cni-kjt_i排列组合和排列组合计算公
玛丽莲梦兔
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2021年01月26日 13:53
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本文由作者推荐
凉州词的诗意-
!
_
世界上有两种人，一种人，虚度年华；另一种人，过着 有意义的生
活。在第一种人的眼里，生活就是一场睡眠，如果在他看来，是睡在既温暖又柔和的
床铺上，
那他便
十分心满意足了；
在第二种人眼里，
可以说，生活就是建立功绩
……
人
就
在
完
成
这
个
功
绩
中
享
到
自
己
的
幸
福
。
－－
别林斯基
排列组合公式
/
排列组合计算公式
排列
P------
和顺序有关
组合
C -------
不牵涉到顺序的问题
排列分顺序
,
组合不分
例如
把
5本不同的书分给
3
个人
,
有几种分法
.
排列
把
5
本书分给
3
个人
,
有几种分法
组合
1
．排列及计算公式
从
n
个不同元素中，
任取
m(m≤n)
个元素按照一定的顺 序排成一
列，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列；从< br>n
个
不同元素中取出
m(m≤n)
个元素的所有排列的个数，
叫做从
n
个
不同元素中取出
m
个元素的排列数，用符号
p(n,m)
表示
.
p(n,m)=n(n-1)(n-
2)……(n
-m+1)= n!/(n-m)!(
规定
0!=1).
2
．组合及计算公式
从
n
个不同元 素中，任取
m(m≤n)
个元素并成一组，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个组合；从
n
个不同元素中取
出
m(m≤n)
个元素的所有组合的个数，
叫做从
n
个不同元素中取
出
m
个元素的组合数
.
用符号
c(n,m)
表示
.
c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n- m)!*m!)
；
c(n,m)=c(n,n-m);
3
．其他排列与组合公式
从
n
个元 素中取出
r
个元素的循环排列数＝
p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.
n
个元素被分成
k
类，每类的个数分别是
n1 ,n2,...nk
这
n
个元
素的全排列数为
n!/(n1!*n2!*...*nk!).
k
类元素,
每类的个数无限
,
从中取出
m
个元素的组合数为
c( m+k-1,m).
排列（
Pnm(n
为下标，
m
为上标
)
）
Pnm=n×
（
n-1
）
....
（
n-m+1
）；
Pnm=n
！
/
（
n-m
）！（注：！
是阶乘符号）；
Pnn
（两个
n
分别为上标和下标）< br>
=n
！；
0
！
=1
；
Pn1
（< br>n
为下标
1
为上标）
=n
组合（
Cnm(n
为下标，
m
为上标
)
）
Cnm=Pnm/Pmm
；
Cnm=n
！
/ m
！（
n-m
）！；
Cnn
（两个
n
分别为上标和 下标）
=1
；
Cn1
（
n
为下标
1< br>为上标）
=n
；
Cnm=Cnn-m
2008-07-08 13:30
公式
P
是指排列，从
N
个元素取
R
个进行排列。
公式
C
是指组合， 从
N
个元素取
R
个，不进行排列。
N-
元素的总个数
R
参与选择的元素个数
！
-
阶乘
，如
9
！＝
9*8*7*6*5*4*3*2*1
从
N
倒数
r
个，表达式应该为
n*
（
n-1)*(n-2)..(n-r+1);
因为从
n
到（
n-r+1)个数为
n
－（
n-r+1)
＝
r
举例：
Q1:
有从
1
到
9
共计
9
个号码 球，请问，
可以组成多少个三
位数？
A1: 123
和< br>213
是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求
的，既属于“排列
P ”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现< br>988,997
之类的组合，
我们可以这么看，百位数有
9
种可能，
十位数则应该有
9-1
种可能，
个位数则应该只有
9-1- 1
种可能，
最终共有
9*8*7
个三位数。计算公式＝
P
（
3
，
9)
＝
9*8*7,(
从
9
倒数3
个的乘积）
Q2:
有从
1
到
9< br>共计
9
个号码球，请问，如果三个一组，代
表“三国联盟”，可以组合成多少个 “三国联盟”？
A2: 213
组合和
312
组合，代表同一个组合，
只要有三个号
码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合
C ”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重
复的个数即为最终组合数
C(3,9)=9*8*7/3*2*1
排列、组合的概念和公式典型例题分析
例
1 < br>设有
3
名学生和
4
个课外小组．
（
1
）每名学生都只
参加一个课外小组；（
2
）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？
解（1
）由于每名学生都可以参加
4
个课外小组中的任何
一个，而不限制每个 课外小组的人数，因此共有
种不同方法．
（2
）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个
小组至多有一名学生参加，因此共有< br>
种不同方法．
点评
由于要 让
3
名学生逐个选择课外小组，
故两问都用
乘法原理进行计算．
例
2
排成一行，
其中
不排第一，
不排第二，
不排第三，
不
排第四的不同排法共有多少种？
解
依题意，符合要求的排法可分为第一个排
、
、
中的
某一个，共
3
类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式
逐一排出 ：
∴ 符合题意的不同排法共有
9
种．
点评
按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把
握不同排法的规律，
“树图”是一种 具有直观形象的有效做法，
也是解决计数问题的一种数学模型．
例３
判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出
结果．
（
1
）高三年级学生会有
11
人：①每两人互 通一封信，共
通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？
（
2
）高二年级数学课外小组共
10
人：①从中选一名正 组
长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选
2
名参加
省数学竞赛， 有多少种不同的选法？
（
3
）有
2
，
3
，
5
，
7
，
11
，
13< br>，
17
，
19
八个质数：①从中
任取两个数求它们的商可以有 多少种不同的商？②从中任取两
个求它的积，可以得到多少个不同的积？
（
4
）
有
8
盆花：
①从中选出
2
盆分别给甲乙两人每人一盆，
有多少种不同的选法？②从中选出
2
盆放在教 室有多少种不同
的选法？
分析
（
1
）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲
的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排 列；②由于每两人
互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序
无关，所以是组 合问题．其他类似分析．
（
1
）①是排列问题，共用了
封信；②是组合问题，共需握
手
（次）．
（
2
）①是排列问题，共有
（种）不同的选法；②是组合问
题，共有
种不同的选法．
（
3
）①是排列问题，共有
种不同的商；②是组合问题，共
有
种不同的积．
（
4
）①是排列问题，共有
种不同的选法；②是组合问题，
共有
种不同的选法．
例４
证明
．
证明
左式
右式．
∴ 等式成立．
点评
这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的
形式，并利用阶乘的性质
，可使变形过程得以简化．
例
5
化简
．
解法一
原式
解法二
原式
点评
解法一选用了组合数公式的阶乘形式，
并利用阶乘
的性质；解法二选用了组合数的两个 性质，都使变形过程得以
简化．
例
6
解方程：（
1
）
；（
2
）
．
解
（
1
）原方程
解得
．
（
2
）原方程可变为
∵ ，
，
∴ 原方程可化为
．
即
，解得
第六章
排列组合、二项式定理
一、考纲要求
1.
掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些
简单的问题
.
2.
理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和
组合数的性质，并能用 它们解决一些简单的问题
.
3.
掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计 算和论
证一些简单问题
.
二、知识结构