组合数学卢开澄答案
绝世美人儿
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2021年01月26日 14:13
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组合数学卢开澄答案
【篇一：组合数学
-
卢开澄
-
习题答案】
第一章答案
1
．
(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} )
(b) 45?5+(4+3+2+1) = 235
( 1?2?6, 2?3?7, 3?4?8, …,45?46?50, 46?47?50, 47?48?50,
48?49?50, 49?50 ) 2
．
(a) 5!8!(b) 7! p(8,5) (c) 2 p(5,3) 8! 3. (a)
n!p(n+1, m)(b) n!(m+1)! (c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 p(24,5) 20!
5.
因首数字可分别为偶数或奇数，知结果为
2?5?p(8,2)+3?4?p(8,2). 6. (n+1)!-1
7.
用数学归纳法易证。
8.
两数的公共部分为
240530,
故全部公因数均形如
2m5n,
个数为
41?31. 9.
设有素数因子分解
n=p1n11p2 n22…pk nkk,
则
n2
的除
数个数为
( 2n1+1) (2n2+1) …(2nk+1).
10
．
1
）用数学归纳法 可证
n
能表示成题中表达式的形式；
2
）如果某
n可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以
2
取
余数，可以确定
a1
；再对等式两端的商除以
3
取余数，又可得
a2
；
对等式两 端的商除以
4
取余数，又可得
a3
；
…
；这说明表达式是唯
一的。
11
．易用
c(m,n)=m!/(n!(m-n)!)< br>验证等式成立。组合意义：
右：从
n
个不同元素中任取< br>r+1
个出来，再从这
r+1
个中取一个的
全体组合的个数；
左：上述组合中，先从
n
个不同元素中任取
1
个出来，每 一个相同
的组合要生复
c(n-1,r)
次。
12
．考虑
?cx?(1?x),
求导数后有
?kcnkxk?1?n(1?x)n?1,
kn
k
n
k?0
k?0
n
n
令
x=1,
即知
?kcnk?n2n?1.
k?0
n
13.
设此
n
个不同的数由小到大排列后为
a1, a2, …, an
。当第二组
最大数
为
ak
时，第二组共有2k-1
种不同的可能，第一组有
2n-k-1
种不同
的可能。故符合要 求的不同分组共有
?2k?1(2n?k?1)?(n?2)2n?1?1
种。
k?1n?1
（另解：设两组共含
k
个数
( k=2,3,…,n)
，则分组数为
?2?k?nc(n,k) (k-1) = n 2n-1- 2n +1 .
）
14. 3?2?2.
15.
用
k
表示数的位数，用
i
表示
k
位数中零 的个数，则
0
出现的次
数
为
??9 c
k?2i?1
6k?1
i
k?1
9
k?1?i
i
i???9k?ii ck?1
k?2i?1
6k?1
?9?(92?2?9?2)?(93?1?3?92?2?3?9?3?1)? (94?1?4?93?2?6?92
?3?4?9?4?1)??(95?1?5?94?2?10? 93?3?10?92?4?5?9?5?1) ?9
5?5?94?24?93?45?92?40?9?15.
16. c(n-1, r-1) (
每盒中先放一个，再
r
中取
n-r(
可重复
)) 17.
易用
p(m,n)=m!/(m-n)!
验证等式成立。
18.
5!
c(8-3+1,3)
（先将球作全排列，再作
8
中选
3
的不相邻组合）
19.
在
n+m
位中选出
n
位不相邻的位放入
1
，其余位放入
0
。故符号
串个数为
n
c(nn?m)?n?1?cm?1.
20.
代表团中含乙单位男同志的个数只可能是
1,2,3,
故组团的方案总
数为
c(15,1)c(10,2)c(10,4)+c (15,2)c(10,1)c(10,3)4+c(15,3)c(10,2)c(4,2)
21.
设
ai
?1,
第
i
次为白球
，则
??
?0,
第
i
次为黑球
p(a6?1|?ai?3)?
1
6
p(a6?1
且
?ai?3)
1
6
p(?ai?3)
1
6
2
a?c51??. 3
2a?c6
22. (a) c(3+2,3)c(5+3,5) (b) c(3+2,3)c(4+3,4)
(c) c(3+2,3)c(3+1,3)c(2+4,2)(d) c(8+5,5)- c(3+2,3)c(4+3,4) 23
．
z
取
k+1
时，
x,y
共有
k2
种取法，故第一个式子成立
, k=1,2,…,n
。
2
另外，
(x,y ,z)
中
x
与
y
相同的取法有
cn
种，
x ,y,z
互不相同的取法
有
?1
32cn?1
种，故第二个式子成立。
24
．
(a)
只需确定长方形的左下角和右上角坐标即可。
在
0-9
中任选两不同数，小的作为左下角
x
坐标，大的作为右上角x
2
坐标，共有
c10
种选法；在
0-5
中任选两不同数，小的作为左下
角
y
坐标，
22
大的作为右上角y
坐标，共有
c62
种选法。故共有
c10
个长方形。
c6
(b)
只需确定正方形的边长和左下角坐标即可。
边长
k
的取值范围为
1…5
。边长为
k
时，正方形左下 角
x
坐标可取
0…9
-k
，
y
坐标可取
0…5
-k
，共有
(10-k)(6-k)
种选法。故正方形的个< br>数为
?(10?k)(6?k)?105.
k?1
5
22
25
．
(a) c15?c5?1
33
(b) c15 ?c5
26
．
s
中被
5
整除的数有
200
个，不能被整除 的有
800
个。
分两种情况：
(1)a,b
中 一个被
5
整除，另一个不能被
5
整除，共有
200?800
种取法；
(2)a,b
均能被
5
整除，共有
200?200
种取法。所
以，符合要求的数偶个数为
200?800+200?200=200?1000=200000.
27. (a) 5!6!(b) 5!6! (c) p(6,2) 8! 28
．假设每张桌坐
n
人
,
则方案数
为
nnnnnnn
cknqnc(nk?)nqnc(k?2)nqn...cnqn?
(kn)!
. nk
29. p(n,r)/r.
31
．因为
(n?r)!?1?c
，根据组合意义它是一个整数。
n!
r!
32
．根据要求，
x,y
的排列 必须是
xyxyx.
将其作为一个整体与
a,b,c,d,e,f
一起作排列 ，共有符合要求的排列
7
！种。
33.
每个盒中先放入
k
个球，然后作允许有重复的组合。共有
c(n+(r-nk)-1, r-nk)
种方案。
34
．如要求
x,z
间只能有一个字符
y,
则共有
2?7
！个排列
;
如
x,z
间
除
y
外可有其它字符
,
则共 有
c(9,3)?2?6
！个排列
(
先在
9
个位置中
选
3
个放入
xyz
或
zyx,
然后在其它空位放入其它字符
).
435
．由于任意四个不同顶 点恰好对应一个对角线的交点，故交点共
有
c10
个。
36
．若
m= n2
，设
n
的素因数分解为
n=p1n1p2 n2…pk nk,
则
m
的除数个数为
( 2p1+1) (
2p2+1) …(2pk+1),
这是一个奇数。反之，
若
m
的除数个数是奇数，则它的 素因数分解必为
m=q12m1q2
2m2…qk 2mk
，从而
m=n2
，其中
n= q1m1q2 m2…qk mk
。
37.
右为原点到
(m, n+r+1-m)
的路径数，左边分别为原点分别经线
段
aibi
的路径数之和，其中点
ai< br>的坐标为
(i, n-m),
点
bi
的坐标为
(i,
n-
m+1), i =0,1,2,….,m.
38:
可看 成
“
从
a1,a2,…,an+1
中选
r+1
个不同元素作 为一组，共有
多少种选法
”
的问题。
左端：
c(n, r):
此组含
an+1
，还要在
a1,a2,…,an
中选
r
个
;
c(n-1, r):
此组不含
an+1
，但含
an
，还要在
a1,a2,…,an
-1< br>中选
r-1
个
; c(n-2, r):
此组不含
an+1 ,an
，但含
an
－
1
，还要在
a1,a2,…,an-
2
中选
r-2
个
; …………….
39
．考虑以下组合问题：用红、蓝、黄三种颜色给
m
个不同的球上
色，要求涂黄 色球为
m-n
个，其余的球可随意涂红蓝色。
从中随意选定
n
个球用于涂红色或蓝色，其余球涂黄色，因此方案
n
总数为
cm?2n
。
另一方面，对于任意
k (0?k?n)
，由于恰好有
k
个球涂红色且符合要
kn?k
求的方案有
cmcm?k
个，故全部方案按红色球个数分组后有
kn?k
2c??cmcm?k.n
n
m
k?0n
【篇二：组合数学
+
卢开澄版
++
答案第四章】
x
是群
g
的一个元素，存在一最小的正整数
m
，使
xm=e
，则称
m
为
x
m
n
m?n
m
,
等式右边
x x
＝
x
nmm?n
，
?ab?ba
，即所有
的阶，试证：
c=
｛
e,x,x2, …,xm
-1
｝
证：
x
是
g
的元素，
g
满足封闭性所 以，
xk
是
g
中的元素
c
∈
g
再证
c
是群：
xa
∈
c, (xa)-1= xb=xm-a
4.3
设
g
是阶为
n
的有限群，则
g
的所有元素的阶都不超过
n.
证明：设
g
是阶为
n
的有限群，
a
是
g
中的任意元素，
a
的阶素为
k
，
则此题要证
k?n
首先考察下列
n+1
个元素
a,a,a,a,..a..
234n?1
由群的运算的 封闭性可知，这
n+1
个元素都属于
g,
，而
g
中仅有n
个元素，所
以由鸽巢原理可知，这
n+1
个元 素中至少有两个元素是相同的，不
妨设为
a
i
i
?
a
i
i?j
（
1?j?n
）
j
a
?
a?a
j
j
由群的性质
3
可知，
a
是单位元 ，即
a=e
，又由元素的阶数的定义
可知，当
a
为
k
阶元素时
a=e
，且
k
是满足上诉等式的最小正整数，
由此可证< br>k?j?n
k
4.4
若
g
是阶为< br>n
的循环群，求群
g
的母元素的数目，即
g
的元素
可 表示
a
的幂：
a,a2……..an
所以群
g
中母元素的数目为
n(1-
1/p1)………(1
-1 /pk)
个
. 4.5
证明循环群的子群也是循环群
证明：设
h
是
g=a
的子群，若
h=e,
显然
h
是循环群，否则取
h
中
最小的正方幂元
am
，下面证明
am
是
h
的生成元
,
易见
am?h< br>，只要
证明
h
中的任何元素都可以表成
am
的整数次方，由除 法可知存在
q
和
r,
使得
l=qm+r,
其中
0? r?m-1,
因此有
ar=al?qm
，因为
am
是
h中
最小的正方幂元，必有
r=0,
这就证明出
a
l
=amq?{am}
证明完毕。
4.6 < br>若
h
是
g
的子群，
x
和
y
是
g
的元素，试证
xh?yh
或为空，或
xh?yh 4.7
若h
是
g
的子群
,|h|=k,
试证：