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绝世美人儿
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2021年01月27日 21:19
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多面体的体积和表面积
图形
立
方
体
长
方
体
∧
棱
柱
∨
三
棱
柱
尺寸符号
棱
锥
棱
台
圆
柱
和
空
心
圆
柱
∧
管
∨
图形
尺寸符号
斜
线
直
圆
柱
直
圆
锥
圆
台
球
球
扇
形
∧
球
楔
∨
球
缺
图形
尺寸符号
圆
环
体
∧
胎
∨
球
带
体
桶
形
交
叉
圆
柱
体
梯
形
体
常用图形求面积公式
图形
尺寸符号
面积（
F
）
表面积（
S
）
正方形
长方形
三角形
平行四边形
任意四边形
正多边形
菱形
图形
尺寸符号
面积（
F
）
表面积（
S
）
梯形
圆形
椭圆形
a·
b-
主轴
F= (π/4) a·b
扇形
弓形
圆环
部分圆环
图形
尺寸符号
面积（
F
）
表面积（
S
）
新月形
L d/10
P 0.40
2d/10 3d/10 4d/10
0.79 1.18 1.56
5d/10 6d/10 7d/10
1.91 2.25 2.55
抛物线形
等多边形
公式分类
乘法与因式分解
a
-b
=(a+b)(a-b)
|a+b|≤|a|+|b|
三角不等式
|a-
b|≥|a|
-|b|
一元二次方程的解
根与系数的关系
-
b+√(b
-4ac)/2a
X1+X2=-b/a
b
-4a=0
判别式
b
-4ac>0
b
-4ac<0
2
2
2
2
2
2
【
1
】公式表达式
a
+b
=(a+b)(a
-ab+b
)
|a-
b|≤|a|+|b|
-
|a|≤a≤|a|
-b-
b+√(b
-4ac)/2a
X1*X2=c/a
【
2
】三角函数公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A-B)=(tanA- tanB)/(1+tanAtanB)
ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA- tanB=sin(A-B)/cosAcosB
-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n
-1)=n
1
+2
+3
+4
+5
+6
+7
+8
+…+n
=n(n+1)(2n+1)/6
1*2+2*3+3
*4+4*5+5*6+6*7+… +n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
a
-b
=(a-b)(a
+ab+b
)
|a|≤b<=>
-
b≤a≤b
注：韦达定理
注：方程有相等的两实根
注：方程有一个实根
注：方程有共轭复数根
3
3
2
2
两角和公式
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2
某些数列前
n
项和
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)
1
+2
+3
+4
+5
+6
+…n
=n
(n+1)
/4
3
3
3
3
3
3
3
2
2正弦定理
余弦定理
圆的标准方程
圆的一般方程
抛物线标准方程
直棱柱侧面积
正棱锥侧面积
圆台侧面积
圆柱侧面积
弧长公式
锥体体积公式
斜棱柱体积
柱体体积公式
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
b
=a
+c
-2accosB
(x-a)
+(y-b)
=r
x
+y
+Dx+Ey+F=0
y
=2px
S=c*h
S=1/2c*h'
S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l
S=c*h=2pi*h
l=a*r
V=1/3*S*H
V=S'L
V=s*h
2
2
2
2
2
2
2
2
2
注：
其中
R
表示三角形的外接圆半径
注：角
B
是边
a
和边
c
的夹角
注：（
a,b
）是圆心坐标
注：
D
+E
-4F>0
y
=-2px
斜棱柱侧面积
正棱台侧面积
球的表面积
圆锥侧面积
a
是圆心角的弧度数
r >0
圆锥体体积公式
圆柱体
2
2
2
x
=2py
S=c'*h
S=1/2(c+c')h'
S=4pi*r
S=1/2*c*l=pi*r*l
扇形面积公式
V=1/3*pi*r
h
注：其中
,S'
是直截面面积，
L
是侧棱长
V=pi*r
h
2
2
2
2
x
=-2py
s=1/2*l*r
2
高等数学公式
一、初等函数的求导公式
1
、
常数和基本初等函数的求导公式：
（
1
）
(
c
)
0
（
2
）
(
x
)
x
1
（
3
）
( sin
x
)
cos
x
（
4
）
(cos
x
)
sin
x
（
5
）
( tan
x
)
sec
x
（
6
）
(cot
x
)
csc
x
（
7
）
(secx
)
sec
x
tan
x
（
8
）
(csc
x
)
csc
x
cot
x
（
9
）
(
a
)
a
ln
a
（
10
）
(
e
)
e
（
11
）
(log
a
x
)
< br>x
x
x
x
2
2
1
1
（
12
）
(ln
x
)
x
ln
a
x
（
13
）
(arcsin
x
)
1
1
x
2
（
1 4
）
(arccos
x
)
1
1
x
2
（
15
）
(arctan< br>x
)
1
1
（
16
）
(
arc
cot
x
)
2
2
1
x
1
x
（
17
）
(
shx
)
chx
（
1 8
）
(
chx
)
shx
（
19
）
(
thx
)
1
2
（
20
）
(
arcshx
)
(ln(
x
x< br>
1
)
)
2
ch
x
x
2
1
)
)
1
x
2
1
（
22
）
(
arcth x
)
(
ln
1
x
1
2
（
21
）
(
arcchx
)
(ln(
x
1
2
1
x
1
)
2
1
x
1
x
2.
导数的运算法则：
（
1
）代数和的导数
如果
、
都是
的可导函数，则
（
2
）
乘积的导数
如果
、
都是
的可导函数，则
也是
的可导函数，并且
也是
的可导函数，并且
即常数因子可以移到导数符号外面
.
例
1
求函数
解：
的导数
（
3
）
商的导数
如果
、
都是
的可导函数，且
，则函数
也是
的可导函数，并且
例
1
求函数
的导数
解一
：
（
4
）
复合函数的导数
设函数
，
，即
是
的一个复合函数
.
如果
在点
处有导
数
，
在对应点
处有导数
，则复合函数
在点
处的导数也存在，而且
例
1
求函数
的导数
.
解
：
设
例
2
求函数
解：
设
的导数
.
，则
，则
（
5
）
隐函数的导数
以前，我们所 接触的函数，其因变量大多是由其自变量的某个算式来表示的，比如：
y
x
2
5
,
y
x
sin
2
e
x
,
z
x
ln
y
e< br>y
sin
x
等等，象这样一类的函数称为显函数。但在实际
x
问题中，
函数并不全是如此，
设
F
(
x
,
y
)
是定义在区域
D
R
2
上的二元函数，
若存在 一个区域
I
，对于
I
中的每一个
x
的值，恒有区间
J
上唯一的一个值
y
，使之与
x
一起满足方程：
F
(
x
,
y
)
0
……
（
1
）就称方程（
1
）确定了一个定义域为
I
，值域含于
J
中的函数，这个函
数就称为由方程（
1
）所确定的隐函数，若将它记为
y
f
(
x
),
x
I
，则有 ：在
I
上
，
F
(
x
,
f
(
x
))
0
。
1
5
x2
【例
1
】
5
x
4
y
< br>1
0
确定了隐函数：
y
。
4
2
【例
2
】
x
2
y
2
1
能确定出定义在
[
1
,
1
]
上的函数值不小于
0
的隐函数
y
1
x
2
，
也能确定出定
义在
[
1
,
1]
上的函数值不大于
0
的隐函数
y
1
x
2
。
上面求
f
(
x
)
的过程是将一个隐函数转化为显函数，也称为隐函数的显化。
注
1
：在不产生误解的情况下，其取值范围可不必一一指明；
2
：并不是任一方程（
1
）都能确定出隐函数，比如：
x
2
y
2
1
0
，不可能找到
y
f
(
x
)
，使
得
x
2
[
f
(
x
)]
2
1
0
；
3
：即使方程（
1
）能确定一个隐函数，但未必能象上二例一样从方程中解出
y
，如：
1< br>y
x
sin
y
0
，我们可证 明它确实能确定一个隐函数，但无法表示成
y
f
(
x
)< br>的形式，即不能
2
显化。实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，如果隐函数可显化， 则求导没什么问题，同前
一样，若隐函数不能显化，我们就直接从（
1
）算出其隐函数 的导数。
dy
【例
3
】
5
x
2
4
y
1
0
，求
。
dx
解：在方程的两边同时对
x
求导，得
dy
dy
10
5
10
x< br>
4
0
x
< br>x
。
dx
dx
4
2
dy
【例4
】求由方程
e
y
xy
e
0
所确定的隐函数
y
y
(
x
)
的导 数
；
dx
dy
【例
5
】求由方程
y5
sin
xy
x
3
x
7
所确定的隐函数
y
在
x=0
处的导数
|
x
0
；
dx
【例
6
】求由方程
sin (
x
y
)
y
2
cos
x确定的曲线在点
(0,0)
处的切线方程；
（
6
）
、对数求导法
对连乘、连除以及根式、乘幂等函数可用取对数求导法
.
例
1
求函数
的导数
.
解：
对函数两边取对数得：
再两边对
求导得：
故
（
7
）参数方程的求导
由参数方程确定的函数的导数
x
(
t
)
x
r
cos
表示圆
y
(
t
)
y
r
sin
< br>
dy
dy
dt
dy
dx
'
(< br>t
)
y
t
'
/
< br>
dx
dt
dx
dt
dt
'< br>(
t
)
x
t
'
d
2
y
d< br>dy
d
'
(
t
)
dt
'
'
(
t
)
'
(
t
)
'
(
t
)
'
'
(
t
)
1
(
)
[
]
2
2
dx
dx
dt
'< br>(
t
)
dx
'
(
t
)
d x
[
'
(
t
)]
d
[
y
'
]
dt
y
'
'
dx
dt
x
v
1
t
例
5
． 抛射体运动的参数方程
1
2
，求时刻
t
的运动速度
v
；
y
v
2
t
gt
2
解
x
t
'
v1
，
y
t
'
v
2
gt< br>，
v
x
t
'
2
y
t< br>'
2
v
1
(
v
2
< br>gt
)
2
且
v
的方向：
tan
y
'
dy
y
t
'
v
2
gt
dx
x
t'
v
1
2
（
8
）可导与连续的关系：可导必连续，连续 不一定可导
2.
三角函数的有理式积分：
2
u
1
u
2
x
2
du
sin
x
< br>，
cos
x
，
u
tg
，
dx
2
2
2
1
u
1
u
1
u
2
3.
一些初等函数：
两个重要极限：
e
x
e
x
双曲正弦
:
shx
2
e
x
e
x
双曲余弦
:
chx
2
shx
ex
e
x
双曲正切
:
thx
chx
e
x
e
x
arshx< br>
ln(
x
archx
ln(
x
arthx
1
1
x
ln
2
1
x
x
2
1
）
x
2
1
)
sin
x
lim
1
x
0
x
1
lim
(
1
)
x
e
2< br>.
7182818284
59045
...
x
x
4.
三角函数公式：
·诱导公式：
函数
角
A
-
α
90°
-
α
90°
+
α
180°
-
α
180°
+
α
270°
-
α
sin
cos
tg
-
tgα
ctgα
ctg
-
ctgα
tgα
-
ctgα
ctgα
tgα
-
sinα
cosα
cosα
cosα
sinα
sinα
-
sinα
-
ctgα
-
tgα
-
cosα
-t
gα
-
sinα
-
cosα
tgα
-
cosα
-
sinα
ctgα