圆锥体积公式
巡山小妖精
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2021年01月27日 21:28
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篇一：圆锥体体积公式的证明
圆锥体体积公式的证明
证明需要几个步骤来解决：
1)
圆柱体的微分单元是三棱柱
,
而圆锥体的微分单元是三棱锥。
所以
,
只要证明三棱锥的体积，是等底等高的三棱柱的体积的
1/3
，即可知题目所求正确。
2
）如图，一个三棱柱可以切分成三个三棱锥：
(< br>上图中
,
第二个“等底等高”的“高”是横着的，而“底”是竖着的。
)
现在需要证明，
这三个三棱锥，
体积都是相等的，
也就是各自的体积都是图中三棱柱的体
积的
1/3.
证明需要的命题是：底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。
3
）如图，底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。这个命题的证明，需要基本
的一个原理：祖暅原理。
注释：祖暅原理
祖暅原 理也就是
“等积原理”
。
它是由我国南北朝杰出的数学家、
祖冲之
( 429-500)
的儿子祖
暅
(g
è
ng)
首先提出来的。
祖暅原理的内容是：
夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何
平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体 积相等。
在西方，
直到
17
世纪，
才由意大利数学家卡瓦列里
（
Cavalieri.B,1589-1647)
发现。
于
1635
年出版的
《连续不可分几何》
中，
提出了等积原 理，
所以西方人把它称之为
“卡瓦列里原理”
。
其实，他的发现要比我国的祖 暅晚
1100
多年。
祖暅原理的思想
我们都知道“点动成线，线动成面，面动成体”这句话，直线由点构成，点的多少表示直
线的长短； 面由线构成，也就是由点构成，点的多少表示面积的大小；几何体由面构成，就
是由线构成，
最 终也就是由点构成，
点的多少也表示了体积的大小，
要想让两个几何体的体
积相等，也 就是让构成这两个几何体的点的数量相同，祖暅原理就运用到了它。
两个几何体夹 在两平行平面中间，可以理解为这两个几何体平行面间的的高度相等。两平
行面之间的距离一定，若视距 离为一条线段，
那么这个距离上就有无数个点，过一个点，可
以画出一个平行于两平行面的截面 ，
若两几何体在被过每一点的平行截面截出的截面面积两
两相等，
则说明两几何体在同 一高度下的每两个截面上的点的数量相同。
有无数个截面，
同
一高度每两个几何体的截 面上的点的数量相同，
则说明，
这两个几何体所拥有的点数量相同，
那么也就是说，它 们的体积相同。所以我们可以用这种思想来理解祖暅原理。
这个原理说 ：
如果两个高度相等的立体，在任何同样高度下的截面面积都相等，
那么，这
两个立体 的体积就相等。
所以，下图可证明：若两三棱锥的底面（三角形）全等 ，高度相等，那么它们在任何高度
上的截面（三角形）也必然全等。于是可以根据祖暅原理断言：
等底等高的三棱锥，体积都相等：
三棱柱的体 积，与立方体的体积一样，是底面积乘以高，
（三棱柱可来自于半个立方体）
：
知道有关三角形的相似、比例、全等的一些定理，就可深入完成题目的证明。
==================================== ===============
下面这个图
,
说明了一个直接的、有趣的推论：
注意上面这个图，在推算球体的体积的时候，还可以用到。
下面再给几个有趣的推论，直到求出球体的体积和表面积公式
:
篇二：圆台体积计算公式
圆台体积计算公式：
1
、
V=
∏×
h
×
(R2
﹢
R
×
r
﹢
r2)/3
V:
体积
∏：
3.14 h
：圆台高度
R
：圆台大面半径
R
：圆台小面半径
2
、
V=
∏×
h
×
(D2
﹢
d2
﹢
D
×
d)/12
V:
体积
∏：
3.14 h
：圆台高度
D
：圆台大面直径
D
：圆台小面直径
圆柱体积计算公式：
1
、
V=
∏×
D2
×
h/4 D
：圆台直径
h
：圆台高度
∏：
3.14
2
、
V=
∏×
R2
×
h R
：圆台半径
h
：圆台高度∏：
3.14
篇三：圆柱、圆锥常用的表面积、体积公式
圆柱与圆锥
例题精讲
板块一
圆柱与圆锥
【例
1
】
如图，用高都是
1
米，底面半径分别为
1.5
米、
1
米和
0.5
米的
3
个圆柱组成一
个物体．问这个物体的
表面积是多少平方米？
(
π
取
3.14
)
0.51
1111.5
【例
2
】
有一个圆柱体的零件，高
10
厘米，
底面直 径是
6
厘米，
零件的一端有一个圆柱
形的圆孔，圆孔的直
径是
4
厘米，孔深
5
厘米
(
见右图
)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一
共要涂多少平方厘米？
【例
3
】
(
第四届希望杯
2
试试题
)
圆柱体的侧面展开，
放平，
是边长分别为
10< br>厘米和
12
厘米的长方形，那
么这个圆柱体的体积是________
立方厘米．
(
结果用
π
表示
)
【例
4
】
如右图，是一个长方形 铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶
(
接头
处忽略不计
)
，求这
个油桶的容积．
(
π
?
3.14)
【巩固】
如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成
1
个圆
柱体，这个圆柱体
的底面半径 为
10
厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？
(
π
?3 .14)
【例
5
】
把一个高是
8
厘米的圆柱体，
沿水平方向锯去
2
厘米后，
剩下的圆柱体的表面积< br>比原来的圆柱体表
面积减少
12.56
平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？
【巩固】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短
4
厘米，表 面积就减少
50.24
平方厘
米．求这个圆柱体的
表面积是多少？
【例
6
】
(2008
年第二届两岸四地”
华罗庚金杯”
少年数学精英邀请赛
)
一个圆柱体形状的
木棒，沿着底面直
径竖直切成两部分．已知这两部分 的表面积之和比圆柱体的表面积大
2008cm2
，则这个圆