高中数学球的表面积与体积教案
温柔似野鬼°
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2021年01月27日 21:44
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第三课时
球的表面积与体积
（一）教学目标
1
．知识与 技能
（
1
）了解球的表面积与体积公式（不要求记忆公式）
.
（2
）培养学生空间想象能力和思维能力
.
2
．过程与方法
通过作 轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系
.
3
．情感、态度与价值
让 学生更好地认识空间几何体的结构特征，培养学生学习的兴趣
.
（二）教学重点、难点
重点：球的表面积与体积的计算
难点：简单组合体的体积计算
（三）教学方法
讲练结合
教学过程
新课引入
教学内容
复习柱体、锥体、台体的表面
积和体积，点出主题
.
4
1
．球的体积：
V
R
3
3
师生互动
师生共同复习，教师点出
点题（板书）
师：设球的半径为
R
，那
设计意图
复习巩固
2
．球的表面积：
S
4
R
2
4
么它的体积：
V
R
3
，
它 的
3
面积
S
4
R
2
现在请大 家
观
察这两个公式，思考它们都有
什么特点？
生：这两个公式说明球的
探索新知
体积和表面积都由球的半径
R
惟一确定
.
其中 球的体积是半
径
R
的三次函数，
球的表面积
是半径
R
的二次函数
.
加
强
对
公
式
的
认
识
培
养
学
生
理解能力
师
(
肯定
)
：球的体积公
式和球的表面积公式以后可
以证明
.
这节课主要学习它们
的应用
.
典例分析
例
1
如图，圆柱的底面直径
与高都等于球的直径
.求证：
教师投影例
1
并读题，学
生先独立完成
.
教师投 影答案
本题较易，
学
生
独
立
（
1
）
球的体积
等
于
圆
柱
体
积
的
2
；
3
并点评（本题联系各有关量的
关键性要素是球的半径）
完成，
有利
于
培
养
学
生
问
题
解
决的能力.
（
2
）球的表面积等于圆柱的
侧面积
.
证明：
（
1
）设球的半径为
R
,
则圆柱 的底面半径为
R
，高为
2
R
.
4
因为
V< br>球
R
3
，
3
V
圆柱
R
2
2
R
2
R
3
，
2
所以，
V球
V
圆柱
.
3
（
2< br>）因为
S
球
4
R
2
，
S
圆柱侧
2
R
2
R
4
R
2
，
所以，
S
球< br>
=
S
圆柱侧
.
教师投影例
2
并读题，
例
2
球与圆台的上、< br>下底面及
侧面都相切，且球面面积与圆台的
侧面积之比为
3:4
，则球 的体积与
圆台的体积之比为（
）
A
．
6:13
B
．
5:14
C
．
3:4
D
．
7:15
通
过
师
生
讨论，
突破
问
题
解
决
的关键，
培
养
学< br>生
空
间
想
象
能
力
和
问
题< br>解
决
的
能
师：请大家思考一下这道
题中组合体的结构特征.
生：球内切于圆台
.
师：你准备怎样研究这个
组合体？
生：画出球和圆台的轴截
面
.
【解析】如图所示，作圆台的
轴截
面
等
腰
梯
形
ABCD
，球
的
大
圆
O
内切于梯形
ABCD
.
师：圆台的高与球的哪一< br>个量相等？
生：球的直径
.
师：根据球和圆台的体积
公式，你认为本题解题关键是
什么？
力
.
生：求出球的半径与圆台
的上、下底面半径间的关系
.
师投影轴截面图，边分析
设球的半径为
R
，圆台的上、
下底面半径分别为< br>r
1
、
r
2
，由平面
边板书有关过程
. < br>几何知识知，
圆台的高为
2
R
，
母线
长为
r
1
+
r
2
.
师：简单几何体的切接问
题，包括 简单几何体的内外切
和内外接，在解决这类问题时
要准确地画出它们的图形，一
般要通 过一些特殊点，如切
点，某些顶点，或一些特殊的
线，如轴线或高线等，作几何
∵∠
AOB
=
90°
，
OE
⊥
AB
(
E
为切点
)
，
∴
R
2
=
OE
2
=
AE
·
BE
=
r
1
·
r
2< br>.
由
已
知
S
球
∶
S
圆
台< br>侧
=
4
R
2
∶
2
(
r
1
+
r
2
)
= 3
∶
4
2
(
r
1
+
r
2
)
=
16
2
R
.
3
体的截面，在截面上运用平面
V
球
∶
V
圆台
=
4
R
3
3
1
(
r
1
2
r
1
r
2
r
2
2
)
2
R
3
几何的知识，研究有关元素的
位置关系和数量关 系，进而把
问题解决
.
本
题
有
两
种
解
题
方
法 ，
此处采
用
构
造
法
解题，
目标
培
养
学
生
联想，
转化
化
归
的
能
力< br>.
另一种
方法，
因要
应
用
球
的
性质 ，
可在
以后讨论
.
2
R
2
2
R
2
=
2
(
r
1
r
2
)
r
1
r
2
16
2
R
R
2
3
6
.
13
故选
A.
例
3
在球面上有四个点
P
、
A
、
B
、
C
，如果
P
A
、
PB
、
PC
两两
垂直且
P
A
=
PB
=
PC
=
a
，求这个
球的体积
.
教师投影例
3
并读题，学
生先思考、讨论，教师视情况
控制时间 ，给予引导，最后由
学生分析，
教师板书有关过程
.
师：计算球的体积，首 先必须
先求出球的半径
.
由于
P
A
、
PB
、
PC
是两两垂直的而且相等的
解：
∵
P
A
、PB
、
PC
两两垂直，
P
A
=
PB
=
PC
=
a
.
∴以
P
A
、
PB
、
PC
为相邻三条
棱可以构造正方体
.
三条棱，所以
P
–
ABC
可以看
成一 个正方体的一角，
四点
P
、
A
、
B
、
C< br>在球上，所以此球可
视为
P
A
、
PB
、
PC
为相邻三条
棱的正方体的外接球，其直径
为正方体的对角线
.
又∵
P
、
A
、
B
、
C
四点是球面
上四 点，
∴球是正方体的外接球
，正
方体的对角线是球的直径
.
3
∴
2
R
3
a
,
R
a
.
2