定积分求体积
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2021年01月27日 21:39
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定积分在几何上的应用
2
——求立体的体积
有两种情形的几何立体的体积可用定积分来计算，它们是
(1)
平行截面面积已知的立体
选与平行 截面垂直的直线为
x
轴，
截面面积
(
函数
)
为S(x)
．
设立体可在的
x
轴上的
范围是区间
[a，
b]
，任取一小区间
(
“微元”
)[x
，
x
＋
Δ
x]
，夹在过两个端点的平行平面
间的立体体积
(“微元”
)
Δ
V
与相应的圆柱体体积
S(x)
Δ
x
，它们相差至多是
Δ
S
·
Δ
x
＝
[d S
＋
0(
Δ
x)]
Δ
x
＝
[S'(x)< br>Δ
x
＋
0(x)]
Δ
x
＝
0(
Δ< br>x)
，即
Δ
V
＝
S(x)
Δ
x
＋< br>0(
Δ
x)
，或
dV
＝
S(x)dx
，由此 得到立体体积
⑧式所说明的和立体几何中的“祖暅原理”是一回事．
(2)
旋转体．
由曲线
y
＝
f(x)(f(x)
≥
0
，
a
≤
x
≤
b)
与直线
x
＝
a
，
x
＝
b及
x
轴所围图形绕
x
轴旋转
而成的立体的体积为
因为在坐标
x
处的截面面积为
S (x)
＝
π
f
2
(x)
，故由⑧即得⑨．
解
取
z
轴为积分轴，积分变量
z
的取值范围是－
c
≤
z
≤
c
，椭球与在
z
处垂
所求椭球的体积为
例
8
以一平面截半径为
R
的球， 截体高为
h
，求被截部分的体积．
解
取垂直于截面的直径方向为
x
轴，
即积分轴，
在沿
x
轴的截面上建立坐标系如
图
1
．
被截下的部分可以视为由阴影部分绕
x
轴旋转所得的旋转体，其体积为
其 中
h
的取值范围可以是
0
＜
h
＜
2R
．此 即立体几何中的球缺体积公式．
例
9
设 底半径为
a
的圆柱，被一过底面直径的平面所截，如图
2
，截下楔形的高为
h
．求此楔形的体积．
解
取截面与底面相交的直径方向为
x
轴，底面中心为原点，于是考 虑－
a
≤
x
所求楔形体积为