高中排列与组合知识点整理
余年寄山水
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2021年01月26日 13:37
最佳经验
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道具文-
高中排列与组合知识点整理
亲爱的朋友：
进入高二，相信你已接触排列与组合了，作为高中的重点，一直也是个难点！
近几年来，高考一直未涉及这方面的题，尤其
09
高考山东一个 没考，但几乎所有的老
师都预测
10
年高考一定考，而百科中又很少啊！下面我就细讲 一下，希望觉得好就顶一下
啊！嘻嘻！
1
．排列及计算公式
从
n
个不同元素中，任取
m(m
≤
n)
个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从
n
个不同
元素中取出
m
个元素的一个排列；
从
n< br>个不同元素中取出
m(m
≤
n)
个元素的所有排列的个
数，叫 做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的排列数，用符号
p(n,m)
表示
.
p(n,m)=n(n-1)(n-2)
……
(n-m+1)= n!/(n-m)!(
规定
0!=1).
2
．组合及计算公式
从
n
个不同元素中，
任取
m(m
≤
n)
个元素并成一组，
叫做 从
n
个不同元素中取出
m
个
元素的一个组合；从
n
个不同元素中取出
m(m
≤
n)
个元素的所有组合的个数，叫做从
n
个
不同元素中取出
m
个元素的组合数
.
用符号
c(n,m)
表示
.
c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)
；
c (n,m)=c(n,n-m);
3
．其他排列与组合公式
从
n< br>个元素中取出
r
个元素的循环排列数＝
p(n,r)/r=n!/r(n-r) !.
n
个元素被分成
k
类，每类的个数分 别是
n1,n2,...nk
这
n
个元素的全排列数为
n!/(n1!*n2!*...*nk!).
k
类元素
,
每类的个数无限
,
从中取出
m
个元素的组合数为
c(m+k-1,m).
[
编辑本段
]
原理及应用
两个基本计数原理及应用
(1)
加法原理和分类计数法
1
．加法原理
2
．加法原理的集合形式
3
．分类的要求
每一类中的每一种方法都 可以独立地完成此任务；
两类不同办法中的具体方法，
互不相
同
(
即 分类不重
)
；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类
(
即分类不漏
)
(2)
乘法原理和分步计数法
1
．乘法原理
2
．合理分步的要求
任何一步的一种方法 都不能完成此任务，
必须且只须连续完成这
n
步才能完成此任务；
各步计数相 互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同
如果你还有点疑惑！我就讲点例题（很经典的）
[
例题分析
]
排列组合思维方法选讲
1
．首先明确任务的意义
例
1.
从
1
、
2
、
3
、……、
20
这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不
同等差数列有
_ _______
个。
分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。
设
a,b,c
成等差，∴
2b=a+c,
可知
b
由
a,c
决定，
又∵
2b
是偶数，∴
a,c
同奇或同偶，即： 从
1
，
3
，
5
，……，
19
或
2
，
4
，
6
，
8
，……，
20
这十 个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为
2=180
。
例
2.
某城市有
4
条东西街道和
6
条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定
只能向东或向北两个方向沿图中 路线前进，则从
M
到
N
有多少种不同的走法
?
分析：对实际背景的分析可以逐层深入
（一）从
M
到
N
必须向上走三步，向右走五步，共走八步。
（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。
（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。
从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数，
∴
本题答案为：
=56
。
2
．注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合
例
3
．
在一块并排的
10
垄田地中，
选择二垄分别种植
A
，
B
两种作物，
每种种植一 垄，
为有利于作物生长，要求
A
，
B
两种作物的间隔不少于
6
垄，不同的选法共有
______
种。
分析：条件中“要求
A
、
B
两种作物的间隔不少于
6
垄”这个条件不容易用一个包含排
列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。
第一类：
A
在第一垄，
B
有
3
种选择；
第二类：
A
在第二垄，
B
有
2
种选择；
第三类：
A
在第三垄，
B
有一种选择，
同理
A
、
B
位置互换
，共
12
种。
例
4．从
6
双不同颜色的手套中任取
4
只，其中恰好有一双同色的取法有________
。
(A)240 (B)180 (C)120 (D)60
分析：显然本题应分步解决。
（一）从
6
双中选出一双同色的手套，有种方法；
（二）从剩下的十只手套中任选一只，有种方法。
（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有种方法；
（四）由于选取与顺序无关，因而（二）
（三）中的选法重复一次，因而共
240
种。
例
5
．身高互不相同 的
6
个人排成
2
横行
3
纵列，在第一行的每一个人都比他同 列的
身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为
_______
。
分析：
每一纵列中的两人只要选定，
则他们只有一种站位方法，
因而每一纵列的排队方
法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有
=90
种 。
例
6
．在
11
名工人 中，有
5
人只能当钳工，
4
人只能当车工，另外
2
人能当钳 工也能
当车工。现从
11
人中选出
4
人当钳工，
4
人当车工，问共有多少种不同的选法
?
分析：
采用 加法原理首先要做到分类不重不漏，
如何做到这一点？分类的标准必须前后
统一。
以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。
第一类：这两个人都去当钳工，有种；
第二类：这两人有一个去当钳工，有种；
第三类：这两人都不去当钳工，有种。
因而共有
185
种。
例
7
．现有印着
0
，
l
，
3
，
5
，
7
，
9
的六张卡片，如果允许
9
可以作
6
用，那么从中任
意抽出三张可以组成多少个不同的三位数
?
分析：有同学认为只要把
0
，
l
，
3
，
5
，
7
，
9
的排法数乘以
2
即为所求，但实际上抽出
的三个数中有
9
的话才可能用
6
替换，因而必须分类。
抽出的三数含
0
，含
9
，有种方法；
抽出的三数含
0
不含
9
，有种方法；
抽出的三数含
9
不含
0
，有种方法；
抽出的三数不含
9
也不含
0
，有种方法。
又因为数字
9
可以当
6
用，因此共有
2
×
(+)++=144
种方法。
例
8
．停车场划一排
12
个停车位置，今有
8
辆车需要停 放，要求空车位连在一起，不
同的停车方法是
________
种。
分析：把空车位看成一个元素，和
8
辆车共九个元素 排列，因而共有种停车方法。
3
．特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑
例
9
．六人站成一排，求
(1)
甲不在排头，乙不在排尾的排列数
(2)
甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数
分析：
（
1
）先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而 考虑分类。
第一类：乙在排头，有种站法。
第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有种站法，
共
+
种站法。
（
2
）第一类：甲在排尾，乙在排头，有种方法。
第二类：甲在排尾，乙不在排头，有种方法。
第三类：乙在排头，甲不在排头，有种方法。
第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有种方法。
共
+2+=312
种。
例
10
．对某件产品的
6
件不同正品和
4
件不同次品进行一一测试， 至区分出所有次品
为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能< br>?
分析：
本题意指第五次测试的产品一定是次品，< br>并且是最后一个次品，
因而第五次测试
应算是特殊位置了，分步完成。
第一步：第五次测试的有种可能；
第二步：前四次有一件正品有中可能。
第三步：前四次有种可能。
∴
共有种可能。
以下内容为很渴望的朋友准备，别闲烦啊！
捆绑与插空
例
11. 8
人排成一队
(1)
甲乙必须相邻
(2)
甲乙不相邻
(3)
甲乙必须相邻且与丙不相邻
(4)
甲乙必须相邻，丙丁必须相邻
(5)
甲乙不相邻，丙丁不相邻
分析：
（
1
）有种方法。
（
2
）有种方法。
（
3
）有种方法。
（
4
）有种方法。
（
5
）本题不能用插空法，不能连续进行插空。
用间接解法：全排列
-
甲乙相邻
-
丙丁相邻
+< br>甲乙相邻且丙丁相邻，共
--+=23040
种方
法。
例
12.
某人射击
8
枪，命中
4< br>枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况
?
分析：∵
连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。另外
没有命中的之间没有区别，
不必计数。
即在四发空枪之间形成的
5
个 空中选出
2
个的排列，
即。
例
13.
马路上有编号为
l
，
2
，
3
，……，
10
十个路灯，为节约用电又看清路面，可以
把其中的三只灯关掉，
但不能同时关掉相邻的 两只或三只，
在两端的灯也不能关掉的情况下，
求满足条件的关灯方法共有多少种
?
分析：
即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。
又因为 灯与灯之间没有区别，因而问题为
在
7
盏亮着的灯形成的不包含两端的
6个空中选出
3
个空放置熄灭的灯。
∴
共
=20
种方法。
4
．间接计数法
.(1)
排除法
例
14.
三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形
?
分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。
所求问题的方法数
=
任意三个点的组合数
-
共线三点的方法数，
∴
共种。
例
15
．正方体
8
个顶点中取出
4
个，可组成多少个四面体
?
分析：所求问题的方法数
=
任意选四点的组合数
-
共面四 点的方法数，
∴
共
-12=70-12=58
个。
例
16. l
，
2
，
3
，……，
9
中取出两个分别作为对数的底数和真数，可组成多少个不同数
值的对数
?
分析：由于底数不能为
1
。
（
1
）当
1
选上时，
1
必为真数，∴
有一种情况。
（
2
）
当不选
1
时，
从
2--9
中任取两个分别作为底数，
真数，
共，
其中
log24=log39
，
log42=log93, log23=log49, log32=log94.
因而一共有
53
个。
(3)
补上一个阶段，转化为熟悉的问题
例
17.
六人排成一排，要求甲在乙的前面，
(
不一定相邻
)
，共有多少种不同的方法
?
如
果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢
?
分析：
（一）
实际上，
甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称，
具有相同 的排法数。
因而有
=360
种。
（二）
先考虑六人全排列；
其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序站位，因而前面的
排法数重复了种，
∴
共
=120
种。
例
18
．
5
男
4
女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法
?
分析：
首先不考虑男生的站位要求，
共种；男生从左至右按从高到矮的顺序 ，
只有一种
站法，因而上述站法重复了次。因而有
=9
×
8
×
7
×
6=3024
种。
若男生从右至左按从高到矮的顺序，
只有一种站法，
同理也有
30 24
种，
综上，
有
6048
种。
例
19.
三个相同的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不同的方法
?
分析：先认为三个红球互不相同，共种方法。而由于三个红球所占位置相同的情况下，
共有变化，因而共
=20
种。
5
．挡板的使用
例
20
．
10
个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法
?
分析：把
10
个名额看成十个元素，在这十个元素之 间形成的九个空中，选出七个位置
放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共
36
种。
6
．注意排列组合的区别与联系 ：所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同
样，组合如补充一个阶段
(
排序
)
可转化为排列问题。
例
21.
从
0
，
l
，
2
，……，
9
中取出
2
个偶数数字，
3
个奇数数字，可组成多少个无重
复数字的五位数< br>?
分析：先选后排。另外还要考虑特殊元素
0
的选取。
（一）两个选出的偶数含
0
，则有种。
（二）两个选出的偶数字不含
0
，则有种。
例
22.
电梯有
7
位乘客，
在
10< br>层楼房的每一层停留，
如果三位乘客从同一层出去，
另
外两位在同一层出去，最 后两人各从不同的楼层出去，有多少种不同的下楼方法
?
分 析：
（一）先把
7
位乘客分成
3
人，
2
人，一人， 一人四组，有种。
（二）选择
10
层中的四层下楼有种。
∴
共有种。
例
23.
用数字
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
组成没有重复数字的四位数，
(1)
可组成多少个不同的四位数
?
(2)
可组成多少个不同的四位偶数
?
(3)
可组成多少个能被
3
整除的四位数
?
(4)
将
(1)
中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第< br>85
项是什么
?
分析：
（
1
）有个。
（
2
）分为两类：
0
在末位，则有种：
0
不在末位，则有种。
∴
共
+
种。
（
3
）先把四个相加能被
3
整除的 四个数从小到大列举出来，即先选
0
，
1
，
2
，
3
0
，
1
，
3
，
5
0
，
2
，
3
，
4
0
，
3
，
4
，
5
1
，
2
，
4
，
5
它们排列出来的数一定可以被
3
整除，再排列，有：
4
×
( )+=96
种。
（
4
）首位为
1
的有
=60
个。
前两位为
20
的有
=12
个。
前两位为
21
的有
=12
个。
因而第
85
项是前两位为
23
的最小数，即为
2301
。
7
．分组问题
例
24. 6
本不同的书
(1)
分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法
?
(2)
分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？
(3)
分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法？
(4)
甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法
?
(5)
分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的分法
?
分析：
（
1
）有中。
（
2
）即在（
1
）的基础上除去顺序，有种。
（
3
）有种。由于这是不平均分组，因而不包含顺序。
（
4
）有种。同（
3
）
，原因是甲，乙，丙持有 量确定。
（
5
）有种。
例
25. 6
人分乘两辆不同的车，每车最多乘4
人，则不同的乘车方法为
_______
。
分析：
（一）考虑先把
6
人分成
2
人和
4
人，
3
人和
3
人各两组。
第一类：平均分成
3
人一组，有种方法。
第二类：分成
2
人，
4
人各一组，有种方法。
（二）再考虑分别上两辆不同的车。
综合（一）
（二）
，有种。
例
26. 5
名学生分配到
4
个不同的科技小组参加活动，
每个科技小组至少有一名学生参
加，则分配方法共有
________
种
.
分析：
（一）先把
5
个学生分成二人，一人，一人，一人各一组。
其中涉及到平均分成四组，有
=
种分组方法。
（二）再考虑分配到四个不同的科技小组，有种，
由（一）
（二）可知，共
=240
种。
有点小多，但希望大家能长补短！
依自己的情况而选做研究
排列、
组合的概念具有广泛的实际意义，
解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与元素的
顺序有关 。
复杂的排列、
组合问题往往是对元素或位置进行限制，
因此掌握一些基本的排列、< br>组合问题的类型与解法对学好这部分知识很重要。
一
.
特殊元素（位置）用优先法
把有限制条件的元素（位置）称为 特殊元素（位置）
，对于这类问题一般采取特殊元素（位
置）优先安排的方法。
例
1. 6
人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？
分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。
解法
1
：
（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第 一步先让甲排在左右两端之间的任一
位置上，
有种站法；
第二步再让其余的
5
人站在其他
5
个位置上，
有种站法，
故站法共有：
＝
480
（种）
解法
2
：
（位置分 析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的
5
个人中任选两人站
在左右两端， 有种；第二步再让剩余的
4
个人（含甲）站在中间
4
个位置，有种，故站法< br>共有：
（种）
二
.
相邻问题用捆绑法
对于要求某几个元素必须排在一起的问题，
可用
“捆绑法”
：
即将这几个元素看作一个整体，
视为一个元素，与 其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。
例
2. 5
个男生和
3
个女生排成一排，
3
个女生必须排在一起，有多少种不 同排法？
解：
把
3
个女生视为一个元素，< br>与
5
个男生进行排列，
共有种，
然后女生内部再进行排列，
有 种，所以排法共有：
（种）
。
三
.
相离问题用插空法
元素相离（即不相 邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的
元素位置之间和两端的空中。< br>
例
3. 7
人排成一排，甲、乙、丙
3
人互不相邻有多少种排法？
解：
先将其余
4
人排成一排，
有种，
再往
4
人之间及两端的
5
个空位中让甲、
乙、
丙插入，
有种， 所以排法共有：
（种）
四
.
定序问题用除法
对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用 此法。解题方法是：先将
n
个元素进行全排
列有种，个元素的全排列有种，由于要求< br>m
个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排
法，可以利用除法起到调序的作用，即若
n
个元素排成一列，其中
m
个元素次序一定，则
有种排列方法。
例
4.
由数字
0
、
1
、
2
、
3
、
4
、
5
组成没有重复数字的 六位数，其中个位数字小于十位数字
的六位数有多少个？
解： 不考虑限制条件，组成的六位数有种，其中个位与十位上的数字一定，
所以所求的六位
数有：< br>
（个）
五
.
分排问题用直排法
对于把几个元素分 成若干排的排列问题，
若没有其他特殊要求，
可采取统一成一排的方法求
解。
例
5. 9
个人坐成三排，
第一排
2
人，
第二排
3
人，
第三排
4
人，
则不同的坐法共有 多少种？
解：
9
个人可以在三排中随意就坐，无其他 限制条件，所以三排可以看作一排来处理，不同
的坐标共有种。
六
.
复杂问题用排除法
对于某 些比较复杂的或抽象的排列问题，
可以采用转化思想，
从问题的反面去考虑，
先求出< br>无限制条件的方法种数，
然后去掉不符合条件的方法种数。
在应用此法时要注意做到不重 不
漏。
例
6.
四面体的顶点和各棱中点共 有
10
个点，取其中
4
个不共面的点，则不同的取法共有
（
）
A. 150
种
B. 147
种
C. 144
种
D. 141
种
解：从
10
个点中任取
4
个点有种取法，其中
4
点共面的情况有三类。第一类，取出的
4
个< br>点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的
3
个点及该棱对棱的中点，
这
4
点共面，有
6
种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组 对边分别平行于四面
体相对的两条棱）
，它的
4
个点共面，有
3种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的
取法共有：
（种）
。
七
.
多元问题用分类法
按题目条件，把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类，分别计算，最后计算总< br>数。
例
7.
已知直线中的
a
，
b
，
c
是取自集合
{
－
3
，－
2
，－
1
，
0
，
1
，
2
，3}
中的
3
个不同的元
素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件 的直线的条数。