凉州词的诗意-

2021年1月26日发(作者：邱佳妮)
!


_
世界上有两种人，一种人，虚度年华；另一种人，过着 有意义的生
活。在第一种人的眼里，生活就是一场睡眠，如果在他看来，是睡在既温暖又柔和的
床铺上，
那他便

十分心满意足了；
在第二种人眼里，
可以说，生活就是建立功绩
……
人
就
在
完
成
这
个
功
绩
中
享
到
自
己
的
幸
福
。















－－
别林斯基


排列组合公式
/
排列组合计算公式

排列

P------
和顺序有关




组合

C -------
不牵涉到顺序的问题

排列分顺序
,
组合不分

例如

把
5本不同的书分给
3
个人
,
有几种分法
.



排列



把
5
本书分给
3
个人
,
有几种分法


组合


1
．排列及计算公式



从
n
个不同元素中，
任取
m(m≤n)
个元素按照一定的顺 序排成一
列，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列；从< br>n
个
不同元素中取出
m(m≤n)
个元素的所有排列的个数，
叫做从
n
个
不同元素中取出
m
个元素的排列数，用符号

p(n,m)
表示
.


p(n,m)=n(n-1)(n-
2)……(n
-m+1)= n!/(n-m)!(
规定
0!=1).


2
．组合及计算公式



从
n
个不同元 素中，任取
m(m≤n)
个元素并成一组，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个组合；从
n
个不同元素中取
出
m(m≤n)
个元素的所有组合的个数，
叫做从
n
个不同元素中取
出
m
个元素的组合数
.
用符号



c(n,m)
表示
.


c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n- m)!*m!)
；
c(n,m)=c(n,n-m);


3
．其他排列与组合公式



从
n
个元 素中取出
r
个元素的循环排列数＝
p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.


n
个元素被分成
k
类，每类的个数分别是
n1 ,n2,...nk
这
n
个元
素的全排列数为



n!/(n1!*n2!*...*nk!).


k
类元素,
每类的个数无限
,
从中取出
m
个元素的组合数为
c( m+k-1,m).

排列（
Pnm(n
为下标，
m
为上标
)
）



Pnm=n×
（
n-1
）
....
（
n-m+1
）；
Pnm=n
！
/
（
n-m
）！（注：！
是阶乘符号）；
Pnn
（两个
n
分别为上标和下标）< br>
=n
！；
0
！
=1
；
Pn1
（< br>n
为下标
1
为上标）
=n


组合（
Cnm(n
为下标，
m
为上标
)
）



Cnm=Pnm/Pmm
；
Cnm=n
！
/ m
！（
n-m
）！；
Cnn
（两个
n
分别为上标和 下标）

=1
；
Cn1
（
n
为下标
1< br>为上标）
=n
；
Cnm=Cnn-m


2008-07-08 13:30

公式
P
是指排列，从
N
个元素取
R
个进行排列。

公式
C
是指组合， 从
N
个元素取
R
个，不进行排列。

N-
元素的总个数

R
参与选择的元素个数

！
-
阶乘

，如
9
！＝
9*8*7*6*5*4*3*2*1
从
N
倒数
r
个，表达式应该为
n*
（
n-1)*(n-2)..(n-r+1);

因为从
n
到（
n-r+1)个数为
n
－（
n-r+1)
＝
r
举例：

Q1:
有从
1
到
9
共计
9
个号码 球，请问，
可以组成多少个三
位数？

A1: 123
和< br>213
是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求
的，既属于“排列
P ”计算范畴。


上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现< br>988,997
之类的组合，

我们可以这么看，百位数有
9
种可能，
十位数则应该有
9-1
种可能，
个位数则应该只有
9-1- 1
种可能，
最终共有
9*8*7
个三位数。计算公式＝
P
（
3
，
9)
＝
9*8*7,(
从
9
倒数3
个的乘积）

Q2:
有从
1
到
9< br>共计
9
个号码球，请问，如果三个一组，代
表“三国联盟”，可以组合成多少个 “三国联盟”？

A2: 213
组合和
312
组合，代表同一个组合，
只要有三个号
码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合
C ”计算范畴。


上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重
复的个数即为最终组合数
C(3,9)=9*8*7/3*2*1
排列、组合的概念和公式典型例题分析



例
1 < br>设有
3
名学生和
4
个课外小组．
（
1
）每名学生都只
参加一个课外小组；（
2
）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？


解（1
）由于每名学生都可以参加
4
个课外小组中的任何
一个，而不限制每个 课外小组的人数，因此共有

种不同方法．


（2
）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个
小组至多有一名学生参加，因此共有< br>
种不同方法．



点评

由于要 让
3
名学生逐个选择课外小组，
故两问都用
乘法原理进行计算．


例
2
排成一行，
其中

不排第一，

不排第二，

不排第三，

不
排第四的不同排法共有多少种？



解

依题意，符合要求的排法可分为第一个排

、

、

中的
某一个，共
3
类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式
逐一排出 ：





∴ 符合题意的不同排法共有
9
种．



点评

按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把
握不同排法的规律，
“树图”是一种 具有直观形象的有效做法，
也是解决计数问题的一种数学模型．



例３

判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出
结果．



（
1
）高三年级学生会有
11
人：①每两人互 通一封信，共
通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？



（
2
）高二年级数学课外小组共
10
人：①从中选一名正 组
长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选
2
名参加
省数学竞赛， 有多少种不同的选法？



（
3
）有
2
，
3
，
5
，
7
，
11
，
13< br>，
17
，
19
八个质数：①从中
任取两个数求它们的商可以有 多少种不同的商？②从中任取两
个求它的积，可以得到多少个不同的积？



（
4
）
有
8
盆花：
①从中选出
2
盆分别给甲乙两人每人一盆，
有多少种不同的选法？②从中选出
2
盆放在教 室有多少种不同
的选法？



分析

（
1
）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲
的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排 列；②由于每两人
互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序
无关，所以是组 合问题．其他类似分析．



（
1
）①是排列问题，共用了

封信；②是组合问题，共需握
手

（次）．



（
2
）①是排列问题，共有

（种）不同的选法；②是组合问
题，共有

种不同的选法．



（
3
）①是排列问题，共有

种不同的商；②是组合问题，共
有

种不同的积．



（
4
）①是排列问题，共有

种不同的选法；②是组合问题，
共有

种不同的选法．



例４

证明

．



证明


左式















右式．






∴ 等式成立．



点评

这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的
形式，并利用阶乘的性质

，可使变形过程得以简化．



例
5
化简

．



解法一

原式



















解法二

原式




点评

解法一选用了组合数公式的阶乘形式，
并利用阶乘
的性质；解法二选用了组合数的两个 性质，都使变形过程得以
简化．



例
6
解方程：（
1
）

；（
2
）

．



解

（
1
）原方程


















解得

．




















（
2
）原方程可变为






∵ ，

，






∴ 原方程可化为

．






即

，解得


第六章

排列组合、二项式定理

一、考纲要求

1.
掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些
简单的问题
.
2.
理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和
组合数的性质，并能用 它们解决一些简单的问题
.
3.
掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计 算和论
证一些简单问题
.
二、知识结构

凉州词的诗意-

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