随机变量
绝世美人儿
885次浏览
2021年01月26日 17:19
最佳经验
本文由作者推荐
孔乙己-
人民教育出版社中数室
田载今
随机变量是因随机试验结果的变化 而变化的量．由于随机试验的结果是事先无法确定
的，
所以表示随机试验结果的量要因结果的不 同而变化，
这样的量当然属于随机变量．
随机
变量的本质是定义在样本空间
Ω
上的一个映射，它把试验结果映为实数，即
其中
，
且对任意实数
x< br>，
由满足
R
，
的基本事件所组成的集合也是一个事件．
引入随机变量的概念，其作用不仅是把随机试验的结果数量化从而带来表示方法的简
化，
更 重要的是把对随机现象统计规律的研究数学化，
从而可以利用数学方法研究随机现象
的规律性， 其中对随机变量的概率分布的研究是实现这种转化的关键．
如果样本空间是可数的，
即
量的取值
或
，
则随机变
也可以一一列出，这样的随机变量即离散型 随机变量．离散型随机变量比
连续型随机变量更容易理解，它是高中数学学习的主要随机变量类型．
一般地，关于离散型随机变量的教学目标大多规定为：
通过具体实例，归纳概括离散型随机变量的特征，得出离散型随机变量的概念；
体会引入随机变量的作用；
渗透将实际问题转化为数学问题进行随机分析的思想方法．
目前的高中数学教材中，
离散型随机变量和离散型随机变量的分布列大都先后出现在两
个小节中的内容．
从教师 教学用书中所附的教学设计案例和一般的实际教学过程看，
将这两
个内容分在两节课中学习是一 般的教学安排．
在这部分内容的第一课时中，
通常只安排关于
离散型随机变量概念的内 容，
而不涉及离散型随机变量的分布列．
笔者认为，
这样安排是有
一定道理的 ：
第一，
离散型随机变量是基础概念，
离散型随机变量的分布列是针对离散型随
机变量而定义的，
从逻辑关系上说两者有先后之分；
第二，
两个概念的第一次出现分 在不同
课时内，学习内容单一，目标明确，可以将其分别解决，避免认识不清而产生混淆，从而使
基本概念学得更扎实牢固；第三，这样处理与现行教材的课文、练习、
习题的安排顺序保持
基 本一致，便于学生自学和做作业．
兵法曰：兵无常态，
水无常势．
这就是说 解决问题的方法不是一成不变的，
应根据实际
情况权衡利弊相机行事．
同样地，教学有 法，
教无定法．
一种教学设计难以方方面面都能兼
顾，往往在保证了一些方面有利的同 时，
也存在另一些方面的不足．如前所述，引入离散型
随机变量的概念，
体会引入随机 变量的作用，
渗透将实际问题转化为数学问题进行随机分析
的思想方法，是本部分的教学目标， 三者是相互联系的一个整体（三位一体）．如果只是引
入离散型随机变量的概念，
而不能较明显 地体现为什么要引入它，
则会影响对其作用和相关
思想方法的体会．
要体现引入随机变 量的作用，
渗透将实际问题转化为数学问题进行随机分
析的思想方法，
显然离不开对离 散型随机变量的概率分布的研究，
这是把对随机现象统计规
律的研究数学化的关键．
从 这个角度看，
如果能在同一课时中引入离散型随机变量后，
紧接
着出现分布列，使两者 更密切地联系起来，可能更有利于教学目标的实现．
笔者考察实际教学发现，
在一节 课中仅讨论离散型随机变量，
内容上显得比较单薄，
时
间上显得比较宽余，
效 果上显得比较拖沓，
从提高教学效率考虑似还有潜力可挖．
更重要的
是，
如果 只引入随机变量而不涉及概率分布，
这节课至多只能使人感到随机变量是对试验结
果的一种数量 化表示，而无法认识这种表示与随机度量（即可能性大小）的密切联系，
这使
得体会随机变量作 用的效果大打折扣．
在高中数学教材的向量部分，
曾指出
“如果没有运算，
向 量只是一个‘路标’，因为有了运算，向量的力量无限．”与此类似，如果不涉及概率分
布，随机变量只 是一种“表示”，因为有了概率分布，随机变量才能在研究随机现象时发挥
作用．
笔 者认为，将离散型随机变量和其分布列更紧密地联系起来，在实际教学中具有可行
性．为说明这一点，笔 者不揣冒昧地提出如下一种教学过程的设计草案，敬请读者指正．
离散型随机变量及其分布列第一课时的教学过程草案
一、描述随机变量
< br>试验结果经常可以用表示计数或度量的量来表示，例如出现某种现象的次数，某物理
量的长度，等 等．即使是定性的试验结果，也可以数量化表示．例如掷硬币时，正面向上记
为
1
，反 面向上记为
0
．表示随机试验结果的量，其取值事先不能确定，它随着试验结果随
机确 定．一般地，随着试验结果的变化而变化的量叫做
随机变量（
random variable
）．随
机变量通常用
表示．
二、考虑随机试验案例及相关问题
请看下面的随机试验，并考虑相关问题．
随机试验
1
掷一枚质地均匀的骰子．
（
1）用
X
表示掷出的点数，要表示试验的全部可能结果，
X
应取哪些值？< br>
掷骰子时，掷出的点数可能是
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
中的一个，但事先不能确定，结果是
随机产生的．用
X
表示掷出的点数，
X
的值应随机地取
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
中 的某个．
（
2
）
X
取到每一个值的概率各是多少？
由古典 概型可知，
X
取
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
中每一个值的概率都是
下：
这可以列表表示如
（
3
）
X<5
表示什么？它对应的概率是多少？
X<5
表示事件
“点数小于
5
”
，
即事件
“点数为
1
或
2
或
3
或
4
”
．
它 的概率为
（
4
）如果多次重复掷一枚骰子，那么掷出点数的平均值最可能是多少？