复杂排列数与组合数练习题
玛丽莲梦兔
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2021年01月26日 13:38
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眺望的近义词-
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复杂排列数与组合数练习题
排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵
活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题， 弄清楚是排
列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问
题的本质特征，采用合理 恰当的方法来处理。
教学目标
1.
进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.
掌握 解决排列组合问题的常用策略
;
能运用解题策
略解决简单的综合应用题。提高学生解决 问题分析问题的能
力
3.
学会应用数学思想和方法解决排列组合问题
.
复习
巩固
1.
分类计数原理
完成一件事，有
n
类办法，在第
1
类办法中有
m1
种不
同的方法，在第2
类办法中有
m2
种不同的方法，
?
，在第
n
类办法中有
mn
种不同的方法，那么完成这件事共有：
种不同的方法．
2.
分步计数原理
完成一件事，需要分成
n
个步骤，做第
1
步有
m1
种不
同的方法，做第
2
步有
m2
种不同的方法，
?
，做第
n
步有
mn
种不同的方法，那么完成这件事共有：
种不同的方法．
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3.
分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独
立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的
方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．
解决排列组合综合性问题的一般过程如下
: 1.
认真审
题弄清要做什么事
2.
怎样做才能完成所要 做的事
,
即采取分步还是分类
,
或是分步与分类同时进行
,
确定分多少步及多少类。
3.
确定每一步或每一类是排列问题还是组合问 题
,
元
素总数是多少及取出多少个元素
.
4.
解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此
必须掌握一些常用的解题策略
一
.
特殊元素和特殊位置优先策略
例
1.
由
0,1,2,3,4,5
可以组成多少个没有重复数字五< br>位奇数
.
解
:
由于末位和首位有特殊要求
,
应该优先安排
,
两个位置
.
1
先排末位共有
C3
1
然后排首位共有
C
最后排其它位置共有
A43
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C3A4?288
由分步计数原理得
C4
练习题
:7
种不同的 花种在排成一列的花盆里
,
若两种
葵花不种在中间，也不
种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
二
.
相邻元素捆绑策略
例
2.
人站成一排
,
其中甲乙相邻且丙丁相邻
,
共有多少种不同的排法
.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同
时丙丁也看成一
个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元
素内部进行自排。由分步计数原理可得共有
A55A2
2A22?480
种不同的排法
练习题
:
某人射击
8
枪，命中
4
枪，
4< br>枪命中恰好有
3
枪连在一起的情形的不同种数为
0
三
.
不相邻问题插空策略
例
3.一个晚会的节目有
4
个舞蹈
,2
个相声
,3
个独唱,
舞蹈节目不能连续出场
,
则节目的出场顺序有多少种？
解
:
分两步进行 第一步排
2
个相声和
3
个独唱共有
A55
种，第二步
将
4
舞蹈插
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4
入第一步排好的
6
个元素中间包含首尾两 个空位共有
种
A6
不同的方法
,
4
由分步计数原理
,
节目的不同顺序共有
A55A6
< br>练习题：某班新年联欢会原定的
5
个节目已排成节目
单，开演前又增加了两个新 节目
.
如果将这两个新节目插入
原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种 数为
0
四
.
定序问题倍缩空位插入策略
例
4.7
人排队
,
其中甲乙丙
3
人顺序一定共有多 少不同
的排法
解
:
对于某几个元素顺序一定的 排列问题
,
可先把这几
个元素与其
他元素一起进行排列
,
然后用总排列数除以这几个元
素之间的
3
全排列数
,
则共有不同排法种数是：
A77/A3
4
设想有
7
把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有
A7种
方法，其
4
余的三个位置甲乙丙共有
1
种坐法，
则共有
A7
种方法。
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思考
:
可以先让甲乙丙就坐吗
?
EABCDEFGHA
一般地
,n
个不同元素作圆形排列,
共有
!
种排法
.
如果
从
n
个不同元 素中取出
m
个元素作圆形排列共有
1mAn n
练习题：
6
颗颜色不同的钻石，
可穿成几种钻石圈
120
七
.
多排问题直排策略
例
7.8人排成前后两排
,
每排
4
人
,
其中甲乙在前排
,
丙
在后排
,
共有多少排法
解
:8
人排 前后两排
,
相当于
8
人坐
8
把椅子
,
可以 把椅子排成一排
.
个特殊
1
元素 有
A24
种
,
再排后
4
个位置上的特殊元素丙有
A 4
种
,
其余的
5
人在
5
215
个位置上任意排列有
A55
种
,
则共有
A4A4A5
种< br>
一般地
,
元素分成多排的排列问题
,
可 归结为一排考虑
,
再分段研
练习题：有两排座位，前 排
11
个座位，后排
12
个座
位，现安排
2
人就座 规
定前排中间的
3
个座位不能坐，并且这
2< br>人不左右相
邻，那么不同排法的种数是
46
八
.
排列组合混合问题先选后排策略
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例
8.
有
5
个不同的小球
,
装入
4
个不同的盒内
,
每盒至
少装一个球
,
共有多少不同的装法
.
解
:
第一步从
5
个球中选出
2
个组成复合元共有
C 52
种
方法
.
再把
4
个元素
装入
4
个不同的盒内有
A4
根据分步计数
4
种方法 ，
4
原理装球的方法共有
C52A4
练习题：一个班有
6
名战士
,
其中正副班长各
1
人现从< br>中选
4
人完成四种不
同的任务
,
每人完成一种任务
,
且正副班长有且只有
1
人参加
,
则不 同的选法有
19
种
九
.
小集团问题先整体后局部策略
例
9.
用
1,2,3,4,5
组成没有重复数字的五位数其中恰
有两个偶数夹< br>1,
５在
两个奇数之间
,
这样的五位数有多少个？
解： 把１
,
５
,
２
,
４当作一个小集团与３排队共有
A 2
再排小集团
2
种排法，
2222
AA
内部共有
A2
种排法，由分步计数原理共有
222A2A2
种排 法
.
小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略
进行处理。
练习题：
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１
.
计划展出
10
幅不同的画
,
其中
1< br>幅水彩画
,
４幅油
画
,
５幅国画
,
排成一
行陈列
,
要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不
在两端，
54
那么共有陈列方式的种数为
A22A5A4
55
2.
男生和５女生站成一排照像
,
男生 相邻
,
女生也相邻
的排法有
A22A5A5
种
十
.
元素相同问题隔板策略
例
10.
有
10
个运动员名额，
分给
7
个班，每班至少一个
,
有多少种 分配方案？
解：因
为
10
个名额没有差别，把它们排成一排。相 邻名额之间形
成９个
空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板， 可把名额
分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种
分法共有
C96< br>种分法。
二班三
班
六班七班
将
n
个相同的元素 分成
m
份
,
每份至少一个元素
,
可以
用
m -1
块隔板，
m?1
插入
n
个元素排成一排 的
n-1
个空隙中，所有分法数
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为
Cn?1
练习题：
1
．
10
个相同的球装
5
个盒中
,
每盒至少一有 多少装
法？
C94
3
.x?y?z?w?10 0
求这个方程组的自然数解的组数
C10
十
一
.
正难则反总 体淘汰策略
例
11.
从
0,1,2,3,4, 5,6,7,8,9
这十个数字中取出三个
数，使其和为不小于
10
的偶数< br>,
不同的取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于
10
的偶数很困难
,
可
用总体淘汰法。这十个数字中有
5< br>个偶数
5
个奇数
,
所取的
三个数含有
3
个偶 数的取法有
C53,
12123C5,
和为偶数的取法共有
C5 C5?C5
只含有
1
个偶
数的取法有
C5
。再淘汰和
123
C5?C5?
小于
10
的偶数共
9
种 ，
符合条件的取法共有
C5
有些排列组合问题
,正面直接考虑比较复杂
,
而它的
反面往往比较简捷
,
可以先求出
它的反面
,
再从整体中淘汰
.
练习题：我们班里有
43
位同学
,
从中任抽
5
人< br>,
正、
副班长、团支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种
?
十二
.
平均分组问题除法策略
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例
12.
本不同的书平均分成
3
堆
,
每堆
2
本共有多少分
法？
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高考数学排列与组合专项训练
一、解含有特殊元素、特殊位置的题——采用特殊优
先安排的策略
例
1
：用
0
，
2
，
3
，
4
，
5
这五个数字，组成没有重复数
字的三位数，其中偶数共有
A
．
24
个
B
．
30
个
C
．
40
个
D
．
60
个
例
2
：用
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
六个数字可组成多少个被
5
整除且数字不同的六位奇数
?
二、解含有约束条件的排列组合问题一――采用合理
分类与准确分步的策略
例
3
：
平面上
4
条平行直线与另外
5
条平 行直线互相垂
直，则它们构成的矩形共有
____
个．
例
4
：在正方体的
8
个顶点，
12
条棱的中点，
6
个面的中心及正方体的中心共
27
个点中，共线的三点组的个数是多少
?
例
5
：
某种产品有
4
只次品和
6
只正品．
每次取一只测
试，直到
4
只次品全部测出为止．求第
4
只次 品在第五次被
发现的不同情形有多少种
?
例
6
：由数字
0
，
1
，
2
，
3
，
4< br>，
5
组成没有重复的
6
位
数，其中个位数字小于十位数字的共 有
A
、
210
个
B
、
30 0
个
C
、
464
个
D
、
600
个
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三、解排列组台混合问题——采用先选后排策略
例
7< br>：
4
个不同小球放入编号为
1
、
2
、
3、
4
的四个盒
子，则恰有一个空盒的放法有
___
种．
四、正难则反、等价转化策略
对某些排列组 合问题，当从正面入手情况复杂，不易
解决时，可考虑从反面入手，将其等价转化为一个较简单的
问题来处理．即采用先求总的排列数，再减去不符合要求的
排列数，
从而使问题获得解决的方 法．
其实它就是补集思想．
例
8
：马路上有编 号为
1
、
2
、
3
、
?
、
9
的
9
只路灯，为
节约用电，现要求把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相
邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关
灯
方法共有
_______
种．
例
9< br>：有
2
个
a
，
3
个
b
，
4
个
c
共九个字母排成一排，
有多少种排法
?
例
10
：
四面体的顶点和各棱中点共有
10
个点，
在其中
取
4
个不共面的点，不同的取法共有
A
．
150
种
B
．
147
种
C
．
1 4
种
D
．
141
种
例
11
：从
0
、
1
、
2
、
3
、< br>4
、
5
、
6
、
7
、
8
、< br>9
这
10
个数
中取出
3
个数，使和为不小于
10
的偶数，不同的取法有多
少种．
五、解相邻问题——采用“捆绑”策略
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对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的< br>元素“捆绑”起来看作一个元素与其他元素排列，然后再在
相邻元素之间排列．
事实上，这种方法就是将相邻的某几个元素，优先考
虑。让这些特殊元素合 成一个元素，与普通元素排列后，再
松绑．
例
12：
A
，
B
，
C
，
D
，
E五人并排站成一排，如
A
，
B
必
相邻，且
B
在
A
右边，那么不同排法有
A
．
24
种
B
．
60
种
C
．
90
种
D
．
120
种
例
13
：
5
人成一排，要求甲、乙相邻，有几种排法
?
例
14
：计划展出
10
幅不同的画，其中一幅水 彩画、
4
幅油画、
5
幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须
连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有
多少种
?
A
、
B
、
C
、
D
、
例
15
：
5
名学生和< br>3
名老师站成一排照相，
3
名老师必
须站在一起的不同排法共有
_____
种．
六、解不相邻问题——采用“插孔”策略
对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素
排列好，然后再将不相邻的元素在
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这些排好的元素之间及两端的空隙中插入．
例
16：
7
人站成一行，如果甲、乙两人不相邻，则不
同的排法种数是
A
．
1440
种
B
．
3600
种
C
．
4320
种
D
．
4800
种
例
17
：要排一个有
6
个歌唱节目和
4
个舞蹈节目的演
出节目单，任何两个舞蹈不相邻，问有多少种不同排法
?
分析：先将
6
个歌唱节目排成一排有
个“间隔”可以插入
4
个舞蹈节目有种排法，
6
个歌唱
节目 排好后包括两端共有
7·6！
＝
604800
种不同排法．
种，
故共
例
18
：从
1，
2
，
3
，
?
，
2000
这
2000
个自然数中，取
出
10
个互不相邻的自然数，有多少种方法
?
例
19
：一排
6
张椅子上坐
3人，每
2
人之间至少有一
张空椅子，求共有多少种不同的坐法
?
七、解定序问题——采用除法策略
对于某几 个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个
元素与其它元素一同进行排列，然后用总排列数除以这几个< br>元素的全排列数，这其实就是局部有序问题，利用除法来
“消序”．
例
20：
信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上
表示信号，现有
3
面红旗、< br>2
面白旗，把这
5
面旗都挂上去，
可表示不同信号的种数是
________
．
例
21
：有
4< br>个男生，
3
个女生，高矮互不相等，现将
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他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少
种排法
?
例
22
：不同的钢笔
12
支，分
3
堆，一堆
6
支，另外两
堆各
3
支，有多少种分法
?
解：若
3
堆有序号，则有
有
/
＝
9240
种．
·
，但考虑有两堆都是
3
支，无须区别，故共
八、解分
排问题—采用直排处理的策略
把
n个元素排成前后若干排的排列问题，若没有其他特
殊要求，可采取统一排成一排的方法来处理．
例
23
：两排座位，第一排
3
个座位，第 二排
5
个座位，
若
8
位学生坐。则不同的坐法种数是
A
、
B
、
C
、
D
、
九、解“小团体”排列问题——采用先整体后局部策
略
对于“小团体”排列问题，可先将“小团体”看作一
个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部 的排
列．
例
23
：三名男歌唱家和两名女歌唱 家联合举行一场音
乐会，演出的出场顺序要求两名女歌唱家之间恰有一名男歌
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唱家，其出场方案共有
A
．
36
种
B
．
18
种
C
．12
种
D
．
6
种
十、解较复杂的排列问题——采用构造型策略
对较复杂的排列问题，可通过构造一个相应的模型来
处理．
例
24
：某校准备组建一个
18
人的足球队，这
18
人 由
高一年级
10
个班的学生组成，每个班级至少
1
人，名额分
配方案共有
_________
种．
例
25
：
将组成篮球队的
12
个名额分给
7
所学校，
每所
学校至少
1
个名额，
问名额分配方法有多少种
?
例
26
：
6
人带
10
瓶汽水参加春游，每人至少带
1
瓶汽
水，有多少种 不同的带法
?
例
27
：对正方体的
8
个顶点作两
两 连线。其中异面直线的有对．
A
．
156B
．
174C
．
192D
．
210
强化练习：
1.
用
0
到
9
这 十个数字．可组成多少个没有重复数字
的四位偶数？
2
、三个女生和五个男生排成一排
如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
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如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
3
、排一张有
5
个歌唱节目和
4
个舞蹈节目的演出节目
单。
任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？
歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？
4
、某一天的课 程表要排入政治、语文、数学、物理、
体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排
数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法．
5
．
5
名男生、
2
名女生站成一排照像：
两名女生要在两端，有多少种不同的站法？
两名女生都不站在两端，有多少不同的站法？
两名女生要相邻，有多少种不同的站法？
两名女生不相邻，有多少种不同的站法？
排列组合
复习巩固
1.
分类计数原理
完成一件事，有
n
类办法，在第
1
类办法中有
m
种不同的方法，在第
2
类办法中有
m2
种不同的方
法，< br>?
，在第
n
类办法中
有
mn2.
分步计数原理
完成一件事，需要分成
n
个步骤，做第
1
步有
m
种不同的方法，做第
2
步有
m2
种不同的方法，
?
，做
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