2019年苏教版数学六年级上册解方程经典题详解上
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2021年01月27日 17:34
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2019
年苏教版数学六年级上册解方程经典题详解上
1
、
爱达小学图书室购买的
文艺书
比科技书多
1 56
本，
文艺书
的本数比科技书的
3
倍还多
12
本 ，文艺书和科技书各买了多少本
?
解题思路，先把题目分解，然后求解，先找出方程的平衡点 在于文艺书
(
我已在题目中
标识为红字
)
，而科技书为更恰当的未知 数
X
设
科技书买了
X
本，题目主干为：
文艺书可表现为
1
关系式
= 3X+12
文艺书可表现为
2
关系式
= X+156
关系式
1
和
2
都同为文艺书，列方程式为
3X+12=X+156
解为：
X=72
2
、
甲有书的本数是乙有书的本数的
3
倍，甲、乙两人平 均每人有
82
本书，求甲、乙两人
各有书多少本。
解题思路，先把 题目分解，然后求解，先找出方程的平衡点在于甲和乙书的总和，而乙
为更恰当的未知数
X
设乙书为
X
本，题目主干为：
甲乙总和可表现为
1
关系式
= 3X+X
甲乙总和可表现为
2
关系式
=82
×
2
关系式
1
和
2
都同为文艺书，列方程式为
3X+X=82
×
2
解为：
X=41
3
、
一只两层书架，上层放的书是下层的
3
倍 ，如果把上层的书搬
60
本到下层，那么
两层
的书一样多
，求上、下 层原来各有书多少本．
解题思路，先把题目分解，然后求解，先找出方程的平衡点 在于上层和下层调整后的数
量一样多
(
我已在题目中标识为红字
)
， 而下层为更恰当的未知数
X
设
下层原有书
X
本，题目主干为：
上层调整后表现为
1
关系式
= 3X-60
下层调整后表现为
2
关系式
= X+60
关系式
1
和
2
相等，列方程式为
3X-60
=
X+60
解为：
X=30
4
、
有甲、
乙两缸金鱼，
甲缸的金鱼条数是乙缸的一半，
如从乙缸里取出
9
条金鱼放人甲缸，
这样
两缸鱼的条数相等
，求甲缸原有金鱼多少条．
解题思路，先把题目分解，然后求解，先找出方程的平衡点在于甲 缸和乙缸调整后的数
量一样多
(
我已在题目中标识为红字
)
，而甲缸 为更恰当的未知数
X
设
甲缸原有金鱼
X
条，题目主干为：
乙缸调整后表现为
1
关系式
= 2X-9
甲缸调整后表现为
2
关系式
= X+9
关系式
1
和
2
相等，列方程式为
2X-9
=
X+9
解为：
X=18
5
、
汽车从甲地到乙地
，去时每小时行
60
千米 ，比计划时间早到
1
小时；返回时，每小时
行
40
千米，比计划时间 迟到
1
小时．求甲乙两地的距离．
提示
设计划
x
小时到，那
么去时用了
(x
－
1)
小时，返回时用了(x+1)
小时．
解题思路，先把题目分解，然后求解，先找出方程的平衡点在 于甲乙两地来和回的距离
一致
(
我已在题目中标识为红字
)
，而计划 时间为更恰当的未知数
X
设
计划时间为
X
小时，题目主干为：
甲乙两地距离可表现为
1
关系式
= (X-1)
×
60
甲乙两地距离可表现为
2
关系式
= (X+1)
×
40
关系式
1
和
2
都同为甲乙两地距离，列方程式为
(X-1)
×
60
=
(X+1)
×
40
解为：
X=5
甲乙两地距离为
240
千米
6
、
新河口小学的同学去种向日葵，
五年级
种的棵数比四 年级种的
3
倍少
10
棵，
五年级
比
四年级多种62
棵，两个年级各种多少棵
?
解题思路，
先把题目分解，
然后求解，
先找出方程的平衡点在于五年级种的树量
(
我已在
题目中 标识为红字
)
，而四年级为更恰当的未知数
X
设
科技书买了
X
本，题目主干为：
五年级种的树数量可表现为
1
关系式
= 3X-10
五年级种的树数量可表现为
2
关系式
= X+62
关系式
1
和
2
都同为文艺书，列方程式为
3X-10
=
X+62
解为：
X=36
7
、
熊猫电视机厂
生产一批电视机
，如果每天生产
40
台，要比原计划多生产
6
天，如果每
天生产
60
台，
可以比原计划提前
4
天完成，
求原计划生产时间和这批电视机的总台数．
解题思路，
先把题目分解，
然后求解，
先找出方程的平衡点 在于生产的是同一批电视机，
也就是需要生产的总量一致
(
我已在题目中标 识为红字
)
，
而计划生产时间为更恰当的未
知数
X
设
计划生产时间为
X
小时，题目主干为：
需生产电视机的总台数可表现为
1
关系式
= (X+6)
×
40
需生产电视机的总台数可表现为
2
关系式
= (X-4)
×
60
关系式
1
和
2
都同为需生产电视机的总台数，列方程式为
(X+6)
×
40
=
(X-4)
×
60
解为：
X=24
这批电视机的总台数为
1200
台
8
、
甲仓存粮
32
吨，
乙仓存粮
57< br>吨，
以后甲仓每天存人
4
吨，
乙仓每天存人
9
吨．< br>几天后，
乙仓存粮是甲仓的
2
倍
?
解题思路，先 把题目分解，然后求解，先找出方程的平衡点在于乙仓调整后和甲仓存量
调整后的
2
倍 一样多
(
我已在题目中标识为红字
)
，而天数为更恰当的未知数
X
设
经历了
X
天，题目主干为：
乙仓调整后表现为
1
关系式
= 57+9X
甲仓调整后的
2
倍表现为
2
关系式
= (32+4X)
×
2
关系式
1
和
2
相等，列方程式为
57+9X
=
(32+4X)
×
2
解为：
X=7
9
、
甲、乙两个粮仓存粮数相等，从甲仓 运出
130
吨、从乙仓运出
230
吨后，
甲粮仓剩粮是
乙粮 仓剩粮的
3
倍
，原来每个粮仓各存粮多少吨
?
解题思路 ，先把题目分解，然后求解，先找出方程的平衡点在于甲仓调整后和乙仓存量
调整后的
3
倍一样多
(
我已在题目中标识为红字
)
，而甲或乙都为恰当的未知数
X
设
原来甲乙均存量
X
吨，题目主干为：
乙仓调整后存粮的
3
倍表现为
1
关系式
= (X-230)
×
3
甲仓调整后的存粮表现为
2
关系式
= X-130
关系式
1
和
2
相等，列方程式为
(X-230)
×
3
=
X-130
解为：
X=280
11
、甲、乙两堆煤共
100
吨，如从甲堆运出
10
吨给乙堆，这时
甲堆煤的质量正好是乙堆煤
质量的< br>1
．
5
倍
，求甲、乙两堆煤原来各有多少吨
?
< br>解题思路，先把题目分解，然后求解，先找出方程的平衡点在于甲煤堆调整后和乙煤堆
调整后的< br>1.5
倍一样多
(
我已在题目中标识为红字
)
，而甲或乙都为 恰当的未知数
X
设
原来甲煤堆原来有
X
吨，则根据
甲、乙两堆煤共
100
吨，也就是
乙
+X=100
，即意味着原来的乙煤堆为< br>(100-X)
吨
题目主干为：
乙煤堆调整后煤堆量的
1.5
倍表现为
1
关系式
= (100-X+10)
×
1.5
甲煤堆调整后的煤堆量表现为
2
关系式
= X-10
关系式
1
和
2
相等，列方程式为
(100-X+10)
×
1.5
=
X-10
解为：
X=70
吨
10
、
两根电线同样长短，
将第一根剪去
2
米后，
第二根长是第一根剩下长度的1
．
8
倍
，
原来两根电线各长多少米
?
< br>解题思路，先把题目分解，然后求解，先找出方程的平衡点在于第二根与第一根调整后
的
1.8
倍相同
(
我已在题目中标识为红字
)
，而第二根为更恰当的未知数
X
设
原来第一根电线长度为
X
米，题目主干为：
第一根调整后表现为
1
关系式
= X
第二根剩下的长度的
1.8
倍表现为
2
关系式
= (X-2)
×
1.8
关系式
1
和
2
相等，列方程式为
X
=
(X-2)
×
1.8
解为：
X=4.5
米
14
、一批香蕉，卖掉< br>140
千克后，
原来香蕉的质量正好是剩下香蕉的
5
倍
，这批 香蕉共有
多少千克
?
解题思路，先把题目分解，然后求解，先找出方程的 平衡点在于香蕉原来的质量与香蕉
调整后的
5
倍相同
(
我已在题目中标识为红字
)
，而原香蕉质量为更恰当的未知数
X
设
原来原香蕉质量为
X
千克，题目主干为：
香蕉原来的质量表现为
1
关系式
= X
卖掉部分香蕉后剩下的质量的
5
倍表现为
2
关系式
= (X-140)
×
5
关系式
1
和
2
相等，列方程式为
X
=
(X-140)
×
5
解为：
X=175
千克
15
、小明去爬山，上 山花了
45
分钟，
原路
下山花了
30
分钟，上山每分钟比下 山每分钟少
走
9
米，求下山速度．
解题思路，先把题目 分解，然后求解，先找出方程的平衡点在于上山和下山的距离是一
致的
(
我已在题目中 标识为红字
)
，而下山的速度为更恰当的未知数
X
设
下山速度为
X
米
/
分钟，题目主干为：
上山走的距离可表现为
1
关系式
= (X-9)
×
45
下山走的距离可表现为
2
关系式
= X
×
30
关系式
1
和
2
都同为甲乙两地距离，列方程式为
(X-9)
×
45
=
X
×
30
解为：
X=27
如果觉得本文不错的可以考虑过几天去下载
苏教版数学六年级上册解方程经典题详解
-
下
附送：
2019
年苏教版数学六年级下册教材分析
【第一单元扇形统计图】
本单元在统计表以及条形统计图、折线统计图的基础上编排。
扇形统计图不仅表示各 个部分数量的多少，而且侧重于用同一个圆里的大大小小的扇
形，表示各个部分数量与总数量之间的关系 ，表示各个部分数量分别占总数量的百分之几。
教学扇形统计图，
要使学生认识它的 特点。
了解它的用处，
能够看懂统计图所呈现的数
据信息，
能够利用统计图给 出的百分数解决实际问题。
体会条形图、
折线图、
扇形图的不同，
体会根据数 据内容合理选择统计图的必要性。
小学数学不要求制作扇形统计图。
因为制作扇形统 计图需要扇形的知识，
要计算扇形的
圆心角，
而小学数学只简单认识扇形，
不 教学画扇形，
所以小学生不具备制作扇形统计图的
知识与能力。况且，
人们已经很少手 工制作扇形统计图了，利用计算机画出扇形统计图，既
方便又准确，而且十分美观。全单元编排两道例题 ，具体安排如下表：
例
1
初步认识扇形统计图，了解扇形统计图的特点，能看懂并利用图中的百分数
例
2
比较三种统计图，了解条形图、折线图、扇形图各自的特点；能根据要呈现的 数
据内容，选择适宜的统计图
（一）
直接呈现扇形统计图，鼓励 学生仔细看图，了解图中的数据信息，并利用统计
图里的百分数进行有关的计算，解决简单的问题
例
1
初步教学扇形统计图。在给出“我国陆地总面积大约
9 60
平方千米”的同时，呈
现一幅“我国陆地各种地形分布情况统计图”
。这是一幅扇 形统计图，里面有平原、丘陵、
盆地、
山地、高原等地形各占陆地总面积的百分比。教材采用直 接呈现的方式，引出扇形统
计图，
是由于两点原因：
一是不教学制作扇形图，
没有必要呈现扇形图的形成过程。二是学
生能够看懂扇形图里的信息，
不需要给予其他帮助。< br>在呈现扇形统计图以后，
教学分两步进
行。
第一步，学生独立看图， 交流“从扇形统计图中了解到什么”
。大多数学生会一一说出
图中的五个百分数，
并且 根据五个百分数的大小关系以及扇形统计图里五个扇形的大小，
看
出山地面积最大，
丘 陵面积最小。
接着体会每一个百分数的意义，
明白我国陆地总面积是单
位“
1
”的数量，整个圆表示我国陆地的总面积。然后感到扇形统计图不是呈现五种地形的
面积各有多 少，
而是分别表示每种地形的面积占总面积的百分之几。
学生看到、
想到并说出
上述内容，就初步认识了扇形统计图。
第二步，
根据已知的我国陆地总面积和每一 种地形面积占总面积的百分比，
用计算器算
出每一种地形的面积，填在教科书的表格里。这是解 决求一个数的百分之几是多少的问题，
把新旧知识很自然地融合起来了。
学生通过这些计算，< br>能体会到扇形统计图不直接给出各个
部分数量是多少，
但可以通过计算求出各个部分的数 量。
这就进一步体验了扇形统计图的特
点。
于是，
有意义接受教材所说的“扇形统计图可以清楚地表示出各部分数量与总数量之间
的关系”
。
配 合例
1
的“练一练”给出两幅扇形图，其中一幅表示中国人口占世界人口的
19.6< br>％，
另一幅表示中国耕地面积占世界耕地面积的
9.9
％。教材问学生“
（从图中）能知道什么？
想到什么？”
前一个问题要分别说出扇形图给出的两个百分数的含义 ，
属于知识范围的问题。
后一个问题要感受我国以世界耕地的
9.9
％，供世界
19.6
％的人口吃饭，
这是非常了不起的
事情，
是对世 界以及全人类的贡献，
属于思想性的问题。
如果有可能，
还可以思考其他国家
的总人口占世界人口的百分之几，其他国家的耕地总面积占世界耕地的百分之几，通过
1-19.6％和
1-9.9
％求出两个百分数。把世界人口作为单位“
1
”
、世界耕地作为单位“
1
”
，
体会整个扇形图所蕴含的各种信息，有利于学生 深入体验扇形统计图的特点。
（二）
用不同形式的统计图表示不同的数 据，
体会各种统计图的特点，
初步学习选择
合适的统计图表示数据信息
例
2
同时给出一幅扇形图、
一幅折线图和一幅条形图，
分别表示六年级一 班同学阅读课
外书的一组数据，包括阅读科普类、
漫画类、
童话类、小说类和其他类书 各占阅读课外书总
数的百分比；
7~12
月各个月阅读课外书的本数；每星期阅读课外 书时间在
2
小时以下、
2~4
小时、
4~6
小时、
6~8
小时、
8
小时以上的人数。分两个层次提出讨论的问题。
第一个层次是以下三个具体的问题。
“三幅统计图分别表示什么？”
这个问 题要回答每一幅统计图的内容，
说出每一幅统计
图里的数据信息。
通过这个问题，让学生看到三组数据采用了三种不同的统计图，
扇形图表
示各个部分数量分别占总数量的百 分比，折线图和条形图都表示一组数据的各个具体数量。
这就了解到各种统计图在表达数据时的特点，初 步体会到三种统计图的联系和区别。
“从哪幅统计图能看出六年级一班同学比较喜欢哪一种课 外书？从哪幅统计图能看出
去年下半年各月借书本数的变化情况？从哪幅统计图能看出阅读课外书的时间 多少？”
这组
问题分别指向三幅统计图里的内容，
引导学生深入了解各幅统计图里的数 据信息，
再次体验
扇形统计图表达的是
“各部分占整体的份额”
，
折 线统计图表达的是
“一组数量的变化情况”
，
条形统计图表达的是“一组数量各有多少 ”
。这样，学生就能再次感悟统计图的使用是有选
择的，应根据数据的内容特点，合理选用相应 的统计图。
“你还能从统计图中获得哪些信息？”
这个问题比较开放，
要鼓 励学生说出在三幅统计
图里看到的、想到的信息，培养利用已有数据进行深入思考的意识，即理解与解释 数据，分
析与评价数据，应用数据提出问题与解决问题的习惯和能力。
第二个层次是一个概括性的问题。
“怎样根据需要选择统计图？”这个问题在初步了 解各种统计图的特点的基础上提出。
学生在上述三个具体问题的讨论中，
已经知道扇形图利于表 示各个部分数量占总数量的百分
之几，
能很直观地告诉人们，
哪部分数量占总数量的百 分比最高，
哪部分数量占总数量的百
分比最少。
根据扇形图里各个扇形的大小，
能很方便地按大小顺序排列各个部分数量。
已经
知道折线图利于表示一组数据的变化状态，< br>能很直观地告诉人们，
数据在增加还是减少。
根
据折线图的折线，能对数据的变 化作出描述、分析和判断（预测）
。已经知道条形图利于表
示一组数量各是多少，能很直观地告 诉人们，
哪一个数量最多、哪一个数量最少，
根据条形
图的直条，
能估计数量 之间的相差关系或倍数关系。
教材希望学生在这些认识的基础上，
体
会使用统计图是“ 有选择”的，应根据数据的内容特点，以及需要表达的数据信息，选择适
当的统计图。
三个小卡 通的交流，
代表学生分别说出了什么情况适合使用扇形图，
什么情况
适合使用折线图， 什么情况适合使用条形图。
配合例
2
的“练一练”采用三种统计图表示李大 伯家的收入情况。条形图表示“粮食”
“养殖”
“水果”
“其他”四项收入各多少万元 ；扇形图表示“粮食”
“养殖”
“水果”
“其他”
等四项收入各占总收入的百 分比；折线图表示
~
年收入的变化情况。提出四个问题，要求在
学生回答问题以后，< br>反思
“分别观察了哪幅统计图？”
进一步体验各种统计图表达数据的特
点。如果有可能，
教学还可以作如下的延伸：
一是比较条形图和扇形图，
它们都表示< br>“粮食”
“养殖”
“水果”
“其他”四项收入的情况，但表示的方式不同，数据 不同，从图中获取的信
息既有一致的方面，
也有显著的区别。
二是体验条形图里的数据 ，
适合用折线图表示吗？从
条形图里的四个数据只表示“各多少”
，不存在“变化”状 态和趋势，得出不适合使用折线
图的结论。三是折线图里的数据可以用条形图表示吗？从折线图里有六个 年份的收入数量，
体会也能采用条形图表示。但条形图不能像折线图这样清楚地表示出年收入的增加态势 。
三、
精心编排练习题，突出统计活动能力的培养
统 计教学的主要任务是培养数据意识和开展统计活动的能力，体会数据里面蕴含着信
息，
逐步养成 用数据描述、
刻画客观事物和现象的思想。
统计活动则包括数据的采集、
整理、
呈现、
分析和利用的全部过程。
数据意识与活动能力的培养，
应落实于统计教材的每 一道例
题和每一道习题之中。
数据意识和活动能力的初步形成，
远远高于各道例题、< br>练习题的具体
内容和方法。
练习一配合两道例题的教学。第
1
、
2
、
3
题配合例
1
，以认识扇形图，看懂其中的数据< br>信息为主，比例
1
及其“练一练”的要求稍高一些。第
1
题同时呈现两 幅扇形图，分别表示
小华家两天的食物搭配情况。在消费鱼肉蛋类食物、豆和奶类食物、蔬菜与水果类食 物、油
脂类食物、
谷类食物的比例上，
两天有明显的不同。要求学生评价这两天的食物 搭配“哪一
天更合理些”
。编排这道题的目的在于通过对两幅图里的数据的比较，获取扇形图传 递的信
息，并引发深入的思考。
“哪一天合理”没有标准答案，如果从有利于身体健康角度评价 ，
也许第一天的搭配比较合理。因为现在提倡多吃些蔬菜、
水果、谷物，少吃些动物蛋白和油< br>脂。但是，
从个体的需要考虑，
也许第二天的搭配更能满足。
如参加高强度的体 育活动或生
产劳动的人，一些需要补充营养的人，应该适当多吃一些动物蛋白。第
2
题 把“估计”引进
扇形统计图。呈现的干果拼盘可以看作扇形图，根据“花生米大约占果盘的
20
％”
，就能估
计开心果、葡萄干、红枣各占果盘的百分之几。不要求估计得十分准确， 能说出“
（各）大
约占百分之几”
并对自己的估计作出解释就可以了。
根据图 示的各种干果的扇形面积，
一般
会得出开心果大约占
30
％，葡萄大约占10
％，红枣大约占
40
％。有一点需要注意，各种干
果所占百分比之和 应该是
1
（
100
％）
，如果明显小于或大于
1
， 则表明估计不够合理。
第
4
题配合例
2
。
一张统 计表给出了六年级一班学生
1~6
年级时视力不良人数占全班人
数的百分比。
另一张统计表给出了六年级一班学生本学期的视力情况，
包括左眼和右眼视力
在
5.0
以上、
4.9
、
4.8~4.6
、
4.5
及以下的 人数。要求使用适当的统计图，分别表示两张统
计表里的数据。分析前一张统计表里的数据，有“逐年增 加”的意思，如果用折线图表示，
效果会更加好些。后一张统计表里的数据，都是相对“独立”的，相互 之间可以比较大小，
但不存在“变化”态势，一般用复式条形图表示。教材编排这道题，有选择合适的统 计图呈
现数据的意图。
第
5
、
6
、
7< br>题是综合练习题。
第
5
题在第
3
题的基础上编排，
第
3
题利用已知的总数量，
根据各部分占总数量的百分比，
求各个部分是多少。
第
5
题根据一个部分的数量以及它占总
数量的百分比，
先求出总数量 ，
再根据其他部分占总数量的百分比，
求出其他各部分是多少。
前者是求一个数的百分 之几是多少的问题，
后者是已知一个数的百分之几是多少求这个数的
问题，
以及求一个 数的百分之几是多少问题的综合。
第
6
题有两项任务，
一项是利用已知的总数量以及扇形统计图呈现的数据，
算出各个部分的数量，
并用条形图表示这些数量，从中
体会扇形图和条形图既有不同，
也有内在联系。
另一项是把条形图呈现的数据 ，
改为用折线
图表示，体会条形图与折线图在表示数据时的不同特点。要注意的是：条形图上， 表示
50
米跑所用时间的直条逐渐变短；折线图上，表示
50
米跑所用时间的 折线逐渐下降。它们都
表示
50
米跑所用的时间越来越少，跑的速度越来越快。第7
题是一个简单的实践活动。要
求以自己班级同学课外阅读习惯为内容，进行一次统计活动 。先确定课题和设计调查方案；
接着开展调查，收集信息、整理数据，制作统计图表；然后分析数据，评 价自己班级同学的
课外阅读习惯；
最后拓宽研究课题，
重新设计调查方案，
开 展新的统计活动。这道题可以作
为一个长作业，在课内或课外完成。
本单元最后安排 的“动手做”
，是以“反应速度”为内容的游戏活动，是用统计思想方
法解决问题的数据活动。
编排这次动手做的目的，
是要让学生积极、
主动地参与一次数据活
动，获得对 数据的新体验。教材有以下三点安排。
图文结合，
讲述了游戏方法——把长
20
厘米左右的直尺竖直按在墙上，
“
0
”
刻度在下，
食指 按在“
0
”刻度处；突然松开食指，让直尺下落，然后迅速用食指按住下落的直尺；食
指按住刻度几，
表示直尺下落了几厘米，
随时记录这个数据。
教材一方面设计了有兴趣 的游
戏，另一方面引导学生把注意力集中到数据上面。
组建小组，
建议人数 和次数——
4
人一组进行活动，
每人轮流做
6
次，
根据记录 的数据，
在方格纸上制作统计表或统计图。这样，
小组内就可以比一比，看谁的反应速度最快，
而且
有较充分的数据来表明各人反应速度的快慢。
把这些数据用统计图表呈现出来，< br>能方便比较，
容易看出小组内各人的反应速度。
提出课题，设计实验方案—— 为比较男、女生的反应速度，讨论活动方案。如，小组内
的人数与性别如何安排？数据记录在怎样的表格 里？每人做
6
次，
用哪个数据来比较？如果
每组的男、女生都不是
1
人，男生用什么数据与女生比？这一段应该是整个动手做的重点，
讨论越充分，方案越成熟，游 戏越顺利，对数据活动的体验就越丰富。
【第二单元圆柱和圆锥】
本单元在学生认识了圆，
掌握了长方体和正方体的 形状特征以及表面积与体积计算方法
的基础上编排，是小学数学最后教学的形体知识。
与长方体、
正方体一样，
圆柱和圆锥也是基本的几何形体，
在日常生活和生产劳动中 经
常能够看到这些形状的物体。
教学圆柱和圆锥，
能够扩大学生认识几何形体的范围，
丰富对
形体的认识，
有利于解决更多的实际问题。
教学圆柱和圆锥，
也能够丰富学生认识几何形体
的活动经验，
深入理解体积的意义和常用的体积单位，
有 利于完善认知结构，
发展空间观念。
教学圆柱和圆锥，
还能够给学生提供探索表面积和 体积计算公式的机会，
有利于转化能力和
推理能力的进一步提高。全单元编排五道例题，具体安 排见下表：
例
1
圆柱、圆锥的形状特点
例
2
圆柱的侧面积
例
3
圆柱的表面积
例
4
圆柱的体积
例
5
圆锥的体积
从表格里可以看到，全单元的教学内容大致由 三部分组成
:
认识圆柱和圆锥，了解它们
的形状特点；
理解圆柱的侧面积与表 面积的含义，
计算圆柱侧面积和表面积的方法；
理解圆
柱和圆锥体积的意义，
计算圆柱和圆锥体积的公式。
由于圆锥的表面展开图是一个扇形和一
个圆的组合，
相对 比较复杂，
所以小学数学不教学扇形的面积，
即本单元不涉及圆锥的侧面
积和表面积。
从表格里还能看到，
教学圆柱和圆锥的内容编排，
与教学长方体和正方体差 不多。
这就
使本单元的教学，
可以充分利用以前教学长方体和正方体的方法与经验，< br>提高效率，
让学生
在各个方面都得到较好的锻炼。
（一）
仔细观察、动手操作、充分交流，了解圆柱和圆锥的形状特点，建立相应的形
体概念
教材编排一道例题，
先后教学圆柱和圆锥的形状特点。
这样安排出于两个原因：
一是学
习圆柱和圆锥的起点不同，
二是认识圆柱和圆锥的难度不同。
学生在第一学段 已经直观认识
了圆柱，通过滚一滚、堆一堆、摸一摸等活动，对圆柱的形状有了一些粗浅的感受。这是他
们继续认识圆柱的起点，
而学习圆锥就没有这样的台阶。
相对于认识圆柱来说，
了解圆锥会
稍难些。首先，圆柱有两个圆形底面，圆锥是一个底面、一个顶点，感受圆柱侧面是曲面比
较容易，感受圆锥侧面是曲面稍难些。其次，
圆柱的高是它两个底面之间的距离，
比较 容易
表示和测量。圆锥的高是它顶点到底面的距离，表示或测量都要难些。
可见，把认识圆柱和
圆锥的教学适当分开，
先圆柱、
后圆锥，
是比较好的编排。
像这样先
“易”
后
“难”
，
先
“熟”
后“生”
，有 利于教学突出重点。把圆柱的认识与圆锥的认识编排在一道例题里教学，也体
现了它们既是不同的几何体 ，
也有内在联系。
它们的联系，
一是
“都有圆形底面”
，
二 是
“圆
锥体积是等底等高圆柱的三分之一”
。
教学圆柱，
从识别圆柱形物体开始。
因为日常生活中有许多圆柱形状的物体，
学生已有
识别的能力 。通过识别，
不仅引出了学习内容，而且能体会学习圆柱的现实意义。
例题的图
片里，
有些物体是圆柱形的，
有些物体是圆锥形的。
圆柱形的物体中，
有的横放、< br>有的竖摆；
有的很高、有的很矮。这就为教学圆柱提供了丰富的感性材料。
教 学圆柱的形状特点，要引导学生观察、操作、交流，教师适时给出必要的讲解。因为
圆柱的形状需要学生 充分感知，
有关圆柱特点的数学术语和规范表述不是他们发现创造，
而
是意义接受的。
三个小卡通的交流，
代表学生通过观察、
操作，
获得的有关圆柱的感性认识，
也是圆柱的最主要特点。
学生通常对圆柱
“上下两个面是完全相同的两个圆”
“有一个曲面”
这两点比较关注，对圆柱“上下一样粗”容易疏忽，教学要注意这一点。在学生交流圆柱 特
征的过程中，教师可以相机指出圆柱上、下两个面叫作圆柱的“底面”
，围成圆柱的曲面叫< br>作“侧面”
；及时呈现圆柱的几何图形，在图形上标出底面和侧面。这是帮助学生建立圆柱
概念的重要步骤。
教师还应该告诉学生，
圆柱两个底面之间的距离叫作高，
并在圆柱 的几何
图形上标出高，直观表达高的数学含义。同时，也让学生想想测量圆柱高的方法。
以往，
有些课堂上强调圆柱有
“无数”
条高。
这出于可以在圆柱的侧面上 或圆柱的内部，
可以任意选择位置表示出圆柱的高。
其实圆柱的“高”是一个数学概念，指的是 圆柱两个底
面之间的距离。
人们可以在适当的位置上表示圆柱的高，
在方便的位置上测 量圆柱的高。
教
学应该突出的是关于圆柱高的概念，
关于圆柱图形上表示高的方法，< br>以及测量圆柱形物体的
高的方法。没有必要在“几条”上纠缠不清，特别不能造成概念的含糊。< br>
教学圆锥，
从圆锥形状的物体引入。
由于学生首次接触圆锥，
教材指 着沙堆、屋顶等图
片，告诉他们“这些物体的形状都是圆锥体，简称圆锥”
。认识圆锥的学习方 式与认识圆柱
相似，也是一边观察、操作、交流，一边接受教师的讲解。要引导学生把认识圆柱的学习活
动经验迁移到认识圆锥上来，
在观察圆锥形物体的基础上抽象出圆锥的几何图形；
在交 流圆
锥特征的过程中认识圆锥的顶点、
底面和侧面。
圆锥的高是教学难点。
因 为圆锥的高是圆锥
内部一条线段的长。
教材图文结合，
指出从圆锥的顶点到底面的距离 是圆锥的高，
并在圆锥
的几何图形上用虚线画出从顶点到底面圆心的线段，
帮助学生理 解圆锥高的含义。
教学圆锥
的高，
除了准确而精练的讲解，
还要给学生体会和 内化的机会。
可以让他们指着圆锥形实物
或圆锥的几何图形，说说什么是圆锥的高，并且想办法 量出圆锥形物体的高。
例
1
的
“练一练”
提供了九个物体 的图片，
要求找出其中圆柱形状的物体和圆锥形状的
物体。
教学这道题，
不仅 要让学生辨别哪些物体是、
哪些物体不是，
还要引导他们说出理由。
尤其对上口小、< br>下底大的杯子，
两个底面虽然相同但两底之间粗细不同的鼓等等，
指出它们
不是 圆柱或者不是圆锥的原因，以加强对圆柱和圆锥形状特点的体验。
练习二第
1
、
2
、
3
题配合例
1
的教学。练习设计十分重视空间观念 的培养，
有很强的操
作性。
尤其是第
2
题，
要求从前面、< br>右面、
上面观察圆柱和圆锥，
通过立体图形与平面图形、
曲面与平面的相应转化 ，
加强对圆柱和圆锥特征的体验。
特别是从正面和侧面观察圆柱或观
察圆锥，看到的图 形相同；从上面观察圆锥，
看到一个圆以及它中心的一个点。能使头脑里
的圆柱、圆锥表象更加 清晰。第
3
题要求利用教科书附页里的图形做一个圆柱和一个圆锥，
体会圆柱的侧面是 长方形卷成的，
圆锥的侧面是扇形卷成的，
经历平面变成曲面的过程。
同
时，
做出一个圆锥只要一个圆，
做出一个圆柱需要两个同样大小的圆，
再次体会了圆柱和圆
锥的特征。
测量做出的圆柱和圆锥的底面半径与高，
可以再次巩固高的概念，
也能为接下来
教学表面积和体积作些准备。
（二）
展开圆柱的侧面与表面，探索侧面积与表面积的计算方法
圆柱是两个同样大小的圆和 一个曲面围成的立体，
它的表面积是侧面积与两个底面积的
总和。
圆柱的侧面展开是什 么形状？侧面积怎样计算？这些都是新知识。
为此，
教材先安排
例
2
教学圆柱的侧面积，再在例
3
里教学圆柱的表面积。
例
2
要求计算圆柱形罐头侧面的商标纸的面积。
学生在这个问题情境里会产生把商标纸
剪开后看看、 算算的想法，这正是教材期望的学习活动。
例题的教学分三步安排：
第一步由
“白菜” 卡通指导学生“沿着接缝把商标纸剪开，展开后看看是什么形状”
，让他们通过这
些操作，发现商标纸展开后是长方形，
从而理解圆柱的侧面展开图是一个长方形。
教学这一
步，要组织学生讨论
“为什么沿着接缝剪？”
弄明白沿着其他地方剪也能把商标纸展开，但得到的不一定是长方形，
计算长方形的面积比计算其他图形的面积方便。
还要组织学生讨论
“商标纸的接缝相当于圆柱的什么？”
弄明白沿着接缝剪相当于沿着圆柱的一条高剪，
而这
样做才能使侧面展开成一个长方形。
第二步研究长方形的长与宽在圆柱上各是什么。
因为计
算长方形面积需要知道它的长与宽，
而在圆柱上只知道底面直径和高，
必须沟 通长方形的长、
宽和圆柱的直径、
高之间的联系，
为计算侧面积创造条件。
教 学这一步应该让学生明白研究
什么、为什么研究，带着积极的心向去寻找联系。还要让学生面对长方形围 成圆柱的侧面、
圆柱侧面展开成长方形的现象，
理解长方形的长等于圆柱的底面周长，
宽等于圆柱的高。
由
此得出圆柱的侧面积等于底面周长乘高。
第三步列式计算商标纸的 面积，
即计算圆柱的侧面
积。这一步要求学生独立完成。
教师要指导他们分步计算，先 算出圆柱的底面周长
（侧面展
开的长方形的长）
，再计算圆柱的侧面积。分步列式计算 能减少错误，比列综合算式方便。
还要支持学生使用计算器，
没有必要把大量的时间和精力放在 繁琐的乘法笔算上。
教材还指
出“
（商标纸的面积）也可以这样计算：
11< br>π
×
15=165
π
”
，省略
165
×3.14
的笔算，用
165
π
作为最后的得数。这与中学数学是接轨的， 会受到教师和学生的欢迎。
例
4
教学圆柱的表面积，
关键在于建立 表面积的概念。只要理解“求表面积”
就是求什
么，
算法自然就产生了。
而且 长方体与正方体表面积的概念和算法，
对教学圆柱表面积有支
持作用。
例题按如下的思 路编写，
大致分两步教学。
第一步要求在方格纸上画出一个圆柱的
表面展开图。
这个圆柱的几何图形上标出了底面直径
2
厘米、
高
2
厘米，
要求学生看着圆柱
图形和标注的底面直径与高，
思考圆柱的侧面沿着高展开，
得到的 长方形长和宽各是多少厘
米，
两个底面分别是多大的圆，
并在方格纸上画出一个长方形 和两个圆，
即这个圆柱的表面
展开图。
画出的图形能直观展示表面积的含义：
圆柱侧面积与两个底面积的和，
是圆柱的表
面积。
这既是表面积的概念，
也是 计算表面积的方法。
和长方体、
正方体的表面积计算一样，
圆柱的表面积计算也不给出 公式，
让学生在理解表面积意义的基础上推理算法，
以避免记忆
公式的负担。第二步计 算例题呈现的圆柱的表面积。由于计算圆柱侧面积的方法已在例
2
教学，
计算两个底面 圆的面积是旧知识，
学生应该能独立计算圆柱的表面积。
教师仍然要提
醒他们列分步算 式解答，
通常先算出侧面积，
再算出一个底面的面积，
然后算侧面积与两个
底 面积的和。学生如果用
4
π
表示侧面积，用
2
π
表示两个底 面圆的面积，用
6
π
表示表面
积，应该加以肯定。
计算圆 柱的侧面积或表面积，一般都已知圆柱的高，还要已知底面的直径（或者半径、
周长）
。接着例
3
编排的“练一练”给出的底面条件有直径、有半径、也有周长等各种情况，
要帮助学 生激活有关圆的知识和经验，并正确应用到计算圆柱的侧面积和表面积上面。
练习二第
4~12
题，
应用圆柱侧面积和表面积知识解决实际问题。
习题编排分三个层次：< br>第
4
、
5
两题的练习重点是把实际问题抽象成数学问题，求制作队鼓的 铝皮面积是计算圆柱
的侧面积，
求制作队鼓的羊皮面积是计算两个底面积的和，
求做一 个油桶需要的铁皮是计算
圆柱的表面积。
第
6
题有整理知识和思路的作用。< br>通过填表帮助学生进一步区分圆柱的侧面
积、底面积、表面积三个不同的概念和不同的算法；整理 侧面积、
底面积与表面积之间的联
系，
使计算圆柱表面积的思路更加清楚。
第
6
～
12
题要求灵活应用圆柱侧面积与表面积的知
识解决问题，有时只需要计算侧面积，
有时要计算侧面积与一个底面积的和，
有时是计算表
面积 。正确解答这些问题，需要仔细读题，准确理解题意，还要有相应的生活常识和经验。
如通风管是没有底 面的圆柱形筒，
计算通风管所用的材料，
是求圆柱侧面积的问题。
无盖的
水桶 可以看成只有一个底面的圆柱形，
计算制作这样的水桶要用多少材料，
是求圆柱侧面积
和一个底面积的和。
（三）
通过猜想——验证，探索圆柱和圆锥的体积计算公式
学生已经掌握了长方体和正方体 的体积公式，
而且知道它们的体积都可以用
“底面积×
高”
来计算。
事实上，
不仅是长方体与正方体，
求各种直柱体的体积都可以用
“底面积×高”
来计算，圆柱的体积也是这样。
例
4
教学圆柱的体积。
教材先呈 现了长方体、
正方体和圆柱这三个立体图形，
涂色突出
它们的底面，指出这三个几何体 的底面积相等，高也相等。要求先猜想圆柱体积与等底
（面
积）等高的长方体、正方体体积是不 是相等，再通过把圆柱“等积变形”证实猜想，推导出
圆柱的体积计算公式。
猜想与验证是人们 解决问题经常采用的策略。
教材鼓励学生猜想并验
证，调动他们的积极性，使圆柱体积的教学不 是被动接受，而是有意义的探索。
例题通过两个问题帮助学生形成猜想：第（
1）个问题是图示的长方体和正方体体积相
等吗？为什么？引导学生回忆长方体和正方体的体积都可以 用“底面积×高”的方法计算，
从长方体与正方体的底面积相等、
高也相等，
判断它们 的体积相等。
充分体会长方体或正方
体的体积与它们的底面积和高有关，把计算直柱体体积的心 向调整到“底面积×高”上面。
第（
2
）个问题是猜想图示的圆柱体积会不会和长方体 、正方体的体积相等。从等底（面积）
等高的长方体与正方体体积相等，
类比推理等底
（面积）
等高的圆柱与长方体体积也会相等，
猜想圆柱的体积也可以用“底面积×高”来计算。 这就为探索圆柱的体积公式找到了方向。
猜想必须验证，
这是科学精神、
严 谨态度的表现。
类比推理的结论可能正确，也可能错
误，要经过验证才能确认或者否认。为了证 实圆柱体积可以用“底面积×高”计算，教材设
计了三步活动：
首先是形成验证思路，
把圆柱转化成等底
（面积）
等高，
体积不变的长方体，
并展示转化过程。转化思路的形成，
借鉴了把圆转化成长方形计算面积的经验。
转化的要领
是保持圆 柱与长方体等底（面积）
、等高、等（体）积。学生可以看教材里的插图，明白怎
样把圆柱切割 与改拼。如果能亲自操作学具，实践圆柱的等（体）积变形，就更好了。然后
是渗透极限思想。把圆柱的 底面平均分成
16
份，切开后拼成的只是一个近似于长方体的物
体。
如果圆柱 的底面平均分的份数越多，
切开后拼成的物体越接近长方体。
圆柱底面被平均
分的份数 足够多，就能转化成等底（面积）
、等高、等（体）积的长方体。最后是推导圆柱
的体积计算公 式。
由于圆柱与转化成的长方体体积相等，
所以求圆柱的体积只要计算长方体
的体积；
由于长方体体积可以用底面积乘高计算，
而长方体的底面积与圆柱底面积相等，
长方体的高与圆柱的高相等，
“底面积×高”计算的既是长方体的体积，也是圆柱的体积。由
此得出圆柱的体积计算公式：圆柱的体积＝底面积×高。
必须注意的是，
在得出圆柱 体积计算公式以后，
教材安排
“回顾圆柱体积公式的探索过
程”
，
要 求学生交流体会。
“转化”是探索圆柱体积公式的策略，在寻求圆柱体积计算方法的
过程中，< br>“转化成长方体”是关键。教学应通过回顾，突出转化策略在这里的应用，联系实
际加强策略意识 。另外，用“底面积×高”涵盖长方体、正方体和圆柱的体积计算，有利于
优化认知结构，这也应是回顾 与反思的一个重要内容。
得出圆柱的体积公式以后，利用公式计算圆柱的体积就让学生独立进 行了。
“试一试”
和
“练一练”
分别已知圆柱的底面半径和高、
底面 直径和高、
底面周长和高，
求圆柱的体积。
与前面计算圆柱的表面积相似，
计 算体积也可以分步列式，
先算出圆柱的底面积，
再计算体
积。尤其是已知圆柱底面直径 或周长时，分步计算体积能够减少错误。
练习三配合例
4
的教学，设计了三 个层次的习题。第
1
、
2
两题是一个层次，主要帮助
学生消化基础知 识。
计算圆柱体积的基本方法是底面积乘高，
如果已知圆柱的底面积，
可以
直 接与高相乘；如果没有已知底面积，应该先算出底面积。第
4
～
9
题是一个层 次，主要帮
助学生应用体积知识解决实际问题。
要注意的是，
如果计算圆柱形物体的体 积，
应该在物体
外面测量有关的长度；
如果计算圆柱形物体的容积，
应该从物 体的里面测量需要的数据。
其
中第
7
题，
把一张长
5
厘米、
宽
4
厘米的长方形纸分别绕其长或宽旋转，
能形成两个不同的
圆柱。先估计这两个圆柱的体积，指出哪一个大，再计算它们的体积，验证前面的估计。教
学这道题， 要让学生体验“长方形绕其长（宽）旋转，能形成长方体”的现象。如有必要，
可以动手操作，
实践一下。要识别形成的圆柱的底面半径和高，把已知的长方形的长、
宽转
化成圆柱的有关数据 。
形成的两个圆柱，
一个的底面小一些、
高一些，
另一个的底面大一些、矮一些。估计哪一个的体积比较大，
其实是猜一猜哪个的体积大。
猜对和猜错，都要通过计
算体积来验证。
第
10
～
16
题是一个层次，
主要 帮助学生综合应用圆柱表面积和体积的知识。
要整理表面积和体积的概念与算法，
在求异的时候 也要关注求同。
求同往往能形成比较上位
的认识，求异有助于区分下位的知识。以往的教学比较 重视比“异”
，疏忽比“同”
，这里说
说求同。
如长方体和圆柱的表面积都是 它所有面的面积总和，
计算表面积要把各个面的面积
相加；
长方体和圆柱的体积都是它 所占空间的大小，
计算体积都可用底面积乘高。
再如计算
长方体、
圆柱的表面 积或体积，
都需要知道高和有关底面的条件。
底面周长乘高得到侧面积，
底面积乘高得 到体积……要辨别所解决的实际问题与物体的表面积有关还是与体积有关，
应
用相应的知识去解 答。要灵活应用体积公式，
在求物体的体积时，
可以按公式列出算式；在
已知物体的体 积，求它的高（或底面积）时，可以按公式列出方程。
练习三的后面是“动手做”
， 要求测量土豆的体积。土豆的形状不规则，求它的体积没
有现成的计算公式。
教材设计了利用圆 柱形容器测量土豆体积的方法：
先准备材料——圆柱
形容器
1
个，土豆
1
个；
讲解测量方法——在容器里放适量的水，
把土豆浸没在水中，
测量< br>并记录相关的数据，
算出土豆的体积。并且提供一张表格，提示应该记录容器的底面积、放
入土豆前的水面高度、
放入土豆后的水面高度以及算出的土豆体积。
然后是测量与计算，一
边操作一边思考应注意什么。如，容器底面积不能直接量得，
只能测量底面的半径、直径 或
周长。测量半径需要确定圆心，测量周长还要计算直径，一般测量直径，既容易量，也便于
算 。又如，测量底面直径、水面高度都要在容器里面进行，利用容器里面的数据，算出的才
是水的体积、土 豆的体积。教学应在适当时候组织学生反思这次测量活动，
体会其中的
“转
化”策略： 把形状不规则的土豆体积，转化成形状规则的圆柱体积，通过计算圆柱体积，得
到土豆的体积。
例
5
教学圆锥的体积，
教学思路也是先猜想再验证。
教材首先出示底 面积相等，
高也相
等的圆柱和圆锥各一个，
涂色表示它们的底面相等，
用两条 平行的虚线表示高相等。
要求学
生估计这个圆锥的体积会是圆柱的几分之几，
引导他们 利用圆柱的体积求圆锥的体积。
这里
的估计是形成一个猜想，
如果等底
（面积 ）
等高的圆柱和圆锥的体积之间存在确定的倍数关
系，
就可以利用圆柱的体积计算圆锥 的体积。
学生不一定估计圆锥的体积是圆柱的三分之一。
不过，这并不要紧，后面的实验会得出 这个关系。只要形成圆锥体积与等底（面积）等高圆
柱体积有关的心向，就能支持后面的操作验证。
例题把验证活动分成三步进行。
第一步选择实验器具：
等底等高的圆柱形和圆锥 形容器
各一个。图示的方法里，把圆锥形容器放到圆柱形容器的上面，容易比出底面积是否相等。
把圆柱形容器和圆锥形容器靠近着放在同一桌面上，
容易比出高是否相等。
第二步倒沙实验：
在圆锥形容器里装满沙子，倒入圆柱形容器。从“
3
次正好倒满”这个事实，证实圆柱 形容
器的容积是等底等高圆锥形容器的
3
倍，
也就是圆锥形容器的容积是等底 等高圆柱形容器的
1/3
。第三步推导圆锥的体积计算公式：如果不考虑容器壁的厚度，圆锥容 器里装满的沙子
的体积可以看作圆锥的体积，
圆柱容器里装满的沙子的体积可以看作圆柱的体积 。
从实验的
结果先得出等底等高圆锥和圆柱的体积关系：圆锥的体积＝圆柱的体积×
1 /3
；再把圆柱的
体积计算方法代入关系式，得出圆锥体积计算公式：底面积×高×
1 /3
。
教材很重视引导学生体验数学思想和积累数学活动经验，
在得出圆锥 体积公式以后，
要
求他们回顾圆锥体积公式的探索过程。
要让学生说说自己的体会。< br>整理学生的交流，
应该突
出两点：一是“转化”策略，圆锥体积可以转化成圆柱体积来计 算，新知识可以转化成旧知
识来认识。
二是实现转化可以通过猜想、
验证来落实，猜想 圆锥体积与圆柱体积有关，
并验
证这种关系确实存在，就实现了圆锥体积到圆柱体积的转化。< br>
“练一练”
加强对等底等高圆锥与圆柱的体积关系的把握。
第
1题先是已知圆柱体积求
等底等高的圆锥体积，
再是已知圆锥体积求等底等高的圆柱体积，< br>让学生充分利用圆锥体积
是等底等高圆柱体积的
1/3
，圆柱体积是圆锥的3
倍这两个结论，加强对这种关系的理解和
把握。在此基础上完成第
2
题 ，学生求圆锥体积就不会忘记“×
1/3
”了。
练习四第
5
题要求把等底等高的圆柱体积和圆锥体积相互转化，
从已知的圆柱体积得出
相应的圆锥体积，
从已知的圆锥体积得出相应的圆柱体积，
继续加强对等底等高圆柱和圆锥
体积关系的理 解。
第
6
题根据图示的各个立体图形的底面直径与高，
寻找与圆锥体积相等的
圆柱，其中的推理稍有难度。可以从圆锥体积是等底等高圆柱体积的
1/3
，推理出体 积相等
的圆柱与圆锥，如果底面积相等，圆锥的高是圆柱的
3
倍圆柱的高是圆锥的1/3
；如果高相
等，圆锥的底面积是圆柱的
3
倍圆柱的底面积是圆锥的
1/3
。还要注意到，大圆的直径是小
圆的
3
倍小圆直径是大圆的< br>1/3
，大圆的面积则是小圆的
9
倍小圆的面积是大圆的
1/9
。
过去的教学告诉我们，
这一单元的计算比较繁琐，
学生经常会算错。< br>对此提出三点建议：
一是营造良好的计算环境。
每次作业的题量不宜过多，
给学 生的时间要充分，
心理压力小些
能减少计算错误。二是较复杂的计算可以使用计算器。通常情况 是，三位数乘一位数、
三位
数乘两位数可以采用笔算，
位数更多的乘法应该用计算器算 。
没有必要让学生进行繁琐的四
则运算，消耗时间和精力。三是指导简便运算。在半径的长度数 是
5
、
15
、
25
，高的长度数
是
2、
4
、
8
时，往往可以利用乘法运算律使计算简便些。要善于发现、及时 利用可以简便计
算的机会。四是鼓励用含有
π
的式子作为计算的最后结果。
（四）
单元整理与练习里，加强“探索与实践”栏目的设计编排
本单元的整理与练习仍然按“回顾与整理”
“练习与应用”
“探索与实践”
“评价与 反思”
四个栏目编写。这里着重说说“探索与实践”栏目的习题。
第
12< br>题探索一个规律。有两个圆柱形容器，它们的高相等，底面半径的比是
1
∶
2< br>，问
它们的体积比是几比几。
这道题有培养推理能力的作用。
学生中可能有两个 水平的推理：
一
种水平的推理比较具体，
可以假设两个容器的高都是
10厘米，
一个容器的底面半径
1
厘米，
另一个容器的底面半径
2< br>厘米，就能算出这两个容器的体积分别是
10
π
立方厘米和
40
π
立
方厘米，由此得到它们的体积比是
1
∶
4
。另一种水 平的推理较抽象，由于两个容器的高相
等，所以它们的体积比决定于它们底面积的比。两个容器的底面半 径的比为
1
∶
2
，底面积
的比应该是
1
∶
4
，由此得到体积比是
1
∶
4
。这道题在教学正比例和反比例以后， 还可以如
下推理：
圆柱体积
/
底面积
=
高
（一定）
，
圆柱体积和底面积成正比例。
底面半径乘
2
（除以
2）
，
底面面积乘
4
（除以
4
）
，体积也乘4
（除以
4
）
。所以两个容器的体积比是
1
∶
4
。要根据学
生的年龄特征来选择如何推理。
对大多数学生而言，
采用前一水 平的推理比较适当，
后一水
平的推理，只会有少数学生适应。
第
1 /3
题是实践操作题。
要求任选一个圆柱形饮料罐，
计算它的容积。
计算圆柱 容器的
容积，
需要哪些长度？如何测量这些长度？都由学生拿主张。
算出的容积应该比 饮料罐商标
纸上标出的“净含量”稍大一些，否则饮料罐里装的饮料不会达到净含量。
第
14
题是制作实验题。要求选一张长方形纸，用它卷成两个大小不同的圆柱。其中一
个圆柱的底面周长是长方形纸的长，
高是长方形纸的宽；
另一个圆柱的底面周长是长方形纸< br>的宽，高是长方形纸的长。要回答的问题是“怎样卷，圆柱的体积比较大？”解决这个问题
可以假 设长方形纸长
10
厘米、宽
6
厘米，一种卷法形成的圆柱体积大约
1 5.36
π
（底面周
长
10
厘米，半径
1.6
厘米 ，底面积
2.56
π
平方厘米）
；另一种卷法形成的圆柱体积大约
1 0
π
（底面周长
6
厘米，半径
1
厘米，底面积
π< br>平方厘米）
，怎样卷体积大就很清楚了。这道
题能发展空间观念。
学生识别长方 形的长、宽和圆柱的底面周长、
高之间的对应关系，
需要
动手操作，用一张长方形纸卷 一卷、看一看。
【第三单元解决问题的策略】
从三 年级上册起，
每一册教科书里都教学一种策略，
依次是分析量关系的
“从条件向问题推理”和“从问题向条件推理”
，帮助理解题意的“列表整理”和“画图整理”
，还有“ 枚
举”
“转化”
“假设与替换”等策略。本单元没有安排新的策略，只是应用前面教学 的策略，
解决稍复杂的问题。
目的是让学生进一步体会策略在解决新颖问题、
复杂问题 时的作用，
体
会解决同一个问题的方法多样、
策略灵活，体会各种策略之间的相互配合 、
相互补充。
全单
元编排两道例题，具体安排见下表：
例
1
把陌生的问题转化成熟悉的问题，体会转化可以多样
例
2
通过假设和调整解决问题，体会假设与调整可以多样
心 理学研究人们是怎样解决数学问题的，
发现经常是
“模式识别——问题转化——模型
还 原”的过程。解题者在感知数学问题、理解题意时，经常会想“这是什么问题？”通过辨
别问题的类型，
力求与自己头脑里储存的范例、
模型发生某种联系，
从而利用已有的知识经
验 ，很快找到解决问题的途径与方法。这就是所谓的“模式识别”
。有很多时候，解题者遇
到的问 题与头脑里储存的范例、
模型很不一致，
难以检索到可以直接用来解题的思路与方法。
面对陌生的、新颖的问题，需要把它适当转化，使转化后的问题便于检索、能够解答。这就
是所谓的“问 题转化”
，是十分重要的解决问题策略。数学问题最终要利用检索到的数学模
型来解决，
转化后的问题的答案是不是适合原来的问题，
需要将解题的结果放到原问题的情
境中进行检验 ，作出确认或否定。像这样把转化获得的数学模型还原到原来的问题情境中，
就是所谓的“模型还原”< br>。
回顾前面的解决问题教学，
学生在学习基本思路
“条件向问题推理 ”
“问题向条件推理”
时，解答过许多两步计算的实际问题；在学习列表整理、画图整理时，也 解答过一些两、三
步计算的实际问题；
在学习分数和百分数时，
解答过大量的分数或百 分数实际问题。
应该说，
在他们的认知结构里储存了较多的问题范例，
以及这些问题的 解法模型。
他们在学习转化策
略、假设策略时，初步体会了转化、假设的思想与方法，还进行过 一些转化或假设的活动。
现在，可以通过“模式识别”顺利解决认识的问题，可以通过“问题转化”解决 不熟悉的问
题，可以通过“模型还原”解题并检验结果，他们解决问题的资源已经相当丰富。本单元让< br>学生利用已有资源继续解决实际问题，进一步提升思维水平，提高解决问题的能力。
教 学解决问题的策略，一般有两大类内容：一类是传递新知识、新思想、新方法，通过
新的内容提高解决问 题的能力。
另一类是应用已有的解决问题的知识经验、
思想方法，
加强
对策略 的体验和方法的领悟，从深刻性、
灵活性、综合性上提高解决问题的能力。本单元的
编排，体现 了后一类的策略教学。
（一）
分析某个分数的意义，联系不同的知识，作 出不同的推理，给出不同的解法，
体会策略和方法的多样性
例
1
已 知美术组一共有
35
人，男生人数是女生的
2/3
，求美术组的男、女生各有 多少
人。这是一个稍复杂的分数问题，大多数学生应该具有解决问题的经验和能力。
教材引导学生“根据题意分析数量关系，想一想可以怎样解答”
。题目里只有两个已知
数量，分 析数量关系的切入口应该是“男生人数是女生的
2/3
”
。根据
2/3
这个分数的意义，
可以画线段图，
看出男生人数是美术组总人数的
2/5
。
原来的问题就转化成美术组一共有
35
人，男生人数是总人数的
2/5
，女生人数是总人数的
3/5
，男生有多少人？女生有多少人？
这是简单的求一个数 的几分之几是多少的问题。
根据分数
2/3
的意义，
可以推理出
“男 生人
数和女生人数的比是
2
∶
3
”
。原来问题就转化成美术 组一共有
3/5
人，男生与女生人数的比
是
2
∶
3
，男生、女生各有多少人？这是按比例分配问题。学生很可能还有别的想法，如，
根据分数
2/ 3
的意义，想到“女生人数看作
3
份，男生人数是
2
份”
， 于是产生解题思路：
先算出
1
份是几人，
再算
2
份、
3
份各是多少人。
再如，
把作为单位
“
1
”
的女 生人数设为
x
，
那么男生人数就是
2/3x
，利用美术组一共
35
人，能够列方程解题……
“选择一种方法列式解答”是经过“问题转化”以后 的“模式识别”
。利用已有的模型
解决转化后的问题，
也就是解答原来的问题。
学生采用任何一种解法都可以，
但不是要求他
们“一题多解”
。
“检验”
十分重要，
应把得数放到原来的问题情境里检验是否正确。
即看一看得到的男 、
女生人数是不是一共
35
人，男生人数是不是相当于女生的
2/3
。如果得数能够同时满足这
两个条件，就是原来问题的答案。否则，就不是原来问题的答案。
教学解决问题的策略，
目光不能局限在列式解答以及求出得数上面，
要重视策略的选择
和使用。从大处讲，多数学生使用转化策略，把一个陌生的、较难的问题转化成熟悉的、会
解答 的问题，他们选择了相同的解决问题策略。从细处讲，根据“男生人数是女生的
2/3
”
展开的推理不尽相同：
喜欢形象思维的学生可以画线段图，
善于抽象思维的学生可以多一些< br>理性思考。
学生之间，由于联系了不同的知识，对分数
2/3
就有不同的理解与 解释，解题的
思路和方法也随之不同。
他们在应用转化策略时各有自己的主张。
这就体 现了转化策略在应
用中既是广泛的，又是灵活的。教材要求学生说说“你选择了什么策略，是怎样想的”
，希
望他们在交流中获得这些体验。所以，组织学生交流，不能停留在怎样解答、算式怎样、结
果对不对的上面，而要挖掘深层次的思考，说出为什么转化、怎样转化、联系了什么知识、
应用 了什么方法……通过相互理解和相互评价，体会方法的多样性。
还应该看到，解答例
1
时的转化，决定于对分数意义的理解与解释。如果概念准确，概
念系统完善，从分数意义出发 的推理就严密、流畅，转化也就顺利、有效。反之，如果分数
概念模糊，
分数和其他数学概念没 有建立实质性联系，
要想通过推理实现问题的转化将是很
难的。
为此，
练习五 第
1
题安排了分数与比的转化练习，
要求学生根据示意图里的数量关系，
写出 分数，
并转化成比。
或者写出比，再转化成分数。这道题可以看作沟通数学概念之间联
系，组建概念系统的练习，有助于问题的转化。教材提倡学生利用图形直观帮助联想，第
2
题根 据已知的比或百分数，
把线段图补充完整，
要求借助线段图，
把稍复杂的问题转化成简
单的问题，探索原来问题的解法。在线段图上可以联想到的数学信息越多，思维就越开放，
问题 转化的思路会越开阔，解决问题的资源也就越充分。
（二）
解决同一个 问题，提出几个不同的假设，
采用几种不同的形式，体会策略和方
法的多样性
例
2
的问题情境是
42
人正好坐满
10
只船，
求 大船和小船各有几只。
这个问题的题意并
不复杂，学生能够理解。但是，解法不容易想到，一般 的分析数量关系的方法派不上用场。
教材问学生“解决这个问题，你准备用什么策略”
，不要求 说出解题思路和算法，而是鼓励
他们从已经学过的列表、画图、枚举、假设和转化策略里自主选择解题方 法。正像“辣椒”
卡通的画图、
“萝卜”卡通的列举、
“番茄”卡通的假设那样，每个 学生都要有自己的选择，
班集体里就会呈现策略多样化。
无论用哪种策略解决问题， 大船和小船一共
10
只是不能改变的。
“辣椒”卡通画了
10
只大船 ，每只船上的
5
个圆表示坐
5
人，这些船上一共可以坐
50
人，比实际多了
8
人。于
是，从一只船上去掉
2
人，把这只大船换成 小船；
又从另一只船上去掉
2
人，也用小船替换
大船……像这样替换
4
次，
6
只大船和
4
只小船一共乘
42
人，得到了 问题的答案。
“萝卜”
卡通的想法是，租船方案可能是
1
只小船和
9
只大船、
2
只小船和
8
只大船……哪一种方案
刚好坐
42
人，就是问题的答案。于是把各种租船可能，有次序地列举在一张表格里，分别
计算每一 种方案坐的人数，与
42
人比对，
逐渐找到问题的答案。
“番茄”
卡 通假设大船和小
船都是
5
只，
算出这些船一共可以坐
40
人 ，
而
40
人比全班人数少
2
人，
于是想办法调整大、
小船的只数。
只要学生有主动解决问题的积极性，
班级里一定会有更多的解题形式、
更多的
假设与验证。
提出的假设
（或猜想）必须检验，看
10只船上是不是正好坐
42
人。
提出的第一个假设
往往不是问题的答案，船 上的总人数不是比
42
人多，就是比
42
人少，需要调整大、
小船的
只数。
教材把替换留给学生进行，
一方面培养检验假设的意识，
另一方面体会 替换的方向与
方法。如果
10
只船上的总人数比
42
人多，表明大船 多了、小船少了，要用小船替换大船；
如果
10
只船上的总人数比
42
人少，
表明大船少了、
小船多了，
要用大船替换小船。
替换时，
可 以一只一只地调整，
用
1
只小船替换
1
只大船，
或者用1
只大船替换
1
只小船，
并且及时
检验，
逐步逼近正确 的结果。也可以一下子用
2
只或几只小船
（大船）
替换
2
只 或几只大船
（小船）
，
加快调整的速度。如果假设的大、小船上乘坐的人数接近
42
人，可以一只一只地
调整；如果假设的船上人数与
42
人相差较大，可 以每几只一调。
解答例
2
采用的策略具有多样性、
灵活性和综合性 。
多样性表现为解决同一个问题，
有
人画图、有人列表，
有人枚举、
有人猜想……都能形成思路；
灵活性表现为可以有不同的假
设起点，就像假设
10只大船、假设
1
只小船和
9
只大船、假设
5
只小船和< br>5
只大船……还
可以提出其他的假设，
都能通过适当的调整得到正确的结果。< br>综合性表现为解题以假设策略
为主，
还需要其他策略的配合。
把假设策略用画图 形式表现，
便于直观地进行调整；把假设
策略用列表形式表现，能看清检验与调整的过程，更便 于寻找正确答案。
例
2
没有列式计算，
主要是两个原因：
一是解决问题未必都要列式计算，
画图和列表也
是解题的方法和形式。
教学应该鼓励解 题形式多样，
发展学生的个性和创造性。
二是解答这
道题的算式比较难列，算式蕴含的 算理比较复杂。如果列式计算，不仅增加了教学的困难，
还会削弱替换活动，伤害学生的学习积极性。< br>
【第四单元比例】
本单元的教学内容是：
图 形的放大与缩小，
比例的意义与性质。
两个内容分别属于两个
知识领域，
前者 是图形与几何的内容，
后者是数与代数的内容。
在一个单元里同时教学两个
领域的知识 ，
这样的教材很少遇到。
本单元把图形的放大与缩小、
比例的意义与性质结合起
来教学，
是因为这两个内容能够互相利用、
互相支持。
图形放大或缩小的过程中，< br>大小变了，
但形状与结构都保持不变，
比例能够准确地揭示图形放大或缩小的本质特征，
帮助学生建立
图形放大与缩小的正确概念。
比例是表示两个比相等的式子，
这 个相当抽象的数学概念和图
形的放大或缩小联系起来，
就有了具体的含义，
图形的放大 、
缩小有助于学生形成比例的概
念。全单元编排七道例题，具体安排见下表：
例
1
、例
2
图形放大与缩小的含义
在方格纸上把图形放大或缩小
例
3
比例的意义
例
4
比例的性质
例
5
解比例
例
6
、例
7
比例尺的意义
比例尺的实际应用
从表格里可以看到，
图形放大与缩小、比例的意义，这两 个知识的教学靠得很近，
能充
分发挥它们互相利用、
互相支持的作用。
把比例 的性质和解比例结合起来教学，
能及时应用
比例的基本性质，
并且解决有关的实际问题 。
把比例尺及其应用编排在本单元教学，
是因为
它和图形的放大与缩小有联系，
和比例也有联系。
如果把一片地面看作一个图形，
那么从地
面到它的平面图相当于图 形的缩小，从平面图到它对应的地面相当于图形的放大。
比例的意义和性质一直是小学数学的 重要内容，
已经积累了许多教学经验。
图形的放大
与缩小是本世纪进入小学数学的内容 ，它的教学方法需要教材和教师共同创新。
（一）
选择有利于形成正确概念的实例，教学图形放大与缩小
数学里图形放大与缩小的含义 ，
和生活中的放大、
缩小不是完全相同的。
生活中往往把
图形由小变大视作放 大，
由大变小视作缩小。
数学里的图形放大与缩小，
它的每一条边都按
相同的 比变化，
即所有边的长度都放大到原来的几倍或者缩小到原来的几分之一。
所以，
教< br>学图形的放大与缩小，
必须选择数学含义鲜明的素材，
使学生形成正确的、
图形 放大与缩小
的概念。
例
1
教学图形放大、
缩小的含义，< br>呈现在电脑上放大长方形图片的现象。
给出的第一幅
照片是放大前的长方形
（长
8
厘米、
宽
5
厘米）
，
第二幅照片是放大后的长方 形
（长
16
厘米、
宽
10
厘米）
。先利用给出的数 据，分别研究长方形放大后与放大前长的关系、宽的关系，从
“倍”的角度和“比”的角度，描述图形的 变化。然后联系长方形放大的事实，揭示图形放
大的含义。教材依次讲了三句话：第一句是“长方形的每 条边放大到原来的
2
倍”
，这是对
长放大到原来的
2
倍，< br>宽也放大到原来
2
倍的概括。
第二句是
“放大后的长方形与原来长方< br>形对应边长的比是
2
∶
1
”
，用比描述图形放大时边的长度变 化。这里把放大前、后两个长方
形的长称为对应边，
宽也称为对应边，
必须把放大后图 形的边的长度作为比的前项，
原来图
形的边的长度作为比的后项。
第三句是
“ 把原来的长方形按
2
∶
1
放大”
，
让学生体会由于放
大后与放大前两个长方形对应边的长度关系是
2
∶
1
，因而把这样的图形放 大说成
2
∶
1
，示
范了规范表达图形放大的语言。
从教材讲 述长方形放大的数学含义，
可以看到概念的关键是
图形变化后与变化前对应边的长度比。
所以，
安排学生研究两张照片的
“长有什么关系”
“宽
有什么关系”
时，
要提示他们说出第二张照片的长和宽分别是第一张照片的几倍，
写出第二
张照片 和第一张照片长的比、宽的比。不要鼓励学生把第一张照片的长度和第二张照片比，
以免对新概念产生干 扰。
关于图形缩小的概念，
在初步认识图形放大的基础上，
引导学生进行迁 移，
主动体会图
形缩小的含义。通过回答“豆荚”卡通的问题“如果要把原来的图形按
1
∶
2
缩小，长和宽
应该是原来的几分之几？各是多少厘米？”
，< br>理解图形按
1
∶
2
缩小，
缩小后长方形的长是原
来长 方形长的
1/2
，
缩小后长方形的宽也是原来长方形宽的
1/2
，< br>初步形成图形缩小的概念。
例题先教学图形放大的含义，
再教学图形缩小的含 义。
课堂上还要把图形的放大与缩小
综合起来，帮助学生形成完整的图形变化的认识。可以让他 们比一比，图形按
2
∶
1
放大和
图形按
1
∶
2
缩小的含义，理解图形放大与图形缩小在概念上的不同。可以让他们比一比，
表示图形放大 的
2
∶
1
和表示图形缩小的
1
∶
2
，理解 两个比的前项都是变化后图形的长度，
后项都是变化前图形的长度。比的前项大于后项，
表示图 形放大；
比的前项小于后项，
表示
图形缩小。
图形放大或缩小，< br>必须是每一条边的长度都按相同的比变化。
练习六第
1
题为加强图形
放 大、缩小的概念而设计。方格纸上的图形①长
6
格、宽
2
格，图形②长
3
格、宽
2
格，图
形②的长和图形①的长的比是
1
∶2
，宽的比是
1
∶
1
，两个比不相同，图形②不是图形①缩小后的图形。
图形③长
3
格、
宽
1
格，
图形③ 的长和图形①的长的比是
1
∶
2
，
宽的比也是
1
∶
2
，图形③是图形①缩小后的图形。同样的原因，图形④不是图形①缩小后的图形。图形⑤的长
9
格、宽
3
格，图形⑤的长和图形①的长的比是
3
∶
2
，宽的比也是
3
∶
2
，图形⑤是图
形①放大后 的图形。
（二）
画出一个图形放大或缩小后的图形，进一步体会图形放大与缩小的含义
例
2
要求在方格纸上画出一个长方形按
3
∶
1
放大后的图形以及按
1
∶
2
缩小后的图形。
画图前需要理解
3
∶
1< br>和
1
∶
2
的含义，
从两个比得出长方形长、
宽的长度 变化，
这就加强了
图形放大、缩小的概念。
“利用方格纸等形式按一定比例将简单图形 放大和缩小”是课程标
准的要求，
因为方格纸上能直观显示每条边的变化情况，
操作比 较方便。例题问“放大后的
图形长和宽各是几格？缩小后的图形呢？”引导学生先理解表示图形放大和缩 小的比的含
义，确定放大（缩小）后图形的长与宽，再画出放大（缩小）的图形。教学这道例题，要把< br>力量放在放大、
缩小后图形长多少、
宽多少上，让学生说说自己的思考，实现例题的编写 意
图。
观察原来的长方形、
放大后的长方形、
缩小后的长方形三个图形，发现它们的大小不同，
形状相同。要再次体会图形放大或缩小，所有边的长度都按相同的比变化。< br>
“试一试”要求在方格纸上画出一个直角三角形按
2
∶
1
放 大后的图形。原来三角形的
两条直角边分别长
4
格和
1
格。
通常的画法是先画出放大后三角形的两条直角边，
一条长是
8
格，另一条长是
2
格，然后连线围成一个三角形。教材要求学生量一量放大后与放大前三
角形斜边的长度，引导他们发现放大后的斜边长度也是放大前斜边长度的
2
倍，
再一次体会
图形放大，它所有边的长度都按相同的比变化。
练习六第
2
题，
要 求先按
2
∶
1
的比画出给定正方形放大后的图形，
再按
1< br>∶
2
的比画出
给定长方形缩小后的图形。这道题除了画图以外，还有两点可以利 用：一点是比较
2
∶
1
与
1
∶
2
这两个比 ，进一步体验图形按
2
∶
1
放大和按
1
∶
2
缩小的含义。另一点是分别比较正
方形与它放大后的图形、
长方形与它缩小后的图形，
从正方形放大后仍然是正方形，
长方形
缩小后仍然是长方形，体验图形放大、缩小，只改变其 大小，不改变其形状。
（三）
以图形放大与缩小为素材，教学比例的意义
表示两个比相等的式子叫作比例。
教学比例的意义，
要找到比值相等的比，
而且把两个
比值相等的比写成等式。
教材联系图形放大与缩小教学比例的概念，
写出的比以及比值有现
实的含义，
两个比 组成的等式有具体意思可以解释。
在现实背景下，
学生理解比例的意义能
够容易一些、 深刻一些。
例
3
呈现把一张长方形照片放大的情景，
分别给出了放 大前长
6.4
厘米、
宽
4
厘米，
放
大后长
9.6
厘米、
宽
6
厘米这两组条件。
根据图形放大的含义，
学生能写出长方形照片放大
后与放大前长的比、
宽的比，
知道这两个比的比值相等。< br>例题没有要求他们写已经熟悉的比，
而是写出每张照片长和宽的比。
由于学生对每张照片 长和宽的比不太了解，
所以有研究这两
个比，
理解含义和发现比值相等的活动空间。< br>他们会像三个小卡通那样，
分别写出照片放大
前长和宽的比
6.4
∶< br>4
，照片放大后长与宽的比
9.6
∶
6
；算出这两个比的比值 ，发现两个比
的比值相等，
都是
1.6
；
理解比值
1.6< br>表示照片的长是宽的
1.6
倍，
体会到长方形照片放大，
它的长与宽的 比的比值不变。
这些都是对图形放大的新认识，
也是学习比例意义的可用资源。
上面写出的两个比的比值都是
1.6
，表示两个比相等。教材说：
“这两个比可以 写成等
式
6.4
∶
4
＝
9.6
∶
6
或者写成
6.4/4
＝
9.6/6
”
，指出“表示两个比相等的式 子叫作比例”
，突
出比例是两个比值相等的比组成的等式。
这一段教学是例题的重点，
学生从两个相等的比写
成等式，明白这样的等式是比例，意义建构了比例的概念。
< br>接着，教材要求分别写出照片放大后与放大前长的比和宽的比，这是学生很熟悉的比，
还知道这两 个比相等。
联系刚学习的比例意义，
作出这两个比能够组成比例的判断，
并且写
出组成的比例，
这就消化了比例的意义，
内化了比例的概念。
“练一练”
第
1
题给出四组比，
如果同组两个比的比值相等，
就可以组成比例；
如 果同组两个比的比值不相等，
就不能组成
比例。让学生进行这些判断，也是为了巩固比例的概念 。
除了图形放大与缩小，常见的数量关系中也能找到比例。
“练一练”第
2
题，所有商品
一律八折出售，任意一件商品现价与原价的比的比值都是
0.8
，利用给出的四件商品的原价
与现价，能够组成比例。题目要求“从中选择两组数据，组成一个比例”< br>，应该理解“两组
数据”在这里指的是什么，体会每一件商品的原价与现价就是“一组数据”，两件商品的原
价与其对应的现价就是“两组数据”
。练习六第
3
题，一 辆汽车上午行驶的路程和时间的比
与下午行驶的路程和时间的比，
能够组成比例。
因为 上午与下午行驶的速度相等。
上午和下
午行驶的路程比与上午和下午行驶的时间比，
也 能组成比例。
因为上午行驶路程是下午行驶
路程的倍数，
与上午行驶时间是下午行驶时 间的倍数相等。
第
6
题，
行驶的路程与时间的比，
在速度相等的前提 下，能够组成比例；铅笔总价和数量的比，
在单价相等时能组成比例。正
方形周长和边长的比一 定能组成比例，因为比值总是
4
（四条同样长的边）
。正方形面积和
边长的比 一定不能组成比例，
因为两个边长不同的正方形，
面积与边长的比不相等。
教材联系常见的数量关系认识比例，
以丰富的素材，
加强对比例的理解，
也为以后教学正 比例作些
铺垫。
练习六的后面编排一次“动手做”
。先观察两幅图，左图中 的两个长方形之间有放大与
缩小关系。如果着眼于大长方形，它的每一条边都缩短至原来的
1/ 2
，大长方形按
1
∶
2
的
比缩小成小长方形；
如果 着眼于小长方形，
它的每一条边都延长至原来的
2
倍，
小长方形按
2
∶
1
的比放大成大长方形。右图中的两个平行四边形之间也是放大与缩小关系。如果着 眼
于大平行四边形，它的每一条边都缩短至原来的
1/3
，大平行四边形按
1
∶
3
的比缩小成小
平行四边形；
如果着眼于小平行四边形，
它的每一条边都延长至原来的
3
倍，
小长方形按
3
∶
1的比放大成大平行四边形。然后要求照（上面的）样子分别把三角形和四边形按
2
∶
1
的
比放大。
这次“动手做”让学生在画图实践中，深入体验图形放大、 缩小的含义，深入体验图形
放大、
缩小是因其边的长度变化而发生的。
学生能否画出放 大后的三角形和四边形，
关键在
于能否从长方形、
平行四边形的放大中习得延长图形边 的操作方法。
所以，
观察两个长方形，
应重点关注小长方形放大成大长方形，
大长方形的边是怎样画的，
观察两个平行四边形，
要
关注把小平行四边形放大成大平行 四边形，
边是怎样画的，
并且把这些画法应用到放大三角
形和四边形上。
（四）
在图形缩小或放大的情境中，发现并应用比例的性质
教 学比例的性质，
能够更好地理解比例的意义，
还能解决有关的实际问题。
例
4
教学比
例的性质，
大致分五步进行：第一步，在按比例缩小三角形的情境里写出一些比 例，为研究
比例的基本性质准备充分的素材；
第二步，
教学比例的内项和外项，
这是认识比例性质必须
具备的概念；
第三步，
观察已经写出的几个比例，
初 步发现这些比例的两个外项的乘积等于
两个内项的乘积；第四步，再写出一些比例，
看看是否具 有同样的规律，并在字母表示的比
例上概括这样的规律；
第五步，
指出发现的规律是比 例的基本性质，
并在写成分数形式的比
例上体会比例的性质。
把三角形按比 例缩小，
根据图形缩小的含义，
联系在例
1
和例
3
里习得的 经验，
可以想
到缩小后与缩小前两个三角形底的比和高的比相等，
或者高的比和底的比 相等；
还可以想到
缩小前、后每个三角形底与高的比相等，
或者高与底的比相等。于是 ，
交流中出现四个不同
的比例。教材指出“组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项叫作 比例的外项，中间
的两项叫作比例的内项。
”并且选择一个比例，指出
6
∶< br>3
＝
4
∶
2
里，
3
和
4
是 比例的内项，
6
和
2
是比例的外项。还要求学生说说其他三个比例的内项和外 项各是几，掌握比例的项的
知识。
观察四个比例，能够发现，
6
和
2
总是同时做比例的内项，或者同时做比例的外项。
3
和
4
也是同时做比例的外项，或者同时做比例的内项。如果
6
和
2
是比例的内项， 那么
3
和
4
是比例的外项；
如果
6
和
2< br>是比例的外项，
那么
3
和
4
是比例的内项。
从而体会 这四个
比例中，两个外项的乘积等于两个内项的乘积。除了这四个比例，
其他比例也是“两个内 项
的乘积等于两个外项的乘积吗”
？可以再写出一些比例来验证，
检验前面四个比例里 的规律
是不是具有普遍意义。
尽管，
小学数学只能选择一部分比例来验证，
但 也体现了严谨的学习
态度。
通过比较丰富的实例，可以确认“两个外项的积等于两个内项的积”
是所有比例的共
同规律。
把比例用四个字母表示成
a
∶< br>b
＝
c
∶
d
，比例的两个外项的积等于两个内项的积可以写< br>成
a
×
d
＝
b
×
c
。教材用字母式 子表示这个规律，出于两点考虑：一是符号化能够提升对比
例性质的概括程度。
这里四个字母组 成的比例代表所有的比例，
字母表示的两个积相等，
是
所有比例的共同性质。
二是有利于应用。
以后解比例，
都要根据比例性质写出两个外项相乘
等于两个内项相乘 ，才能继续求解，应该让学生学会这个写法。
“试一试”
应用比例的基本性质，判断
3.6
∶
1.8
和
0.5
∶
0.25能否组成比例，
1/3
∶
1/4
和
18
∶
24
能否组成比例。在教学比例意义时，判断两个比能否组成比例，要看它们的比值
是不是相等。而 这里应用比例性质进行判断，思考线索应该是：如果这两个比能组成比例，
那么
3.6
×
0.25
的积会和
1.8
×
0.5
的积相等；
如 果这两个比不能组成比例，
那么
3.6
×
0.25
的积与
1 .8
×
0.5
的积不相等。所以，解决这个问题要分别计算
3.6
×
0.25
和
1.8
×
0.5
，并
比较两个积的大小 。至于组成的比例，可以是
3.6
∶
1.8
＝
0.5
∶0.25
，或者是
0.5
∶
0.25
＝
3.6
∶
1.8
。
“练一练”是“试一试”的延伸。第
1
题中一 列火车从甲城开往乙城，在行驶速度与相
应时间的三组数据中选择两组，写出一个“速度×时间
=
速度×时间”的式子，并改写出一
个比例。
这道题与
“试一试”
是
“接轨”
的。
第
2
题要求在
（）
∶
6=4
∶
（）
和
5
∶
（）
=
（）
∶8
的括号里填数，可以有多种思考。这里应突出“根据比例的基本性质”
，想“几与几相乘
的积是
24
”
，找到前一个比例的两个外项；想“几和几相乘的积是
40
”
，找到后一个比例的
两个内项。
练习七第
2
题给出四组数，每组四个数。要求先判断哪几组中的四个数可以组成比例，
再把组成的比例写出来。如
5
、
7
、
15
和
21
这四个数，由于5
×
21
＝
7
×
15
，所以这四个数
能够组成比例。
5
和
21
可以同时做比例的外项，
7
和15
同时做比例的内项；
5
和
21
也可以
同时做比例的 内项，
7
和
15
同时做比例的外项。一共可以写出
8
个不同 的比例。对于每一
个学生来说，
只要求正确写出一个比例，
并在交流时知道还能写出其 他比例就可以了，
不必
要求每个学生都写出
8
个比例。
（五）
应用比例的基本性质解比例，解决有关图形放大或缩小的实际问题
例
5
创设照片放大的情境，
给出原来照片的长和宽，
以及放大后照片 的长，
要求放大后
照片的宽。
解决这个实际问题涉及两个内容：
一是根据图形 放大的含义列出含有未知数的比
例，二是利用比例基本性质解比例。教材通过“玉米”卡通的问题“你是 怎样理解按比例放
大的？两张照片长与宽的比能组成比例吗？为什么”
给学生以思路的引导。< br>从图形放大的意
义，引出长与宽的比组成的比例；从比例里有一个未知项，教学解比例。
根据
“两张照片的长与宽能组成比例”
，
得出模型
“放大前的长∶宽
=
放大后的长∶宽”
。
这个比例中，三个项是已知数，一个项未知，因此设放 大后的照片宽
x
厘米，列出比例
6
∶
4
＝
13.5
∶
x
。这个比例也是一个方程。教材写出了解方程的第一步
6x
＝< br>4
×
13.5
，让学生思
考“这一步计算的依据是什么”
，理 解这里应用了比例的性质，体会比例性质可以用来求比
例中的未知项。
接着的解方程没有新知识 ，交给学生独立完成。教材告诉他们，求比例中的
未知项叫作解比例。
“试一试”< br>和“练一练”都是解比例的专项练习。因为用比例解决实际问题离不开解比
例，解比例应该成为学 生的计算能力。
“试一试”解写成分数形式的比例，帮助学生进一步
熟悉比例的外项和内项。< br>要留心学生是怎样应用比例性质，
并写出两个外项相乘等于两个内
项相乘式子的。
“练一练”解的三个比例分别由整数组成、分数组成和小数组成，分别需要
应用整数、
分数和 小数的乘、除法计算。
教材没有出现由分数和小数组成的比例，
因为小学
数学不要求进 行小数和分数的乘、除计算。
练习七第
5
题要求“根据比例的基本性质”写 出比例中的某个未知项，
第
6
题要求
“解
比例”
，这是教材 的有意安排。显然第
5
题是为第
6
题作准备，为解比例打基础的。加强对比例基本性质的理解，
有助于解比例的顺利进行。
完成第
6
题后再回顾第
5
题，
对比例性质
可以解比例的体验就深刻了。
应用解比 例不仅能解决图形放大、
缩小的问题，
也能解决其他情境的实际问题。
练习七
第
8
题，
解决调制蜂蜜水应加入多少蜂蜜的问题，
第
9
题解 决合唱组男生和女生的人数问题。
这些问题以前曾经用其他数学知识解答过，
现在应用比例性质 解答，
体现出解比例有广泛的
实际应用。
（六）
以图形放大与缩小为认知基础，教学比例尺
平面图是把现实的物体形状按一定的比例 缩小绘制而成的。
从平面图想象物体的实际形
状相当于把图形放大，
比例尺刻画了平面 图和实际的物体形状之间的缩小和放大关系。
本单
元教材在图形放大与缩小的基础上教学比例尺 ，
学生有比较好的认知背景，
他们在理解比例
尺知识的同时，形象思维也能得到很好的 发展。
例
6
主要教学比例尺的意义和表示形式。
教材创设了把长< br>50
米、
宽
30
米的长方形草坪
按比例缩小，
画成长
5
厘米、
宽
3
厘米的平面图的情境，
唤醒学生头脑里图形缩 小的知识经
验。
例题要求分别写出草坪长、
宽的图上距离和实际距离的比。
首 先要识别图上距离和实际
距离，
懂得平面图上边的长度是图上距离，
草坪上边的长度是 实际距离。
其次应理解要写出
哪两个比，一个是平面图的长和草坪实际长的比，另一个是平面图 的宽和草坪实际宽的比。
然后要统一图上距离和实际距离的长度单位，
使用相同的单位便于写比 和化简比。
有了这些
思想准备，写比就顺利了。
统一图上距离和实际距离的 长度单位，
可以把实际距离
50
米改写成
5000
厘米，
也 可以
把图上距离
3
厘米改写成
0.03
米。
只要图上距离和 实际距离的长度单位相同，
都能写出比。
但是，
写出的都不是最简单的整数比，都要化 简。
通过交流，
体会把实际距离改写成厘米作
单位的数量，写出的是整数比，
化简较方便；
把图上距离改写成米作单位的数量，
写出的是
小数比，化简较麻烦。由此 得到经验，通常应使用图上距离的长度单位来组成比。
例
6
的教学重点是比 例尺的概念。
教材指出，
图上距离和实际距离的比叫作比例尺。
由
于学生已经 两次写出这样的比，
所以建立比例尺的概念是感性认识的抽象提升。
教学应该强
调两点 ：首先，比例尺是一个“比”
，比的前项是图上距离，后项是实际距离。其次，比例
尺应该是最 简整数比，前项一般化简为
1
（本单元不涉及前项不是
1
的比例尺）
。教材讲解
比例尺的意义时，
还用数量关系式表示比例尺的含义和计算方法，
同时出现
“图上距离∶实
际距离＝比例尺”和“图上距离
/
实际距离＝比例尺”两种形 式的式子。学生可以根据这两
个数量关系式理解和记忆比例尺的意义，并根据这两个关系式求平面图的比 例尺。
比例尺除了写成比的形式，还经常用线段的形式表示，就是平常说的“线段比例尺”< br>。
一般来说，
写成比的比例尺
（下面称为数值比例尺）
容易表达图上距 离和实际距离的倍数关
系，
即图上距离是实际距离的几分之一，
实际距离是图上距离的 几倍。
画成线段的比例尺以
“平面图上
1
厘米的长度表示实际距离若干米（或 千米）
”的形式出现，能直观地表示图上
距离和实际距离的关系。
教材从数 值比例尺
1
∶
1000
引出线段比例尺，
先解释这个比例尺表示的意 思，
要学生说
出图上距离是实际距离的
1/1000
，实际距离是图上距离的
1000
倍，消化对比例尺
1
∶
1000
的认识。然后从图 上距离和实际距离的倍数关系，得出图上距离
1
厘米表示实际距离
10
米（
1000
厘米＝
10
米）
。
如果用线段表示这个比例 尺，
就是图上长
1
厘米的线段表示实际距离
10
米，
图上长
2
厘米的线段表示实际距离
20
米，
图上长
3
厘米 的线段表示实际距离
30
米……
这就是线段比例尺。
两种形式的比 例尺是相通的，可以互相转化。
“练一练”第
1
题的每一幅平面图上都有
两种 形式的比例尺，
让学生分别解释数值比例尺和线段比例尺的具体含义，
能体会它们的内
在联系，感受它们的相互转化。如根据比例尺
1
∶
200
可以知道图上距离< br>1
厘米表示实际距
离
200
厘米（
22
千米）
，就能画出线段比例尺；根据线段比例尺图上距离
1
厘米表示实际距
离
15
米（
1500
厘米）
，写成数值比例尺就是
1
∶
1 500
。第
2
题中，荷花村到杏树村的实际距
离是
15
千米 ，
图上距离是
3
厘米。
如果写出数值比例尺是
3
∶
1500000
，
化简为
1
∶
500000
；
如果 画线段比例尺是图上距离
1
厘米表示实际距离
5
千米。
（七）
应用比例尺的意义，灵活解决求图上距离和求实际距离的问题
根据平面图的比例尺，
可以把图上距离换算成实际距离，
也可以把实际距离换算成图上距离。
虽然这两种换算的方向相反，
却都要遵循比例尺的意义。例
7
已知 图上距离，求实际
距离，教学换算的原理；
“试一试”已知实际距离，求图上距离，引导学生创 造性地应用换
算的方法。教材的编排，既体现了教对学的主导作用，也体现了学的主体地位。
例
7
呈现一幅表示明华小学、
少年宫、
体育馆相互位置关系的平面图 ，
比例尺是
1
∶
8000
。
已知明华小学到少年宫的图上距 离是
5
厘米，
求实际距离是多少米。
进行图上距离和实际距
离的换算 ，关键在理解比例尺的具体含义。根据给出的比例尺
1
∶
8000
，学生中会 有不同的
思考。有人像“萝卜”卡通那样想到实际距离是图上距离的
8000
倍，于是 用
5
×
8000
计算
实际距离。有人会像“蘑菇”卡通那样想到图上
1
厘米表示实际距离
8000
厘米（
80
米）
，< br>图上
5
厘米表示实际距离
5
个
80
米，
于是 列算式
5
×
80
求实际距离。
出现多种思考和解法，
表明学 生正确理解了比例尺的意义，能灵活应用比例尺概念。
例题的重点是帮助学生列出比例式，< br>用解比例的方法解决问题。
列比例式的依据是比例
尺的意义，在数量关系式“图上距离< br>/
实际距离＝比例尺”的上面，图上距离是
5
厘米，比
例尺是
1/8000
。如果设实际距离为厘米，就能列出一个含有未知数的比例，通过解比例也
能得到 实际距离。
教材编排这种解法，
给学生多一次理解和应用比例尺意义的机会，
多一种< br>求实际距离的方法。
教学这种解法，
要注意设句里实际距离的长度单位，
这个单 位必须和图
上距离的单位相同。
“玉米”卡通提出“明华小学到体育馆的实际距离是 多少？量一量、算一算”
，让学生
独立解决根据图上距离求实际距离的问题。教学要帮助学生明 白，利用平面图及其比例尺，
求实际距离，图上距离可以量得，实际距离需要算出，比例尺是解决问题的 “钥匙”
。
“试一试”
仍旧利用例题的平面图呈现问题，
要求学生 根据
“医院在明华小学的正北方
向，它们之间的实际距离是
240
米”
，算出明华小学到医院的图上距离，并在平面图中表示
出医院的位置。
完成这项任务，
首先要算出医院和明华小学的图上距离。
学生可以在多种解
法里选择自己喜欢的算法，
用类似例
7
的想法，
解决求图上距离的问题。
在平面图上表示医
院 所在的位置，
还要联系方向知识，
先找到明华小学的正北方向。
教学要指导学生，根据 得
到的图上距离，
在学校正北方向
3
厘米处做一个记号表示医院，
并 且在学校与医院之间连一
条线段。学生在这次“试一试”里，能初步感受画平面图的主要工作：找到合适 的比例尺、
计算有关的图上距离、确定方向等，为以后制作简单的平面图作了准备。
练习八配合例
6
和例
7
的教学，内容大致安排成三块：第一块是第
1
、
2
两题，求平面
图的比例尺，
有的要求表示成数值比例尺，
有的要求表示成线段比例尺，
都能巩固比例尺的
概念。第二块是第
4
、5
两题，分别是求实际距离和求图上距离的问题，帮助学生进一步掌
握比例尺的知识，提高 解决简单问题的能力。第三块是第
6
～
9
题，整理并应用比例尺的知
识。
其中第
6
题的表格里要求分别填写比例尺、
实际距离和图上距离，
综合了有关比例尺的
全部知识内容，
有利于学生形成比较完整的认知结构；
第
7
题在平面图的问题里，
添加了常
用数量关系和时间的知识，综合性较强。第
8
、
9
两题是简单的实践活动，要求在地图上量
量、算算，或制作简单的平 面图，都在实际应用比例尺的知识，能培养实践能力。
【探索规律面积的变化】
学生在《比例》这个单元里，初步知道图形放大或缩小时， 形状没有改变，所有边的长
度都按相同的比变化。事实上，图形放大，它的面积变大了；图形缩小，它的 面积变小了。
本次探索规律，
专题研究图形放大后，它的面积是怎样变化的。通过图形放大，它 面积变化
的倍数和边长变化的倍数不同，进一步加强图形放大的概念。也为计算放大后图形的面积，找到一种方便的算法。
教材分四段编写：提出问题——探索实践——总结规律——回顾反思。
（一）
提出问题这一段，重点引导学生弄清要研究什么
教材先呈 现一个小长方形和按比例放大后的大长方形，通过测量得到小长方形的长
3
厘米、
宽< br>1
厘米，大长方形的长
9
厘米、
宽
3
厘米。分别写出 大长方形与小长方形长的比和
宽的比，得出小长方形是按
3
∶
1
的比 放大的。接着要求估计大长方形和小长方形面积的比
是几比几，
并分别算出两个长方形的面积，
验证估计是否正确。
学生观察大、
小两个长方形，
能够看出大长方形有
9
个小长方形那么大，估计它们的面积比是
9
∶
1
。如果利用两个 长方
形的长和宽，算出它们的面积，也能得到大、小长方形的面积比是
9
∶
1
。于是发现一个现
象：长方形按
3
∶
1
的比放大，放大后长 方形每条边的长度是原来长方形的
3
倍，面积却是
原来长方形的
9
倍 。
简单些说，
长方形按比例放大，边长变化的比和面积变化的比不同。由
此联想
“其他平面图形放大，面积的比又会怎样呢？”这就形成了新的研究课题。
这一段教
材组织学 生联系熟悉的知识，
开展熟悉的活动，
从中发现和提出新的数学问题，
接受和理解新的学习任务，以积极的心态参与探索规律的活动。
（二）
探索实 践这一段，
研究不同的平面图形按不同的比放大，
放大后的面积是原来
图形的几倍
像这样的举例研究是小学生能够进行的。
如果研究的实例有较大的覆盖面，
得出 的结论
会有较强的说服力。为此，教材呈现了正方形按
3
∶
1
放大、 三角形按
2
∶
1
放大、圆按
4
∶
1
放大的 过程，选择了三种不同的图形、三个不同的比，具有一定的代表性。让学生测量各
个图形放大后与放大前 有关对应边的长度，
说出图形是按几比几放大的；
算出各个图形放大
后的面积和放大前 的面积，
得出放大后与放大前图形面积的比；
把量出的长度，
算出的面积、
得 出的比都填入教材的表格里，
发现每个图形放大后与放大前的长度比不等于面积比，
但却
是有联系的两种比。
只要测量与计算不发生意外，能够得到正方形放大后与放大前的边长比
3
∶
1
，面积比
9
∶
1
；三角形放大后与 放大前底（高）的长度比
2
∶
1
，面积比
4
∶
1< br>；圆放大后与放大前半
径的长度比
4
∶
1
，
面积比< br>16
∶
1
。
这些实例证实了平面图形按比例放大，
放大后与放 大前的
面积比和对应边的长度比是不一样的。这一段教材组织学生看图形、量长度、算面积、
写 出
比，
给了他们很大的活动空间，
有利于他们用丰富的现实材料感受图形放大前、后面积的变
化情况。
（三）
在总结规律这一段，要做三件 事情：
说说自己发现的规律，用含有字母的比表
达面积的变化规律，放大平行四边形验证规律< br>
表达图形面积的变化规律，
需要对各种图形按不同的比放大，
面积也随着变化 的现象进
行概括，
把共同的特征用一种简便的形式表示出来。
寻找面积变化的共同点，
应比较每个图
形放大后与放大前边长和面积的变化，看到正方形的边长按
3
∶
1
变化、面积按
9
∶
1
变化，
三角形的底（高）按
2
∶
1
变化、面积按
4
∶
1
变化，圆的半 径按
4
∶
1
变化、面积按
16
∶
1
变化。
不难发现，面积变化的倍数是边长变化倍数的平方。这就是图形放大，面积随之变化
规律。表达规律有多种形式，
可以像
“萝卜”
卡通那样，
列举
“长度比 是
2
∶
1
，
面积比是
4
∶
1
；长 度比是
3
∶
1
，面积比是
9
∶
1
；长度比 是
4
∶
1
，面积比是
16
∶
1
……”可以 像“辣椒”
卡通那样，用比较概括的语言讲述规律“
（长度比和面积比）两个比的后项都是1
，面积比
的前项是长度比前项的平方。
”如果用含有字母的比
n
∶
1
（
n
是大于
1
的自然数，下同）表
示图形的 放大，那么放大后与放大前图形的面积比是
n2
∶
1
。这也是一种表示形式。 教材鼓
励学生先用自己的话说说规律，
加深对规律的认识，
再用含有字母的比表示规律 ，
提升数学
化程度，发展符号意识。
从正方形、
三角形、
圆放大的实际例子中发现面积的变化规律，进行的是归纳推理。教
材要求学生用平行四边形验证面积变化 的规律，
丰富对规律的感知，
充实对规律的信心。
可
以引导他们在方格纸上任 意画一个平行四边形，
并把它按比例放大；
分别测量放大后与放大
前平行四边形的底和 高，
算出放大后与放大前平行四边形的面积；
分别组成放大后与放大前
的长度比和面积 比，
观察面积比与长度比之间是不是存在上面概括的规律。
这些活动在前面
已多次进行 ，
学生有能力独立完成。
想办法验证发现的规律，
是探索规律过程中的重要一步，是科学精神、严谨态度的具体表现，应该得到重视和落实。
（四）
回顾探索规律的过程与方法，积累数学活动经验
可以组织学生说说发现了什么规律，
是怎样发现的；
列举了哪些例子，
想想还能举出其
他例子吗；
长方体 、
正方体是否能按比例放大，体积比和长度比之间是否也有规律等等，只
要帮助他们打开话题， 应该有许多话要说。
【第五单元确定位置】
本单元教学用方向和距离确定物体所在的位置。
确定位置的教学很早就开始了。一年级用上下、左右、前后等方位词，
表示物体之间的
位置关系。如×在×的上面、×的右 边是×。二年级用东、南、西、北，东南、东北、西南、
西北等方向词描述物体所在的位置。
如 ×的正北方有×，
×在×的东北方向。
这些表示和描
述只是指出了物体的大致位置，< br>不够准确。
本单元继续教学确定位置，
把方向和距离结合起
来，准确地描述物体 所在的位置。全单元编排三道例题，具体安排见下表：
例
1
用方向和距离表示位置的知识
例
2
在平面图上用方向和距离表示物体的位置
例
3
描述行走的路线
从方向与距离两个方面确定物体所在的位置，
要联系已有的 认识方向的经验，
教学一些
新的方向词语；
还要应用量角和画角、量线段和画线段的方 法，以及比例尺的知识。由于涉
及的知识技能比较多，教学可能会有一定难度。但学生能进一步了解方向 、
体会距离，
有利
于发展空间观念。他们综合应用数学知识、技能解决问题，相应的能 力会有明显的提高。
（一）
在已有方向知识的基础上，教学新的确定位置方法
用方向和距离确定位置，
包括方向的知识和距离的知识。
例
1
确定位置的描述方式是
“灯
塔< br>1
在轮船的北偏东
30
°方向
30
千米处”
。其中“ 北偏东
30
°”是灯塔
1
相对于轮船的方
向，
“
3 0
千米”是灯塔离轮船的距离。显然，
“北偏东”是新的方向词语，像这样的词语还
有 北偏西、
南偏东、
南偏西。
这些应该是例题的教学内容。
“北偏东
3 0
°”
是新的方向概念，
它是什么意思？它怎么度量、怎么表示？也是例题的教学内容 。
“
30
千米”是灯塔
1
和轮船
之间的实际距离，
把它表示在平面图上需要应用比例尺的知识，
虽然实际距离转化成图上距
离是旧知识，却要和新 方向知识结合起来应用，也是例题的教学内容。
为此，例
1
把教学设
计成四步 进行，充分利用已经认识的东、南、西、北以及东南、东北、西南、西北等方向，
逐步构建确定位置的新 方法。
第一步，
呈现一艘轮船向正北方向航行的示意图，
要求说出图中的灯 塔
1
和灯塔
2
分别
在轮船的什么方向。学生联系二年级学习的方向知 识，能说出“灯塔
1
在轮船的东北方向”
“灯塔
2
在轮船的西北方向 ”
。东北和西北，既是旧知识，也是新知识的生长点。所以说，
这一步教学是回忆并激活有关的 知识经验，把学生带进新知识的最近发展区。
第二步，教学“北偏东”
“北偏西”两 个表示方向的词语。教材指出：东北方向也叫作
北偏东，
西北方向也叫作北偏西。
引出 了描述方向的两个新词语。
还有两个新词语
“南偏东”
“南偏西”
在后面教学 中陆续带出来。
教学新方向词语要让学生仔细体会词语的含义：
以前
的东北、西南等方 向以“东”和“西”为主，东面和北面之间称为东北，东面和南面之间是
东南，西面和北面之间称为西北 ，西面和南面之间是西南。现在教学的方向词语以“北”和
“南”
为主，北面和东面之间称为北 偏东，北面和西面之间是北偏西，
南面和东面之间称为
南偏东，南面和西面之间称为南偏西。< br>
第三步，
在轮船航行的示意图上，
教学用方向和距离确定位置的方法。
教材利用示意图
展开学习活动：
以轮船所在位置为观测点，
灯塔
1
在轮船的北偏东多少度方向多少千米处？
在图中看一看、算一算，并在教科书上填一填。
示意图上能直观看出，灯塔
1
在轮船的北偏东
30
°方向，根据示意图的 线段比例尺能
看到灯塔
1
离轮船
30
千米。于是形成“灯塔
1
在轮船的北偏东
30
°方向
30
千米处”的描
述，这就是 用方向和距离确定位置。
学生需要分三层理解“灯塔
1
在轮船的北偏东30
°方向
30
千米处”的描述。首先是理
解“北偏东
30°”的含义。在示意图上能够看到，灯塔
1
与轮船的连线和轮船的正北方向
夹30
°角，即灯塔
1
的位置在轮船正北偏东
30
°的方向上。体 会这里用角的度数刻画灯塔
1
所在方向是必要的，如果没有角的度数，只讲北偏东方向，灯塔< br>1
所在的方向仍然不够精
确。其次是理解
30
千米的意思。平面图上使 用的线段比例尺，图上
1
厘米表示实际距离
10
千米，轮船到灯塔
1
的图上距离是
3
厘米，两地间的实际距离应是
30
千米。体会这个“
30
千米”
是轮船和灯塔
1
的实际距离，
如果没有这个距离 ，
灯塔
1
的位置也不够确定。然后是
理解“北偏东
30
°方 向
30
千米”
，既明确了方向、又明确了距离，也就确定了物体的位置。
< br>第四步，调整认知结构。
“玉米”卡通提出问题“以前学过哪些确定位置的方法？现在
又 有了哪些新的认识？”
引导学生回忆以前的方向知识、
体会现在学习的确定位置的方法与
以前的方法有联系，
是以前方法的发展和综合，
比以前的方法更准确。
既把新知识建 立在过
去知识的基础上，又体验新知识“新在何处”
，从而加强对新知识、新方法的理解。
“练一练”
仍然联系轮船航行的示意图，
要求在教科书上填写
“灯塔< br>2
在轮船的北偏西
55
°方向
40
千米处”
，
重温用方向和距离确定物体所在位置的方法，
起巩固例
1
所教学知识
的作用 。
（二）
根据给定的方向和距离，在平面图上确定物体所在的位置
例
2
呈现 的平面图上，
给出了黎明岛的东、
南、
西、
北四个方向，
以及平面图 的比例尺。
要求在图上表示黎明岛北偏东
40
°方向
20
千米处的清 凉岛的位置。
这是一次画图技能的教
学。
在图上画出清凉岛的位置，首先要 理解“北偏东
40
°方向
20
千米”的含义，识别其中
的方向内容和 距离内容。其次要用量角器画
40
°的角，根据比例尺把实际距离换算成图上
距离，还 要画
2
厘米长的线段表示实际距离
20
千米。学生已经学过这些知识和方法， 应该
有能力完成画图任务。
这次画图涉及许多数学内容，
关键是要安排好画 图的步骤。
为此，
教材要求学生思考画
法并在小组里交流。
这是很重要的一步 教学环节，
直接关系到能不能顺利画出清凉岛的位置。
画图分两段进行：
先 确定清凉岛所在的方向——找到黎明岛的北偏东方向，
画出北偏东
40
°的角，
黎明岛就在角的一条边上。
再确定清凉岛所在的距离——平面图的比例尺是图上
1
厘 米表示实际距离
10
千米，清凉岛离黎明岛的实际距离是
20
千米，图上距离 应该是
2
厘
米。
按这样的步骤不仅能画出清凉岛的位置，
还能体会用 方向和距离确定物体的位置既合理
又严密。课堂上要关注学生用量角器画
40
°角的方 法，量角器的中心应该和表示黎明岛的
点重合，
0
°刻度线应该和表示正北方向的射线 重合，
40
°刻度线应该在黎明岛北偏东的方
向上。
另外，
还应给学生三点画图指导：一是北偏东的射线要画得轻些、
细些，只要自己能看
到就行；二是 射线上找到清凉岛的位置，
可以用一个圆点表示，圆点要画得清楚，
并在旁边
标注“清 凉岛”
；三是把黎明岛和清凉岛之间的线段适当描粗些，并且每
1
厘米一段，分成两段，便于看出图上距离和实际距离各是多少。
配合例
2
的
“ 练一练”也要求画图，
让学生初步学会用方向和距离确定位置的方法。仍
然在例
2的平面图上，按“南偏西
30
°方向
30
千米”表示出红枫岛的位置。教 学应注意，
例
2
里的“北偏东”已经在例
1
里教过，学生已经理解这 个方向词语。
“练一练”里的“南
偏西”是第一次出现，要让学生解释这个方向词语，正确理解 其意思。另外在动手画图前，
还可以组织学生说说
“在平面图上用方向和距离确定位置”
的方法与步骤，
既作为例
2
学习
的回顾反思，又作为“练一练”的思想准备 。
（三）
应用确定位置的知识，描述行走的路线
例
3
呈现了李伟家附近部分街道的平面图，
要求学生说说李伟从家到大港小学的行走路< br>线，在现实情境中应用确定位置的知识。
李伟上学的路线是三条或多条线段连成的折线 。
首先要明白怎样说——依次说出从家出
发向什么方向走到哪里，
再朝什么方向走到哪 里……最后朝什么方向走到学校。
然后放手学
生说说李伟上学行走的路线，
并在小组里 交流。
由于李伟是沿着街道行走的，
平面图没有给
出各街道与正北方向的夹角，
也没有给出各街道的长度，
只能用以前学习的或者刚刚学习的
方向词语描述行走的方向与路线 。
四个小卡通的交流虽然说法各不相同，
却都是应用东、
北、
东北、北偏东等 词语的描述。
放学回家的行走路线与上学的路线刚好相反，
不仅行走的方向相反，< br>而且途经的标志性
建筑的出现次序也相反。
说说回家路线有利于对知识、技能的理解和掌 握。
另外，
从上学路
线到回家路线也渗透了“倒推”的思想方法，是解决问题的一种策 略。
练习九是全单元的练习。第
1
、
2
、
3题配合例
1
的教学，巩固例
1
所教的方向知识。第
1
题 的雷达屏幕里，以机场为顶点的周角被
12
等份，每个角都是
30
°。以机场 为圆心画了
几个同心圆，每两个相邻圆之间的距离表示
10
千米。这样，在图上用方向 和距离表示飞机
所在位置就很方便了。题目通过“飞机
A
在北偏东
30
°方向
30
千米处”
，帮助学生读懂雷
达屏幕的示意图，通过在示意图上分 别表示飞机
B
、
C
、
D
、
E
的位置，练习 用方向和距离确
定位置的方法。
第
3
题在地图上看看
“
（学 生自己）
所居住的地区在北京的什么方向”
。
题目
以“南京在北京的南偏东方 向”
示范了该怎样说：
一是确定自己居住地所处位置，
以通过北
京的“南北” 纵线为标准，可以在地图上画出这条纵线，或者把这条纵线想在头脑里。二是
只要说出自己居住地与北京 的相对方向，不要说出距离。
第
5
、
6
题配合例
2
的教学，都是要求在平面图上表示物体所在的位置。
第
8
、
9题配合
例
3
的教学，
从题目里可以看到，
需要描述的路线不是很 长。
因为太长的路线只是方向在频
繁变化，学生会感到繁琐，也会失去练习的兴趣。
这 两题只用方向词语描述行走的路线，难
度不大，而且与日常生活很贴近。
【第六单元正比例和反比例】
本单元在比和比例，
以及常见数量关系的基础 上编排。
通过两个数量保持商一定或者积
一定的变化，
教学正比例和反比例关系。让学生在建立正比例和反比例概念的同时，
受到函
数思想的熏陶，为第三学段的数学教学打 基础。
正比例和反比例历来是小学数学的重要内容之一。
与过去教材相比，
本单元进一步加强
正、反比例的概念教学，突出正比例关系的图像以及简单应用，淡化脱离现实背景的判 断，
加强正、反比例知识与现实生活的联系，
不要求应用正比例、
反比例解决实际问题 。全单元
编排三道例题，具体安排见下表：
例
1
正比例的意义
例
2
正比例关系的图像及应用
例
3
反比例的意义
（一）
抽象常见事例中的数量变化规律，形成正比例概念
当两个互相有关的变量
x
和
y
在变化过程中保持其比值不变时，
称
x
与
y< br>成正比例关系。
就学生而言，
日常生活中接触具有正比例关系事例的机会是比较多的，< br>有学习正比例知识的
现实背景。
如速度保持不变的物体，
运动的时间与路程；< br>单价不变的物品，
购买的数量与总
价；
每小时工作量不变，
工作的时间 与工作的总量……但是，
正比例是相当抽象的数学概念，
理解正比例关系的内涵，
用符 号概括表示正比例的本质特征，
都有一些难度。
随着正比例概
念的逐步形成，
数学思维能够得到很好的发展，
把握具体事例中的数学内容，
概括数学规律
的能力会有 提高。
正比例关系是较简单的函数关系，
学习正比例的概念，
能受到函数思想的
熏陶，对以后的中学数学学习很有好处。
例
1
让学生初步感知“两种相关 联的量”以及成“正比例关系的量”的含义。后者是例
题的内容重点，
因为成正比例关系的两个 量必定是相关联的。
认识正比例关系之前，
应该先
认识相关联的数量。
教材选择汽车在公路上行驶的事例，
用表格呈现一辆汽车行驶时间和路程的数据，
要求写出几组相对应的路程和时间的比，发现各个比的比值都是
80
，理解这个
80< br>是这辆汽车每
小时行驶的千米数，
由此得出描述这辆汽车行驶过程的数量关系：
路程数量＝速度
（一定）
。
在这个数量关系式中，路程比时间等于速度是旧知识，速度 “一定”是这个情境的特点，是
正比例概念的生长点。
这一段教材组织学生感知正比例现象，< br>教学不宜过快。
在观察汽车行
驶的时间与路程的表格时，要看到行驶的时间越多，路程越 长，不仅为体会“相关联的量”
作准备，还有利于感受汽车行驶速度保持不变。要说说表格里的数据，从
1
小时行驶
80
千
米、
2
小时行驶
160
千米、
3
小时行驶
240
千米……理解路程和时间的“相对应”。
还要说说
表格里两个省略号的意思，想象汽车继续行驶，体会速度始终是每小时
80
千米不变。
教材指出路程和时间是两种相关联的量，
用“时间变化，< br>路程也随着变化”
具体解释两
种量“相关联”的含义。认识“相关联的量”是建立正比例 或反比例概念的前提，两种量成
正比例或反比例关系，它们必定按某种确定的关系相随着变化。学生只要 知道一种量变化，
会引起另一种量的变化，就初步体会了两种量“相关联”的意思。
教材接着指出
“当路程和对应时间的比的比值总是一定时，
行驶的路程和时间是成正比
例的量，它们之间的关系是正比例关系”
。这是对正比例意义的初步描述，学生在这些描述
中首 次感知正比例关系。
要让他们注意其中的两点：
一是理解
“比的比值总是一定”
的意思，
并适应这样的表述。这里可以用“也就是速度一定”具体解释比的比值总是一定。
“ 比的比
值总是一定”
是正比例关系的固有属性，
能够描述所有正比例关系的本质特征，
学生应该学
会这样的表述。
二是理解正比例关系是两个量之间的关系，
成正比 例的量一定是指两个数量。
“试一试”
在另一组数量中继续感知正比例关系。
教材用表格给出购买同一种铅笔的数
量与总价，让学生根据买
1
支
0.4< br>元、买
2
支
0.8
元、买
3
支
1.2
元，填出买
4
支、
5
支、
6
支的总价，初步感受铅笔的单 价每支
0.4
元不变，数量在变化，总价也在变化。然后通过
四个连续的问题，深入研 究这里的数量与总价的关系。第（
1
）问是说说总价随着哪个量的
变化而变化，寻找两 种相关联的量，确认总价和数量这两种量相关联。第（
2
）问是写出几
组相对应的总价 和数量的比，并比较各个比的比值，发现它们的比值都相等。第（
3
）问要
解释比值的 意思，理解它就是铅笔的单价，体会比值相等，同时用式子“总价
/
数量＝单价
（一定 ）
”表示总价和数量之间的变化关系。学生写出数量关系式不会有多大的困难，而单
价“一定” 往往会忘了标注，要提醒他们写出单价一定。第（
4
）问是作出铅笔的总价和数
量成正 比例的判断，
学生已经写出了总价和数量的关系式，
看到了总价和数量的比的比值保
持 不变，作出总价和数量成正比例的判断会水到渠成。教材编排这个“试一试”的意图主要
有两点：
一是丰富对正比例关系的感性认识。
学生在例
1
里感知了路程和时间成正比例，现
在又感知了总价和数量成正比例，
能体会日常生活中经常有成正比例关系的量。
正比例关系
的共同特点是对应数量的比的比值一定，
这就为抽象出正比例概念积累了资源。二是再次经
历发现两种量成正比例关系的过程，
如果再遇到两种相关联的量，
就能 像这样写出一些相对
应数量的比，从比的比值是不是保持一定，判断两种量是不是成正比例的量。
学生在例
1
和“试一试”
中，两次从感知了正比例的具体含义，只要概括 出两个实例的
数量关系的共同本质特征，就能形成正比例的概念。教材紧接着“试一试”
，用字 母
x
和
y
分别表示两个相关联的量，用
k
表示它们的比值， 用式子“
x/y
＝
k
（一定）
”表示它们的关
系，
抽象概括了正比例的意义。
这是一段数学化程度很高的思维活动，
用符号揭示正比例关
系的特征，
不仅有利于学生深刻认识正比例的意义，
也是发展数学思考的极好机会。
用 字母
组成的式子表示正比例关系是教学的一个难点。
要把抽象的字母与具体的数量联系起来，< br>使
学生感到字母代表了许多具体的数量，如字母
x
代表路程、总价……字母y
表示时间、数
量……还要体会用字母表示正比例意义的好处，
明白速度一定的路 程和时间、
单价一定的总
价和数量，都具有关系式
x/y
＝
k
（一定）
。凡是具有这样关系的两种相关联的变量，就是成
正比例的量。
“玉米”卡 通提出“生活中还有哪些成正比例的量？能举例说说吗？”引导学
生带着初步形成的正比例概念，
回归日常生活，
通过寻找成正比例关系的量，
进一步体验正
比例关系的本质特征。这 是数学概念教学经常需要的“具体化”环节。
为了帮助学生更好地理解正比例的意义，
巩固正比例概念，
教材安排了三个层次的练习
题。第一层次是“练一练”第
1
题，要求学生研究生产零件的数量和时间的关系。教材为研
究关系设计了两个问题，
学生只要 顺着问题写出几组对应数量的比，
并计算比值，
根据比值
都相等，作出成正比例关系的 判断。第二层次是“练一练”第
2
题和练习十第
1
题，研究做
服装的 数量和用布的数量、订阅
《趣味数学》杂志的数量和总价是否成正比例。教材只在表
格里给出几 组做服装的数量和用布的数量，
几组订阅的份数和总价，
要求学生自主开展判断
活动。 他们可以借鉴例题、
“试一试”以及“练一练”第
1
题里的判断线索与方法，通过几< br>组对应数量的比的比值相等，
作出做服装的数量和用布的数量、
订阅杂志的份数和总价成 正
比例的判断。
第三层次是练习十第
2
题，
引导学生体会两种相关联 的量有可能成正比例，
也
可以不成正比例。在正方形按比例放大的情境中，由于周长
/
边长＝
4
（一定）
，周长和边长
成正比例；而面积
/
边长＝边长，不存在相同的比值，面积和边长不成正比例。学生在上述
的判断中，
能够获得对 正比例比较深刻的认识，他们的正比例概念会更加清楚、牢固，
判断
两个相关联量成不成正比例 的能力也会有很大的提高。
（二）
用图像直观表达正比例关系，感受两种量的同步变化
例
2
教学正比 例关系的图像。
这是按课程标准的要求
“根据给出的有正比例关系的数据
在方格纸上画 图，并根据其中一个量的值估计另一个量的值”编排的。
小学数学里正比例关系的图像，在直 角坐标系上是以原点（
0
，
0
）为端点，向右上方延
伸的射线。中学数学里，
相关联的两种量不单取正数，还可以取负数，
正比例关系的图像是
经 过或者不经过原点的直线。所以，本单元把正比例图像说成“直线”是恰当的。图像能够
直观形象地表示 一种量变化，
另一种量也随着变化，
两种量相对应的数的比的比值相等。
正
比 例图像比较简单，特征比较明显，适宜让学生初步接触。
教材直接呈现一幅根据例
1
的数据画成的图像，
设计的三个问题体现了教学正比例图像
的三个步骤：第一步认识方 格纸上的点，按照“
A
点表示
1
小时行
80
千米”
“
B
点表示
5
小
时行
400
千米”
，要求 学生说出方格纸上标出的其他各点的具体含义。学生有数对确定位置
的知识与经验，
能够体会各 个点都表示汽车在某段时间内所行驶的路程，
还能体会这些点是
根据每组对应的时间和路程在方 格纸上画出来的。
教学这一步，
应先观察方格纸上的横轴和
纵轴，
了解横轴用 来表示行驶的时间，纵轴用来表示行驶的路程。
再观察各个点的位置，了
解各个点表示的时间与 路程。
第二步认识正比例图像的形状。
连接方格纸上的各点，
所有点
都在一条 直线上。这就是说，正比例关系的图像是一条直线。
了解正比例图像是直线，
将会
起两 点作用：
一是根据图像的形状，
可以判断两种相关联的量成不成正比例关系。
如果方格
纸上表示两种量所有对应数量的点都在同一条直线上，
这两种量是成正比例的量；
如果 表示
两种量对应数量的点不在同一条直线上，
这两种量一般不成正比例关系。
二是可以 检验画出
的正比例图像是否正确，
如果成正比例关系的两种量的所有对应数量的点，
不 在同一条直线
上，表明描点出现了错误，应及时检查并纠正。第三步应用图像，
估计行驶时间所 对应的路
程或者行驶路程所用的时间。
要指导学生联系数对确定位置的经验，
利用画垂 线和平行线的
技能尽量使估计的结果准确些。如估计
2.5
小时行驶多少千米，先要在 横轴上找到表示
2.5