初中数学竞赛排列与组合
绝世美人儿
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2021年01月26日 13:38
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十二月你好-
排列与组合
基础知识:
1.
排列:从
n
个对象中选出
m
(不超过
n
)个并进行排序,共有的方法数称为排列数,写成
。
2.
排列数的计算:
约定:
0!=1
排列数是由乘法原理得到的,因此排列可以看成是乘法原理的一种应用。
3.
组合:
从
n
个对象中选出
m
(不超过
n
)
个,
不进行排序,
共有的方法数称为组合数,
写成
4.
排列与组合的关系:
。
。
5.
组合数的计算:
6.
排列数与组合数的一些性质:
例
1.4
名男生和
3
名女生站成一排
:
(
1
)一共有多少种不同的站法
?
(
2
)甲
,
乙二人必须站在两端的排法有多少种
?
(
3
)甲
,
乙二人不能站在两端的排法有多少种
?
(
4
)甲不排头
,
也不排尾
,
有多少种排法
?
(
5
)甲只能排头或排尾
,
有多少种排法
?
[
答疑编号
5721060101]
【答案】(
1
)5040
;(
2
)
240
;(
3
)
2 400
;(
4
)
3600
;(
5
)略
【解答】
例
2.
在
50
件产品中有
4
件是次品
,
从中任意抽出
5
件,至少有
3
件是次 品的抽法共多少种?
[
答疑编号
5721060102]
【答案】
4186
种
【解答】
至少有
3
件是次品,分两种情况
第一种情况 :
3
件是次品的抽法:
从
4
件次品中中抽出
3
件是
种,
其中,
,然后,从
46
件正常品中抽
2
件,总共
所以,
3
件是次品的抽法共
第二种情况:
4
件是次品的抽法共:
种。其中,
种。
种。
任意抽出
5
件产品,至少有
3
件是次品的抽法,是将上述两种情况加在一起,
所以,总共是
4×23×45+46=23×182=4186
种。
总结:有序是排列,无序是组合。
例
3.3
名医生和
6
名护士被分配到
3
所学校为学生体检
,
每校分配
1
名医生和
2
名护士
,
不同的
分配方法共有多少种?
[
答疑编号
5721060103]
【答案】
540
种
【解答】
< br>可设三所学校为甲、乙、丙,三位医生去
3
所学校的分配方案:用排列数表示为
=3×2×1=6。用乘法原理表示为
3
!
=6
。
种选法,剩下
4
名护士去乙学校,有
种选法,剩下两名自然去学校
六名护士去学校甲有
丙。
所以,不同的分配方法共有
种。
例
4.
有多少个五位数,满足其数位上的每个数字均至少出现两次?
[
答疑编号
5721060104]
【答案】
819
【解答】
方法一:
(
1
)
出现一个数字的情况是
9
种;
(
2
)出现两个数 字,首位不能是
0
,共有
9
种情况,
种
(
i
)首位确定之后,如果首位数总共出现
3
次,则从后 面的
4
个数位中,选出两位,共
情况,剩下的两个数位,还需要选相同的数,因为可以 是
0
,所以,有
9
种选择。所以,这种情况
总共有
×9=5 4
种。
(
ii
)首位确定之后, 如果首位数总共出现
2
次,则从后面的
4
个数位中,选出一位,总共
种情况,剩下的三个数位,还需要选相同的数,因为可以是
0
,所以,有
9
种 选择。所以,这种情
况总共有
×9=36
种。
所以,出现两个数字的情况为(
36+54
)×9=810.
综上 ,满足其数位上的每个数字均至少出现两次的情况为
9+810=819
种。
方法二:
(
1
)
出现一个数字的情况是
9
种;
(
2
)出现两个数字的情况:
种情况,为什么是排列数呢?因为,
(
i
)可以考虑从
9
个数中选两个数,两个都不是
0
,有
有一个数字出现
3< br>次,有一个数字出现两次。所以,可以理解为,两个是有顺序的。然后从
5
个数
位中,选出
3
个数位,总共有
种。所以,两个都不是
0
的情况为=720
种。
(
ii
)如果两个数,有 一个是
0
,再选出一个数放在首位,有
9
种情况,如果首位数字用两次,从后四位数中,选择一个数位有
后四位数中,选择两个数位有
种。所以,这种情况为
9×
种。所以,这种情况为
9×
=36
种。如果首位数字用三次,从
=54
种。所以,两个数,有一个是
0
的情况总共有
54+36=90种。
所以,出现两个数字的情况为
720+90+810
种。
综上,满足其数位上的每个数字均至少出现两次的情况为
9+810=819
种。
例
5
(
1
)在
10 ×15
的棋盘上取两个方格,使它们既不同行也不同列,有多少种取法?
(
2
)在
n
×
n
的方格表上取两个方格,使它们既 不同行也不同列,有多少种取法?
(
3
)在
n
×
n
的方格表上取
n
个方格,使任意两个棋子既不同行也不同列, 有多少种取法?
[
答疑编号
5721060105]
【答案】
(
1
)
9450
;(
2
)
;(
3
)
n!
【解答】
(
1
)方法一:首先,从这些方 格中,选第一个方格,总共有
15×10=150
种,接着选第二个方
格,由于与第一 个不同行也不同列,所以第二个方格的选法为
14×9=126
种。但由于第一次选与第
二次选,
没有顺序之分,
所以,
这样选出的方格是重复的。
需要除以
2
。
故总共有
150×126÷2=9450
种。
方法二:从
150
个格子中选出两个格,总共有
同列的情况。
同一行的情况为:先选出一行,
有
10
种情况,
再在这一行中选出两个格,有
同一行的情况为
种
。
种情况。
所以,
种,但有不符合要求的情况,就是属于同行
同一列的情况为:先选出一列,有
15
种情况,再在这一列中选出两个格,有
种情况。所以,
同一列的情况为
种
。