
；
而 一个组合与另一个组合不同点仅是元
素不同，由此可知，排列是有顺序问题，组合是
无顺序问题 ．
本题是一应用问题，
根据实际确定
是组合问题．
例
7
、从
1
到
9
的九个数字 中取三个偶
数四个奇数，试问：
（
1
）
能组成多少个没有重复数字的七位
数？
（
2
）
上述七位数中三个偶数排在一起的
有几个？
（
3
）（
1
）中的七位 数中，偶数排在一
起、奇数也排在一起的有几个？
（
4
）（
1
）中任意两偶然都不相邻的七
位数有几个？
分析与解：
（
l
）分步完成：第一步在
4
个偶数中取3
个，可有
种情况；第二步在
5
个奇数中取
4
个，可有
种情况；第三步
3
个偶数，
4
个奇数
进行排列，可有
种情况，所以符合题意的七
位数有
的有
个．
个．
（
2
）上述七位数中，三个偶数排在一起
（
3
）
上述七位数中，
3
个偶数排在一起，4
个奇数也排在一起的有
个．
（
4
）上述七位数中，偶数都不相邻，可
先把
4
个奇数排好，< br>再将
3
个偶数分别插入
5
个
空档，共有
说明；
对于有限制条件的排列问题，常可分步
进行，
先组合 再排列，
这是乘法原理的典型应用．
例
8
、
6
本不同的书，
按照以下要求处理，
各有几种分法？< br>
（
1
）一堆一本，一堆两本，一堆三本；
（
2
）甲得一本，乙得两本，丙得三本；
（
3
）一人得一本，一人得二本，一人得
三本；
（
4
）平均分给甲、乙、丙三人；
（
5
）平均分成三堆．
分析与解：
（
1
）先在
6
本书中任取一本．作为一本
一堆，有
种取法，再从余下的五本书中任取
两本，作为两本一堆，有
种取法，再后从余
下三本取三本作为一堆，有
种取法，故共有
个．
分法
种．
（
2
）
由
（
1
）
知．
分成三堆的方法有
种，
而每种分组方法 仅对应一种分配方法，
故甲
得一本，
乙得二本，
丙得三本的分法亦为
种．
（
3
）
由
（
1
）
知，
分成三堆的方法有
故一人得一本，
一人得两本 ，
一人得三本的分法
有
（种）．
（
4
）
3
个人一个一个地来取书，甲从
6
本不同的书本中任取出
2
本的方法有
种，甲
不论用哪一种方法取 得
2
本书后，
已再从余下的
4
本书中取书有
种方 法，
而甲、
乙不论用哪一
种方法各取
2
本书后，
丙从余下的 两本中取两本
书，有
种方法，所以一共有
种，但每一种分组方法又有
不同的分配方案，
种方法．
（
5
）把< br>6
本不同的书分成三堆，每推二
本与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人
二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，
平均分成三难后，再把每次分得的三堆书分给
甲 、乙、丙三个人．因此，设把六本不同的书，
平均分成三堆的方法有
种，
那 么把六本不同的
书分给甲、乙、丙三人每人
2
本的分法就应
种，由（
4
）知，把六本不同的书分给甲、乙、
丙三人，每人2
本的方法有
，则
说明：
本问题中的每一个小题都提出了 一种类
型问题，搞清类型的归属对今后解题大有补益，
其中
（
1
）属非均匀分组问题．
（
2
）
属非均匀定向分配问题．
（
3
）属非均匀不定向分配问题．（
4
）
属均匀 不定向分配问题．
（
5
）属均匀分组问题．
例
9
、有
6
本不同的书，分给甲、乙、
丙三个人．
（
1
）如果每人得两本，有多少种不同的
分法；
（
2
）
如果一个人得一本，
一个人 得
2
本，
一个人得
3
本有多少种不同的分法；
（
3
）如果把这
6
本书分成三堆， 每堆两
本有多少种不同分法．
分析与解：
种．所以
（种）
（
1
）假设甲先拿，则甲从< br>6
本不同的书
中选取
2
本有
种方法，不论甲取走的是哪
种，此时剩
种方法，
由乘< br>两本书，乙再去取书时只能有
下的两本书自然给丙，
就只有
法原理得一共有3
本则有
种不同分法．
种
（
2
）先假设甲得
1
本，乙得
2
本，丙得
种法，一共有
不同的分法．
（
3
）把
6
本书分成三堆，每堆
2
本，与
次序无关．
所以一共有
说明：
本题的三个问题要注意区别和联系，不
要混淆．
6
本书分给甲、乙、丙三人每人两本和
分成
3
堆每堆两本是有区别 的，
前者虽然也属均
分问题，但要甲、乙、丙三个人一个人一个人的
去拿，
而 后者属均分问题又是无序问题，
所以必
须除以
．一般地，
个元素中有
个元素
（
）均分成
m
堆一定要除以
．
例如：有
17
个桃，分成
8
堆，其中一堆
种不同分法．
一个，一堆
4
个，另外
6
堆每堆都是
2
个，有多
少种不同的分法．
一共有
检测题
选择题
1．
掷下
4
枚编了号的硬币，
至少有
2
枚
正面朝 上的情况有（
）．
A
．
C
．
的结论
2
．从
A
、
B
、
C
、
D
、
E
五名学生中选出四
名分别参加数学、物理、化学、英语竞 赛，其中
A
不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种
数为（
）．
A
．
24
B
．
48
C
．
121
D
．
72
3
．
数字不 重复，
且个位数字与千位数字
之差的绝对值等于
2
的四位数的个数为
（
）
．
A
．
672
B
．
784
C
．
840
D
．
896
种
B
．
种
种不同分法．
种
D
．不同于
A
、
B
、
C
4
．
…，
为
100
条共面且不同的直
线，
若其中编号为
的 直线互相平行，
编号
为
4k-3
的直线都过某定点
A
．则这
100
条直线
的交点个数最多为（
）．
A
．
4350
B
．
4351
C
．
4900
D
．
4901
填空题
1
．在数字
0
，
1
，< br>2
，
3
，
4
，
5
，
6
中 ，
任取
3
个不同的数字为系数
a,b,c
，组成二次函
数< br>y=ax
+bx+c
，
则一共可以组成
__________
个不
同的解析式？
2
．甲、乙、丙、丁 四个公司承包
8
项工
程，甲公司承包
3
项，乙公司承包一项，丙、丁
公司各承包
2
项，
则共有
_________
种承包方式．
3
．
四个不同的小球放入编号为
1
，
2
，
3
，
4
的四个盒子中，则恰好有一个空 盒的放法共有
______
种．
4．某校乒乓球队有男运动员
10
人和女
运动员
9
人，
选 出男、
女运动员各
3
名参加三场
混合双打比赛
（每名运动员只限参加 一场比赛）
，
共有＿＿＿种不同的选赛方法．
2
解答题
1
．有
7
本不同的书：（
1
）全部分给
6
个人，每人至少一本；（
2
）全部分给
5
个人，
每人至少一本，求 各有多少种不同的分法．
2
．
九张卡片 分别写着数字
0
，
l
，
2
，
…，
8
，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如
果写着
6
的卡片还能当
9用，
问共可以组成多少
个三位数？
参考答案：
选择题：
1
．
A
2
．
D
3
．
C
4
．
B
填空题：
1
．
180
2
．
1680
3
．
144
4
．
3628800
解答题：
1
．
（
l
）先取两本 书作为一份，其余每本书
为一份，
将这六份书分给
6
个人，
有
分法
（
2
）有两类办法：一 人得
3
本，其余
4
人各得一本，方法数为
；两人各得
2
本，其
，
所以所求方
种
余
3
人各得一本，
方法数为
法种数为
.
2
．
以是否取卡 片
6
分成两类，
每类中再
注意三位数中
0
不能在首位．
（
l
）不取卡片
6
，组成三位数的个数为
；
（
2
）取卡片
6
，又分成两类，
（
i
）当
6
用时组成的三位数的个数为
；
（
ii
）当
9
用时同样有个
.
排列与组合
一、教材分析
:
1
．
基本概念
:
排列与排列数、
组合与组合数
从
n
个不同元素中，任取
m(m
≤
n )
个元素按
照一定的顺序排成一列，
叫做从
n
个不同元素中
取出
m
个元素的一个排列；
从
n
个不同元素中取
出
m(m
≤
n)
个元素的所有排列的个数，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的排列数，
用符号
表示
.
从
n
个不同元素中，任取
m(m
≤
n)
个元素并
．
根据加法原理得所求三位数的个数为：
成一组，
叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的
一个组合；从
n
个不同元素 中取出
m(m
≤
n)
个元
素的所有组合的个数，
叫做从n
个不同元素中取
出
m
个元素的组合数
.
用符号
表示
.
2
．基本公式
:
=n(n-1)(n-2)
……
(n-m+1)=
(
规定
0!=1).
=
.
(
规定
=1)
3
．排列组合的解题原则
:
（
1
）深入弄清问题的情景
要深入弄清问 题的情景，
切实把握各因素之
间的相互关系，不可分析不透，就用
或
乱
套一气
.
具体地说
:
首先要弄清有 无
“顺序”
的要
求，如果有“顺序”的要求，用
，如果无“顺
序”要 求，就用
；其次，要弄清目标的实现，
是分步达到的，
还是分类完成的，< br>前者用分步计
数原理，后者用分类计数原理
.
事实上，一个复
杂的问题 ，
往往是分类和分步交织在一起的，
这
就要准确分清，
哪一步用分步计数原理 ，
哪一步
用分类计数原理
.
（
2
）两个方向的解题途径
对于较复杂的 问题，
一般都有两个方向的列
式途径，
一个是正面直接解，
一个是反面排除法
.
前者是指按要求，一点一点选出符合要求的方
案，后者是指先按照全局性的要求，选 出方案，
再把不符合其他要求的方案排除掉
.
这两个途径的 优劣因题而异
.
一般地，一道
题目“正面解”很繁琐时，
“反面排除”往往简
单，反之亦然
.
（
3
）分析问题的两个方向
分析问题时，
我们往往从元素和位置两个方
向插手，一般情况，从算理上说，从特殊元素和
特殊位置 两个方向都能解决问题
.
但具体问题从
特元与特位上作对比，
则可能大相径庭 ，
差距很
大。因此平常做题时，这两种训练都要进行
.
（
4
）特别强调一题多解
一题多解，可以 从不同角度分析同一问题，
加深对分类计数原理、
分步计数原理及排列组合
的深刻认识 与体会，
同时，
一题多解也是解排列
组合问题最有效，最主要的检验方法
.
4
．对常见问题分类总结
关于数字问题，要注意“
0
”这个特元，关
于人或物的 排列问题，
要注意元素相邻，
往往采
取“捆绑法”看成一个整体，元素不相邻，则往< br>往采取“插空”的方法
.
二、例题分析
例
1
．
（
1
） 用
0
，
1
，
2
，
3
，
4
组合多少无重复数
字的四位数？
（
2
）
这四位数中能被
3
整除的数有多少个？
解
:
（
1
）直接分类法
:
①特元法
:
②特位法
:
先考虑首位，可以从
1
，
2
，
3
，
4
四个数字中任取一个，共
种方法，再考虑其
它三个位置，
可以从剩 下的四个数字中任取
3
个
.
即
种方法，
则共有
重复数字的四位数
.
间接排除法
:
先从五 个数字中任取四个排成
四位数
:
，再排除不符合要求的四位数即
0
在
首位的四位数
:
.
则共有
之和为
3
的倍数
.
分析
:
因为不含
0
时，
1+2+3+4=10.10
不是
3
=96
种方法，
即
96
个无
=96
个
.
（
2
）能被
3
整除的四位数应该是四位数字
的倍 数，所以组成的四位数必须有
0
，即
0
，
1
，
2< br>，
3
或
0
，
2
，
3
，
4< br>，共有
2(
)=36
个
.
例
2
．用
0
，
1
，
2
，
3
，4
五个数字组成无重
复数字的五位数从小到大依次排列
.
（
1< br>）第
49
个数是多少？
（
2
）
23140
是第几个数？
解
:
（
1
）首位是
1
，< br>2
，
3
，
4
组成的五位数各
24
个
.
所以第
49
个数是首位为
3
的最小的一个
自然数，即30124.
（
2
）首位为
1
组成
=24
个数；
首位为
2
，
第二位为
0
，
1
共组成
=12
个数
.
首位为
2< br>，第二位为
3
，第三位为
0
的数共
=2
个；首位为< br>2
，第二位为
3
，第三位为
1
，
第四位为
0
的数有
1
个，为
23104.
由分类计数原理
:
+
+
+1=39.
按照从小到大的顺序排列
23104
后面的五
位数就是
23140< br>，所以
23140
是第
40
个数
.
例
3
．
5
男
6
女排成一列，问
（
1
）
5
男排在一起有多少种不同排法？
（
2
）
5
男都不排在一起有多少种排法？
（
3
）
5
男每两个不排在一起有多少种排法？
（
4
）男女相互间隔有多少种不同的排法？
解
:
（
1
）先把5
男看成一个整体，得
，
5
男之
间排列有顺序问题，得
，共
得
.
.
.
种
.
（
2
）全排列除去
5
男排在一起即为所求，
< br>（
3
）因为男生人数少于女生人数，利用男
生插女生空的方法解决问题，得保证两女生不能挨在一起，得
（
4
）分析利用男生插女生空的方法，但要
例
4
．
3
名医生和
6
名护士被分配到
3
个单
位为职工体检，
每单位分配
1
名医生和
2
名护士，
不同的分 配方案有多少种？
解
:3
名医生分到
3< br>个单位有
种方案，
6
名
护士分到
3
个单位，
每个单位
2
名有
据分步计数原理，共有
种，
根
=540
种方案
.
例5
．四面体的顶点和各棱中点共
10
个点，
在其中取
4
个点，可以组成多少个不同的三棱
锥？
解
:
组成三棱锥，只需
4
个点不共面，考虑
到直接法有困难，故采用间接排除法
.
从
10
个点中任取
4
个点有
中 ，其中
4
个
点共面有三类情况
:
①
4
个点位于四面体的同一
面中，
有
4
种；
②取任一条棱上的
3
个点，
及
该棱对棱的中点，
这四点共面共有
6
种 ；
③由中
位线构成的平行四边形
（其两组对边分别平行于
四面体相对的两条棱 ），它的
4
个顶点共面有
3
种，所以不同的取法共有
-4
-6-3=141
种
.
例
6
．
求证
（
1
）
证明
:
（
1
）
；
（
2
）
另一种解释
:
对于含某元素
a
的
(n+1)
个元
素中取
m
个元素的排列可分为两类，
一类是不含
元素
a
的，有
个；另一类是含元素
a
的，有
m
个，
因此共有
(
+m
.
（
2
）
)
个，即
+m
=
∴
.
另一种 解释
:
对于含有某元素
a
的
(n+1)
个
元素中取
m
个元素的组合可分为两类，
一类是不
含元素
a
的，
有
个；
另一类是含元素
a
的有
个，因此共有
(
+
三、课外练习
:
1．用
1
，
2
，
3
，
4
，
5< br>这五个数字组成没有
重复数字的三位数，其中偶数共有（
）
.
A
、
24
个
B
、
30
个
C
、
40
个
D
、
60
个
2
．
5男
2
女排成一排，若女生不能排在两
端，且又要相邻，不同的排法有（
）
.
A
、
480
种
B
、
960
种
C
、
720
种
D
、
1440
种
3
．某 天课表中
6
节课需从
4
门文科，
4
门
理科中选出< br>6
门课程排出，
其中文科交叉排，
且
一、二节必须排语文、数学，则不 同的排法共有
_________
种
.
4
．
在
50
件产品中有
4
件是次品，
其余均合
格，< br>从中任意取出
5
种，
至少
3
件是次品的取法
共有________
种
.
5.
正方体的
8
个顶点可确定不同的平面个
数为
________
，
以这些顶点 为顶点的四面体共有
)
个，即
.
__________
个
.
参考答案
:
1
．
A
2. B
3. 72.
先选出另两门文科，理科有
种，所以有
4
．
5
．①
=72
种
.
种，
又因为文科交叉且一、
二节必须排语文，
数学有
=4186.
+12=20
②
-2
×
6=58
测试
选择题
1
．不等式
>3
的解集是（
）
A
、
{x|x>3}
B
、
{x|x>4, x
∈
N}
C
、
{x|3
N}
D
、
{x|x>3,x
∈
N}
2
．数
（
）
A
、一定是奇数
B
、一定
是偶数
C
、
奇偶性由
n
的奇偶性来决定
D
、
以上
结论都不对
3
．用
0
，
1
，
2
，
3
，这四个数字组成个位数
不是
1
的没有重复数字的四位数共有（
）个
A
、
16
B
、
14
C
、
12
D
、
10
4
．要排一个有
5个独唱节目和
3
个舞蹈节
目的节目单，如果舞蹈节目不排头，并且任何
2
个舞蹈节目不连排，则不同的排法种数是（
）
A
、
B
、
C
、
D
、
5
．
若直线方程
Ax+By=0
的系数
A
、
B
可以从
0
，
1
，
2
，
3< br>，
6
，
7
等六个数字中取不同的数值，
则这些方程所表示的直 线条数是（
）
A
、
-2
B
、
C
、
+2
D
、
6．不同的
5
种商品在货架上排成一排，其
中
a
、
b两种必须排在一起，而
c
、
d
两种不能排
在一起，则不同的排法 共有（
）
A
、
12
种
B
、
20
种
C
、
24
种
D
、
48
种
7
．有5
列火车停在某车站并行的
5
条轨道
上，
若快车
A不能停在第
3
道上，
货车
B
不能停
在第
1道上，则
5
列火车的停车方法共有（
）
A
、
78
种
B
、
72
种
C
、
120
种
D
、
96
种
8
．用0
，
1,2
，
3
，
4
，
5
， 六个数字组成没
有重复数字的六位奇数的个数是（
）
A
、
D
、
B
、
C
、
9
．由数字
0
，
1
，
2，
3
，
4
，
5
组成没有重复
数字的六位数，< br>其中个位数字小于十位数字的共
有（
）
A
、
210
个
B
、
300
个
C
、
464
个
D
、
600
个
10
．从 全班
50
名学生中，选出
6
名三好学
生，其中地区级
1名，县级
2
名，校级
3
名，求
不同选法的种数
.
对于这道题，甲列式子
乙列式子
子（
）
A
、全正确
B
、仅甲、乙正确
C
、仅
乙、丙正确
D
、仅甲、丙正确
答案与解析
，丙列式子
，
，其中所列式