初中数学竞赛排列与组合
玛丽莲梦兔
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2021年01月26日 13:38
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十二月你好-
排列与组合
基础知识：
1.
排列：从
n
个对象中选出
m
（不超过
n
）个并进行排序，共有的方法数称为排列数，写成
。
2.
排列数的计算：
约定：
0!=1
排列数是由乘法原理得到的，因此排列可以看成是乘法原理的一种应用。
3.
组合：
从
n
个对象中选出
m
（不超过
n
）
个，
不进行排序，
共有的方法数称为组合数，
写成
4.
排列与组合的关系：
。
。
5.
组合数的计算：
6.
排列数与组合数的一些性质：
例
1.4
名男生和
3
名女生站成一排
:
（
1
）一共有多少种不同的站法
?
（
2
）甲
,
乙二人必须站在两端的排法有多少种
?
（
3
）甲
,
乙二人不能站在两端的排法有多少种
?
（
4
）甲不排头
,
也不排尾
,
有多少种排法
?
（
5
）甲只能排头或排尾
,
有多少种排法
?
[
答疑编号
5721060101]
【答案】（
1
）5040
；（
2
）
240
；（
3
）
2 400
；（
4
）
3600
；（
5
）略
【解答】
例
2.
在
50
件产品中有
4
件是次品
,
从中任意抽出
5
件，至少有
3
件是次 品的抽法共多少种？
[
答疑编号
5721060102]
【答案】
4186
种
【解答】
至少有
3
件是次品，分两种情况
第一种情况 ：
3
件是次品的抽法：
从
4
件次品中中抽出
3
件是
种，
其中，
，然后，从
46
件正常品中抽
2
件，总共
所以，
3
件是次品的抽法共
第二种情况：
4
件是次品的抽法共：
种。其中，
种。
种。
任意抽出
5
件产品，至少有
3
件是次品的抽法，是将上述两种情况加在一起，
所以，总共是
4×23×45+46=23×182=4186
种。
总结：有序是排列，无序是组合。
例
3.3
名医生和
6
名护士被分配到
3
所学校为学生体检
,
每校分配
1
名医生和
2
名护士
,
不同的
分配方法共有多少种？
[
答疑编号
5721060103]
【答案】
540
种
【解答】
< br>可设三所学校为甲、乙、丙，三位医生去
3
所学校的分配方案：用排列数表示为
=3×2×1=6。用乘法原理表示为
3
！
=6
。
种选法，剩下
4
名护士去乙学校，有
种选法，剩下两名自然去学校
六名护士去学校甲有
丙。
所以，不同的分配方法共有
种。
例
4.
有多少个五位数，满足其数位上的每个数字均至少出现两次？
[
答疑编号
5721060104]
【答案】
819
【解答】
方法一：
（
1
）
出现一个数字的情况是
9
种；
（
2
）出现两个数 字，首位不能是
0
，共有
9
种情况，
种
（
i
）首位确定之后，如果首位数总共出现
3
次，则从后 面的
4
个数位中，选出两位，共
情况，剩下的两个数位，还需要选相同的数，因为可以 是
0
，所以，有
9
种选择。所以，这种情况
总共有
×9=5 4
种。
（
ii
）首位确定之后， 如果首位数总共出现
2
次，则从后面的
4
个数位中，选出一位，总共
种情况，剩下的三个数位，还需要选相同的数，因为可以是
0
，所以，有
9
种 选择。所以，这种情
况总共有
×9=36
种。
所以，出现两个数字的情况为（
36+54
）×9=810.
综上 ，满足其数位上的每个数字均至少出现两次的情况为
9+810=819
种。
方法二：
（
1
）
出现一个数字的情况是
9
种；
（
2
）出现两个数字的情况：
种情况，为什么是排列数呢？因为，
（
i
）可以考虑从
9
个数中选两个数，两个都不是
0
，有
有一个数字出现
3< br>次，有一个数字出现两次。所以，可以理解为，两个是有顺序的。然后从
5
个数
位中，选出
3
个数位，总共有
种。所以，两个都不是
0
的情况为=720
种。
（
ii
）如果两个数，有 一个是
0
，再选出一个数放在首位，有
9
种情况，如果首位数字用两次，从后四位数中，选择一个数位有
后四位数中，选择两个数位有
种。所以，这种情况为
9×
种。所以，这种情况为
9×
=36
种。如果首位数字用三次，从
=54
种。所以，两个数，有一个是
0
的情况总共有
54+36=90种。
所以，出现两个数字的情况为
720+90+810
种。
综上，满足其数位上的每个数字均至少出现两次的情况为
9+810=819
种。
例
5
（
1
）在
10 ×15
的棋盘上取两个方格，使它们既不同行也不同列，有多少种取法？
（
2
）在
n
×
n
的方格表上取两个方格，使它们既 不同行也不同列，有多少种取法？
（
3
）在
n
×
n
的方格表上取
n
个方格，使任意两个棋子既不同行也不同列， 有多少种取法？
[
答疑编号
5721060105]
【答案】
（
1
）
9450
；（
2
）
；（
3
）
n!
【解答】
（
1
）方法一：首先，从这些方 格中，选第一个方格，总共有
15×10=150
种，接着选第二个方
格，由于与第一 个不同行也不同列，所以第二个方格的选法为
14×9=126
种。但由于第一次选与第
二次选，
没有顺序之分，
所以，
这样选出的方格是重复的。
需要除以
2
。
故总共有
150×126÷2=9450
种。
方法二：从
150
个格子中选出两个格，总共有
同列的情况。
同一行的情况为：先选出一行，
有
10
种情况，
再在这一行中选出两个格，有
同一行的情况为
种
。
种情况。
所以，
种，但有不符合要求的情况，就是属于同行
同一列的情况为：先选出一列，有
15
种情况，再在这一列中选出两个格，有
种情况。所以，
同一列的情况为
种
。