排列与组合二(带答案)
巡山小妖精
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2021年01月26日 13:35
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小壁虎借尾巴-
排列与组合
(
二
)
四、解定序问题——采用除法
对于某几个元素顺序一定的排列问题，
可先把这几个元素与其它元素一同 进
行排列，
然后用总排列数除以这几个元素的全排列数，
这其实就是局部有序问题，< br>利用除法来“消序”．
例
1
：
由数字
0
、
1
、
2
、
3
、
4
、
5
组成没有重复数字的六位数，其中个位数小于
十位数字的共有（
）
A
．
210
个
B
．
300
个
C. 464
个
D
．
600
个
简析：
若不考虑附加条件，
组成的六位数共有
十位数字的
个，
而其中个位数字与
种排法中只有一种符合条件，故 符合条件的六位数共
＝
300
个，故选
B
．
例
2
：
信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有
3
面红 旗、
2
面
白旗，把这
5
面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是 ________
．
分析：
5
面旗全排列有
种挂法，由于
3
面红旗与
2
面白旗的分别全排列
＝
10(
种
)
．
＝
10
．
均只能作一次的挂法，故共有不同的信号种数是
说明：此题也可以用组合来解，只需
5
个位置中确定
3
个，即
例< br>3
：
有
4
个男生，
3
个女生，高矮互不相等，现将他 们排成一行，要求从左到
右，女生从矮到高排列，有多少种排法
?
< br>分析：先在
7
个位置上任取
4
个位置排男生，有
种排法，剩余 的
3
个位
＝
840
种．
置排女生，因要求“从矮到高”，只有一种排法，故共有
在处理分堆问题时，有时几堆中元素个数相等，这时也要用除法，
例< br>4
：
不同的钢笔
12
支，分
3
堆，一堆
6< br>支，另外两堆各
3
支，有多少种分法
?
解：若
3
堆有序号，则有
别，故共有
/
·
，但考虑有两堆都是
3
支，无须区
＝
9240
种．
例
5
：
把
12
支不同的钢笔分给
3
人，一 人得
6
支，二人各得
3
，有几种分法
?
解：先分堆：有
·
/
＝
3
/
种．再将这三堆分配给三人，有
.
种．
=3
.
种。共有
本题亦可用“选位， 选项法”，即：
五、解“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略
对于
“小团体”
排列问题，
可先将
“小团体”
看作一个元素 与其余元素排列，
最后再进行“小团体”内部的排列．
例
1
：< br>三名男歌唱家和两名女歌唱家联合举行一场音乐会，演出的出场顺序要求
两名女歌唱家之间恰有一 名男歌唱家，其出场方案共有
(
)
A
．
36
种
B
．
18
种
C
．
12
种
D
．
6
种
简析：按要求出场顺序必须有一 个小团体“女男女”，因此先在三名男歌唱
家中选一名
(
有
种选法
)
与两名女歌唱家组成一个团体，
将这个小团体视为一
种排法。
最后 小团体内
2
名女歌唱家排
＝
36
种出场方案，选
A
。
个元素，
与其余
2
名男歌唱家排列有
列有
种排法，所以共有
六、解含有约束条件的排列组合问题一――采用合理分类与准确分步的策略
解含有约束条件的排列组合问题，
应按元素的性质进行分类，
按事件发生的
连贯过程分步，做到分类标准明确、分步层次清楚，不重不漏．
例
1：
平面上
4
条平行直线与另外
5
条平行直线互相垂直，则它们构 成的矩形共
有
________
个．
简析 ：
按构成矩形的过程可分为如下两步：
第一步．
先在
4
条平行线中任 取
两条，有
种取法；第二步再在
5
条平行线中任取两条，有
种取法．这样
·
＝
60
取出的四条直线构成一个矩形，据乘法原理，构成的矩形共有
个．
例
2
：
在正方体的
8
个顶点，< br>12
条棱的中点，
6
个面的中心及正方体的中心共
27
个点中 ，共线的三点组的个数是多少
?
解：
依题意，
共线 的三点组可分为三类：
两端点皆为顶点的共线三点组共有
＝
28(
个
)
；两端点皆为面的中心的共线三点组共有
＝
3(
个
)< br>；两端点
皆为各棱中点的共线三点组共有
＝
18(
个
)
．
所以总共有
28+3+18
＝
49
个．
例3
：
某种产品有
4
只次品和
6
只正品
(
每只产品均可区分
)
．每次取一只测试，
直到
4
只次品全部测出为 止．
求第
4
只次品在第五次被发现的不同情形有多少种
?
解：先考虑第五次测试的产品有
4
种情况，在前四次测试中包含其余的3
只次品和
1
只正品，它们排列的方法数是
6
形有
4< br>×
6
＝
576
种．
。依据乘法原理得所求的不同情
七、解排列组台混合问题——采用先选后排
对于排列与组合的混合问题，可采取先选出元素，后进行排列的策略．
例
1
：
3
名医生和
6
名护士被分配到
3< br>所学校为学生体检，每校分配
1
名医生和
2
名护土，不同的分配方法共 有
(
)
．
A
．
90
种
B
．
180
种
C
．
270
种
D
．
540
种
分析：
(
二
)
第一步：先将
6
名护士分配到
3
所不同学校，每所学校
2
名，则
有
(
种
)
分法．
第二步：再将
3
名医生分配到
3
所不同的学校，每所学