我愿意是急流-

2021年1月26日发(作者：因为是第一次)
第
2
讲

排列与组合

最新考纲

1.
理解排列、组合的概念；
2.
能利用计数原理推导排列数公式、组合
数 公式；
3.
能解决简单的实际问题
.

知

识

梳

理

1.
排列与组合的概念

名称

排列

组合

从
n
个不同元素中取出
m
(
m≤
n
)
个不同元素

定义

按照一定的顺序排成一列

合成一组

2.
排列数与组合数

(1)
从
n
个不同元素中取 出
m
(
m
≤
n
)
个元素的所有不同排列的个数，< br>叫做从
n
个不
同元素中取出
m
个元素的排列数
. < br>(2)
从
n
个不同元素中取出
m
(
m
≤n
)
个元素的所有不同组合的个数，
叫做从
n
个不
同元 素中取出
m
个元素的组合数
.
3.
排列数、组合数的公式及性质

(1)A
m
n
＝
n
(
n
－
1)(
n
－
2)
…< br>(
n
－
m
＋
1)
＝
公式

n
！

（
n
－
m
）！
m
n
（
n
－
1
）（
n
－
2
）…（< br>n
－
m
＋
1
）
m
A
n
(2 )C
n
＝
A
m
＝

m
！
m
n
！
＝
(
n
，
m
∈
N
*
，且
m
≤
n
).
特别地
C
0
n
＝
1
m
！（
n
－
m
）！
性质

(1)0
！＝
1
；
A
n
n
＝
n< br>！

n
－
m
m
m
m
－
1< br>(2)C
m
n
＝
C
n
；
C
n
＋
1
＝
C
n
＋
C
n

诊

断

自

测

1.
判断正误
(
在括号内打“√”或“×”
)
(1)
所有元素完全相同的两个排列为相同排列
.(


)
(2)
两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同
.(


)
m
(3)
若组合式
C
x
n
＝
C
n
，则
x
＝
m
成立
.(


)
k
－
1
(4)
k
C
k
n＝
n
C
n
－
1
.(


)
m
解析

元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故
(1)
不正确；若
C
x
n
＝
C
n
，则
x
＝
m
或
n
－
m
，故
(3)
不正确
.
答案

(1)
×

(2)
√

(3)
×

(4)
√

2.
从
4
本不同的课外读物中，买
3
本送给
3
名同学，每人各
1本，则不同的送法
种数是
(


)
A.12


B.24


C.64


D.81
解析

4
本不同的课外读物选
3
本分给
3
位同学，每人一本，则不同的分配方法
3
为
A
4
＝
24.
答案

B
3.(
选修
2
－< br>3P28A17
改编
)
从
4
名男同学和
3
名 女同学中选出
3
名参加某项活动，
则男女生都有的选法种数是
(


)
A.18


B.24


C.30


D.36
1
解析

法一

选出的
3
人中有
2
名男同学
1名女同学的方法有
C
2
4
C
3
＝
18
种，选
2
出的
3
人中有
1
名男同学
2
名女 同学的方法有
C
1
4
C
3
＝
12
种，故< br>3
名学生中男女
1
1
2
生都有的选法有
C
2
4
C
3
＋
C
4
C
3
＝
3 0
种
.

法二

从
7
名同学中任选
3
名的方法数，
再除去所选
3
名同学全是男生或全是女
3
3
生的方法数，即
C
3
7
－
C
4
－
C
3
＝
30.
答案

C
4.(2017·< br>浙江三市十二校联考
)
用
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
这六个数字组成没有重复数
字的六 位数共有
________
个；
其中
1
，
3
，5
三个数字互不相邻的六位数有
________
个
.
6
解析

用
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
组成没有重复数字六位数共有
A6
＝
720
个；将
1
，
3
，
3
3
5
三个数字插入到
2
，
4
，
6
三个数 字排列后所形成的
4
个空中的
3
个，
故有
A
3A
4
＝
144
个
.
答案

720

144
5.
用数字
1
，
2，
3
，
4
，
5
组成的无重复数字的四位偶数的个数为< br>________(
用数字
作答
).
1
1
3
解析

末位数字排法有
A
2
，其他位置排法有
A
3
4
种，共有
A
2
A
4
＝
48
种
.
答案

48
6.(2 017·
绍兴调研
)
某市委从组织机关
10
名科员中选
3< br>人担任驻村第一书记，则
甲、乙至少有
1
人入选，而丙没有入选的不同选法的种 数为
________(
用数字作
答
).
1
2
解析

法一

(
直接法
)< br>甲、乙两人均入选，有
C
7
C
2
种
.
2
甲、乙两人只有
1
人入选，有
C
1
2
C7
种方法，

1
1
2
∴由分类加法计数原理，共有C
2
2
C
7
＋
C
2
C
7＝
49(
种
)
选法
.

3
法二

(
间接法
)
从
9
人中选
3
人有
C
9
种方法
.

其中甲、乙均不入选有
C
3
7
种方法，

3
∴满足条件的选排方法是
C
3
9
－
C
7
＝
84
－
35
＝
49(
种
).

答案

49

考点一

排列问题

【例
1
】

(2017·
河南校级月考
)3
名女生和
5
名男生排成一排
.
(1)
如果女生全排在一起，有多少种不同排法？

(2)
如果女生都不相邻，有多少种排法？

(3)
如果女生不站两端，有多少种排法？

(4)
其中甲必须排在 乙前面
(
可不邻
)
，有多少种排法？

(5)
其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？

解
< br>(1)(
捆绑法
)
由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生 合
6
在一起有
6
个元素，排成一排有
A
6
种排法， 而其中每一种排法中，三个女生间
3
3
又有
A
3
种排法，因 此共有
A
6
6
·
A
3
＝
4 320(
种
)
不同排法
.
5
(2)(
插空法)
先排
5
个男生，有
A
5
种排法，这
5
个男生之间和两端有
6
个位置，
3
3
从中选取
3
个位置排女生，
有
A
6
种排法，
因此共有
A
5A
6
＝
14 400(
种
)
不同排法
.
5
·
2
(3)
法一

(
位置分析法
)

因为两端不排女生，
只能从
5< br>个男生中选
2
人，
有
A
5
种
6
6< br>排法，剩余的位置没有特殊要求，有
A
6
种排法，因此共有
A
2
5
·
A
6
＝
14
400(
种
)
不同排法
.
法二

(
元素分析法
)

从中间
6
个位置选
3< br>个安排女生，
有
A
3
其余位置
6
种排法，
5
5
无限制，有
A
5
种排法，因此共有
A
3
6
·
A
5
＝
14 400(
种
)
不同排法
.
1
(4)8
名学生的所 有排列共
A
8
种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中
8
2，∴
1
8
符合要求的排法种数为
2
A
8
＝20 160(
种
).
(5)
甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置
.
法一

(
特殊元素法
)
甲在最右边时，其他的可全排，有
A
7
7
种；

1
甲不在最右边时，可从余下
6
个位置中任选一个， 有
A
6
种；

1
而乙可排在除去最右边位置后剩余的
6
个中的任一个上，有
A
6
种；

6
1
6
其余人
6
个人进行全排列，有
A
6
种
.
共有
A
1
6
·
A
6
·
A
6
种
.
7
1
6
由分类加法计数原理，共有
A
7< br>＋
A
1
6
·
A
6
·
A
6< br>＝
30 960(
种
).
法二

(
特殊位 置法
)
先排最左边，除去甲外，有
A
1
7
种，余下
7
个位置全排，有
7
6
1
7
1
6
A
7
种，但应剔除乙在最右边时的排法
A
1
6
·
A
6
种，因此共有
A
7
·
A
7
－
A
6
·
A
6
＝
30
960(
种
).
法三

(
间接法
)8
个人全排，共
A
8< br>8
种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有
7
A
7
种，乙在 最右边时，有
A
7
7
种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的
6
7
6
情形，有
A
6
种
.
因此共有A
8
8
－
2A
7
＋
A
6
＝< br>30 960(
种
).
规律方法

(1)
对于有限 制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分
析法，
在实际进行排列时一般采用特殊元 素优先原则，
即先安排有限制条件的元
素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间 接法
.

(2)
对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采 用倍缩法是解
决有限制条件的排列问题的常用方法
.
【训练
1
】

(1)(2017·
新余二模
)7< br>人站成两排队列，前排
3
人，后排
4
人，现将
甲、
乙 、
丙三人加入队列，
前排加一人，
后排加两人，
其他人保持相对位置不变，< br>则不同的加入方法种数为
(


)
A.120


B.240


C.360


D.480
(2)(2017·
抚顺模拟
)
某班准备从甲、乙等七 人中选派四人发言，要求甲乙两人至
少有一人参加，那么不同的发言顺序有
(


)
A.30


B.600


C.720


D.840
解析

(1)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有
3
种，第二步，前排
3
人 形成了
4
个空，
任选一个空加一人，
有
4
种，
第三 步，
后排
4
人形成了
5
个空，
任选一个空加一人有
5
种，此时形成
6
个空，任选一个空加一人，有
6
种，根据
分步计数原理有
3
×
4
×
5
×
6
＝
360
种方法
.

1
3
4
(2)
若只有 甲乙其中一人参加，有
C
2
C
5
A
4
＝
4 80
种方法；若甲乙两人都参加，有
2
4
C
2
2
C
5
A
4
＝
240
种方法，则共有
480
＋
240
＝
720
种方法，故选
C.
答案

(1)C

(2)C
考点二

组合问题

【例
2
】

某市工商局对
35
种商品进行抽样检查 ，已知其中有
15
种假货
.
现从
35
种商品中选取
3
种
.
(1)
其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？

(2)
其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？

(3)
恰有
2
种假货在内，不同的取法有多少种？

(4)
至少有
2
种假货在内，不同的取法有多少种？

(5)
至多有
2
种假货在内，不同的取法有多少种？

2
解

(1)
从余下的
34
种商品中，
选 取
2
种有
C
34
＝
561
种，
∴某一种假 货必须在内
的不同取法有
561
种
.
3
2
3(2)
从
34
种可选商品中，选取
3
种，有
C
34
种或者
C
3
35
－
C
34
＝
C
34
＝
5 984
种
.
∴某一种假货不能在内的不同取法有
5 984
种
.
1
2
(3)
从
20
种真货中选取
1
件，从
15
种假货中选取
2
件有
C
20
C
15
＝
2 100
种
.
∴恰有
2
种假货在内的不同的取法有
2 100
种
.
1
1
3
(4)
选取
2
种假货有
C
20
C
2
选取
3
件假货有
C
3
共有选取方式
C
20
C
2
15
种，15
种，
15
＋
C
15
＝
2 100
＋
455
＝
2 555
种
.
∴至少有
2
种假货在内的不同的取法有
2 555
种
. < br>3
(5)
选取
3
件的总数为
C
35
，因此共 有选取方式

3
C
3
35
－
C
15
＝
6 545
－
455
＝
6 090
种
.
∴至多有
2
种假货在内的不同的取法有
6 090
种
.
规律方法

组合问题常有以下两类题型变化：

(1)
“< br>含有
”
或
“
不含有
”
某些元素的组合题型；
“
含
”
，则先将这些元素取出，
再由另外元素补足；
“
不含
”
，
则先将这些元素剔除，
再从剩下的元素中去选取
.
< br>(2)
“
至少
”
或
“
至多
”
含有几 个元素的组合题型：解这类题必须十分重视
“
至
少
”
与
“< br>至多
”
这两个关键词的含义，谨防重复与漏解
.
用直接法和间接法都可
以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理
.
【训练
2
】

(1)(2017·
邯郸一模
)现有
6
个不同的白球，
4
个不同的黑球，任取
4
个球， 则至少有两个黑球的取法种数是
(


)
A.90


B.115


C.210


D.385
(2)(2017·
湖州市质检
)
若从
1，
2
，
3
，…，
9
这
9
个整数中同时 取
4
个不同的数，
其和为偶数，则不同的取法共有
(


)
A.60
种



B.63
种



C.65
种



D.66
种

2
2
3
1
解析

(1)
分三类，取
2
个黑球有
C
4
C
6
＝
90
种，取3
个黑球有
C
4
C
6
＝
24
种，取< br>4
个黑球有
C
4
4
＝
1
种，故共有
90
＋
24
＋
1
＝
115
种取法，选
B.

(2)
共有
4
个不同的偶数和
5
个不同的奇数， 要使和为偶数，则
4
个数全为奇数，
4
2
2
或全为偶数，< br>或
2
个奇数和
2
个偶数，
∴共有不同的取法有
C4
5
＋
C
4
＋
C
5
C
4＝
66(
种
).
答案

(1)B

(2)D
考点三

排列、组合的综合应用

【例
3
】

4
个不同的球，
4
个不同的盒子，把球全部放入盒内
.
(1)
恰有
1
个盒不放球，共有几种放法？

(2)
恰有
1
个盒内有
2
个球，共有几种放法？

(3)
恰有
2
个盒不放球，共有几种放法？

解

(1)
为保证“恰有
1
个盒不放球”，先从
4
个盒子中任意 取出去一个，问题
转化为“
4
个球，
3
个盒子，每个盒子都要放入球 ，共有几种放法？”即把
4
个
球分成
2
，
1
，1
的三组，然后再从
3
个盒子中选
1
个放
2
个 球，其余
2
个球放在
2
1
2
另外
2
个盒子 内，由分步乘法计数原理，共有
C
1
4
C
4
C
3< br>×
A
2
＝
144(
种
).
(2)
“恰有
1
个盒内有
2
个球”，即另外
3
个盒子放
2
个球，每个盒子至多放
1
个球，也即另外
3
个盒子中恰有一个空盒， 因此，
“恰有
1
个盒内有
2
个球”与
“恰有
1个盒不放球”是同一件事，所以共有
144
种放法
.
2
(3)
确定
2
个空盒有
C
4
种方法
.
1
2
4
个球放进
2
个盒子可分成
(3
，
1)
、
(2
，
2)
两类，
第一类有序不均匀分组有
C
3
4
C
1
A
2
2
2
2
C
2
4
C
2
2
2
3
1
2
C
4
C
2
种方法；第二类有序均匀分组有
A
2
·
A< br>2
种方法
.
故共有
C
4
(C
4
C< br>1
A
2
＋
A
2
·
A
2
2< br>)
2
2
＝
84(
种
).
规律方法

(1)
解排列组合问题常以元素
(
或位置
)
为主体，即先满 足特殊元素
(
或
位置
)
，再考虑其他元素
(
或位置
).
对于排列组合的综合题目，一般是将符合要求
的元素取出或进行分组，再对取出的 元素或分好的组进行排列
.
(2)
不同元素的分配问题，往往是先分组再分配
.
在分组时，通常有三种类型：
①
不均匀分组；
②
均匀分组；③
部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方
法的差异
.
其次对于 相同元素的
“
分配
”
问题，常用的方法是采用
“
隔板法”
.

【训练
3
】

(1)
某校高二 年级共有
6
个班级，现从外地转入
4
名学生，要安排到
该年级的两个 班级且每班安排
2
名，则不同的安排方案种数为
(


)
2
2
A.A
6
C
4



2
C.A
2
6
A
4





1
2
B.
2
A
2
6
C
4

2
D.2A
6

(2)
在
8
张奖券中有一 、二、三等奖各
1
张，其余
5
张无奖
.
将这
8张奖券分配给
4
个人，每人
2
张，不同的获奖情况有
_____ ___
种
(
用数字作答
).
1
2
解析

(1)
法一

将
4
人平均分成两组有
2
C
4
种方法，将此两组分配到
6
个班级中
2
的
2个班有
A
6
(
种
).

1
2
所以不同的安排方法有
2
C
2
4
A
6
(
种
).

2
2
法二

先从
6
个班级 中选
2
个班级有
C
2
6
种不同方法，然后安排学生有
C
4
C
2
种，
2
2
1
2
2故有
C
2
C
6
4
C
2
＝
A< br>6
C
4
(
种
).

2
(2)
把
8
张奖券分
4
组有两种分法，
一种是分
(
一等 奖，
无奖
)
、
(
二等奖，
无奖
)
、
(
三
等奖，无奖
)
、
(
无奖，无奖
)
四 组，分给
4
人有
A
4
4
种分法；另一种是一组两个奖，2
2
一组只有一个奖，另两组无奖，共有
C
2
3
种分法 ，再分给
4
人有
C
3
A
4
种分法，所
4< br>2
2
以不同获奖情况种数为
A
4
＋
C
3A
4
＝
24
＋
36
＝
60.
答案

(1)B

(2)60

[
思想方法
]
1.
对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑

(1)
以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素
.
(2)
以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置
.
(3 )
先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组
合数
.
2.
排列、组合问题的求解方法与技巧

(1)
特殊元素优先安排；
(2)
合理分类与准确分步；
(3)
排列、组合混合问题先选后
排；
(4)
相邻问题捆绑处理；
(5)
不相邻问题插空处理；
(6)定序问题排除法处理；
(7)
分排问题直排处理；
(8)
“小集团”排列 问题先整体后局部；
(9)
构造模型；
(10)

我愿意是急流-

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