加乘原理和排列组合
余年寄山水
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2021年01月26日 13:52
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孔乙己原文-
加乘原理和排列组合
排列与元素的顺序 有关，组合与顺序无关．如
231
与
213
是两个排列，
2
＋
3
＋
1
的和与
2
＋
1
＋
3的和是一个组合．
(
一
)
两个基本原理是排列和组合的基础
< br>(1)
加法
原理：做一件事，完成它可以有
n
类办法，在第一类办法中 有
m1
种不同的方法，在第二类
办法中有
m2
种不同的方法，
……
，在第
n
类办法中有
mn
种不同的方法，那么完成这件事共有
N
＝
m1
＋
m2
＋
m3
＋
…
＋
mn
种不同方法．
(2)
乘 法原理：
做一件事，
完成它需要分
成
n
个步骤，做第一步有
m1
种不同的方法，做第二步有
m2
种不同的方法，
……
，做第n
步有
mn
种不同的方法，
那么完成这件事共有
N
＝< br>m1×m2×m3×…×mn
种不同的方法．
这
里要注意区分两个原理，
要做一件事，完成它若是有
n
类办法，是分类问题，第一类 中的方
法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分
n
个步骤，步与步之间是连 续的，只有
将分成的若干个互相联系的步骤，
依次相继完成，
这件事才算完成，
因此用乘法原理．
这
样完成一件事的分
“
类
”
和
“
步
”
是有本质区别的，
因此也将两个原理 区分开来．
(
二
)
排列
和排列数
(1 )
排列：从
n
个不同元素中，任取
m(m≤n)
个元素，按照一定的 顺序排成一
列，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列．< br>
从排列的意义可知，如果两个
排列相同，
不仅这两个排 列的元素必须完全相同，
而且排列的顺序必须完全相同，
这就告诉
了我们如何判断两个 排列是否相同的方法．
(2)
排列数公式：从
n个不同元素中取出
m(m≤n)
个元素的所有排列
当
m
＝
n
时，为全排列
Pnn=n(n
－
1)( n
－
2)…3·2·1
＝
n
！
(
三
)
组合和组合数
(1)
组合：从
n
个不同元素中，任取
m(m≤n)
个元素并成一组，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个组合．
从组合的定义知，如果两个组合中的元素
完全相同，
不管元素的顺序如何，
都是相同的组合；
只有当两个组合中的元素不完全相同时，
才是不同的组合．
(2)
组合数：从
n
个不同元素中取出
m(m ≤n)
个元素的所有组合的个
这里要注意排列和组合的区别和 联系，
从
n
个不同元素中，
任取
m(m≤n)
个元素，“
按照一定
的顺序排成一列
”
与
“
不管怎样的顺序并成 一组
”
这是有本质区别的．
一、
排列组合部分
是中学数学中的难点之一，原因在于
(1)
从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数
学模型，需要较强的抽象思维能力 ；
(2)
限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的
关键性词
(
特别是逻辑关联词和量词
)
准确理解；
(3)
计算手段简单，与旧知识联系少，
但选择正确合理的计算方案时需要 的思维量较大；
(4)
计算方案是否正确，往往不可用
直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。
二、两个基本
计数原理及应用
(1)
加法原理和分类计数法
1
．加法原理
2
．加法原理的集合
形式
3
．分类的要求
每一类中的每一种方法都可以独立地 完成此任务；两类不同
办法中的具体方法，
互不相同
(
即分类不重
)
；
完成此任务的任何一种方法，
都属于某一类
(
即
分类不漏
)
(2)
乘法原理和分步计数法
1
．
乘法原理
2
．
合理分步的要求
任
何一步的一 种方法都不能完成此任务，
必须且只须连续完成这
n
步才能完成此任务；
各步 计
数相互独立；
只要有一步中所采取的方法不同，
则对应的完成此事的方法也不同
[
例题
分析
]
排列组合思维方法选讲
1
．首先明确任务的意义
例
1.
从
1
、
2
、
3
、
……
、
20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有
________
个 。
分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。
设
a,b,c
成等差，∴
2b=a+c,
可知
b
由
a,c
决定，
又∵
2b
是偶数，∴
a,c
同奇或同偶，即：分别从
1
，
3
，
5
，
……
，19
或
2
，
4
，
6
，
8
，< br>……
，
20
这十个数中选出两个数进行排列，
由此就可确定等差数列，
C
（
2,10
）
*2*P
（
2,2
），因 而本题为
180
。
例
2.
某城市 有
4
条东西街道和
6
条南北的街道，
街道之间的间距相同，
如图。
若规定只能向东或向北两个方
向沿图中路线前进，则从
M
到
N
有多少种不同的走法
?
分析：对实际背景的分析可以
逐层深入
（一）从
M
到
N
必须向上走三步，向右走五步，共走八步。
（二）每
一步是向上还是向右，决定了不同的走法。
（三）事实上，当把向上的步骤决定后，
剩下的步骤只能向右。
从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就
可以确定走法数，
∴
本题答案为：
=56
。
2
．注意加法原理与乘法原理的特点，
分析是分类还是分步，是排列还是组合
例
3
．在一块并排的
10
垄田地中，选择二垄 分
别种植
A
，
B
两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求
A
，
B
两种作物的间隔不
少于
6
垄，不同的选法共 有
______
种。
分析：条件中
“
要求
A
、
B
两种作物的间隔不少
于
6
垄
”
这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。
第一类：
A
在第一垄，
B
有
3
种选择；
第二类：
A
在第二垄，
B
有
2
种选择；
第
三类：
A
在第三垄，
B
有一种选择，
同理
A
、
B
位置互换
，共
12
种。
例
4
．从< br>6
双不同颜色的手套中任取
4
只，其中恰好有一双同色的取法有
___ _____
。
(A)240
(B)180 (C)120 (D)60
分析：显然本题应分步解决。
（一）从
6
双中选出一双同色
的手套，
有
6种方法；
（二）
从剩下的十只手套中任选一只，
有
10
种方法。
（三）
从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有
8
种方法；
（四）由于选取
与顺序无关，因（二）（ 三）中的选法重复一次，因而共
240
种。
例
5
．身高互不相
同的
6
个人排成
2
横行
3
纵列，
在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，
则所有
不同的排法种数为
_______
。
分析：
每一纵列中的两人 只要选定，
则他们只有一种站位
方法，
因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，
共有三纵列，
从而有
=90
种。
例
6
．在
11
名工人中，有
5
人只能当钳工，
4人只能当车工，另外
2
人能当钳工也能当车工。
现从
11
人中选 出
4
人当钳工，
4
人当车工，问共有多少种不同的选法
?
分析：采用加
法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前 后统一。
以两
个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。
第一类：
这两个人都去当钳工，
有
10
种；
第二类：
这两人有一个去当钳工，
有
100
种；
第
三类：这两人都不去当钳工，有
75
种。
因而共有
185
种。
例
7
．现有印着
0
，
l
，
3
，
5
，
7
，
9
的六张卡片，如果允许
9
可以作
6
用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个
不同的三位数
?
分析：有同学认为只要把
0
，
l
，
3
，
5
，
7
，
9
的排法数乘以
2
即为所求，
但实 际上抽出的三个数中有
9
的话才可能用
6
替换，因而必须分类。
抽出的三数含
0
，
含
9
，有
32
种方法；
抽出的三数含
0
不含
9
，有
24
种方法；
抽出的三数含
9
不
含
0
，有
72
种方法；
抽出的三数不含
9
也不含0
，有
24
种方法。
因此共有
32+24+72+24=152
种方法。
例
8
．
停车场划一排
12
个停车位置，
今有
8
辆车需要停放，
要求空车位连在一起，
不同的停车方法是
_______ _
种。
分析：
把空车位看成一个元素，
和< br>8
辆车共九个元素排列，因而共有
362880
种停车方法。
3
．特殊元素，优先处理；
特殊位置，优先考虑
例
9
．六人站成一排，求
(1)
甲不在排头，乙不在排尾的排列
数
(2)
甲不在排头，
乙不在排尾，
且甲乙不相邻的排法数
分析：
（
1
）
先考虑排头，
排尾，但这两个要求 相互有影响，因而考虑分类。
第一类：乙在排头，有
p(5,5)
种站
法。
第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有
4X4XP(4,4)
种站法，
共
p(5,5)+4X4XP(4,4)
种站法。
（
2
）
第一类：
甲在排尾，
乙在排头 ，
有
P(4,4)
种方法。
第
二类：甲在排尾，乙不在排头，有
3XP(4,4)
种方法。
第三类：乙在排头，甲不在排头，
有
4XP(4,4)
种方法。
第四类：
甲不在排尾，
乙不在排头，
有
P(3 ,3)XP(4,4)
种方法。
共
P(4,4)+3 XP(4,4)+4XP(4,4)+P(3,3)XP(4,4)=312
种。
例
10
．对某件产品的
6
件不同正品
和
4
件不同次品进行一一测试，
至区分出所有次品为止。
若所有次品恰好在第五次测试时 被
全部发现，
则这样的测试方法有多少种可能
?
分析 ：
本题意指第五次测试的产品一定是
次品，
并且是最后一个次品，因而第五次测试应算 是特殊位置了，
分步完成。
第一步：
第五次测试的有
C(4.1)
种可能；
第二步：前四次有一件正品有
C(6.1)
中可能。
第