高中数学集合论文
萌到你眼炸
933次浏览
2021年01月27日 21:52
最佳经验
本文由作者推荐
读繁星春水有感-公司端午节祝福语
集合思想在高中数学中的应用
集合是近代数学中的一个重要概念，
集合思想 已成为现代数学的理论基础，
与高
中数学的许多内容有着广泛的联系，
中学数学所研究 的各种对象都可以看作集合
或集合中的元素，
用集合语言可以明了地表述数学概念，
准 确、
简捷地进行数学
推理。集合论的创始人是徳国数学家康托尔（
，
1845 - 1918
）。他的
集合思想的主要特征包括概括原则、
外延原则、一一对应原则和实无穷思想。
其
概括原则用于造集，
外延原则保证了集合的确定性 ，
一一对应原则引出了基数概
念，揭示了无穷集的本质特征。三个原则的采用，使数学中引入了 实无穷思想。
数学教师在教学中还可以运用集合思想建立数学概念系统，
或在复习教学中帮助< br>学生归纳、
整理数学知识。
对于数学学习来说，
要帮助学生养成这样一种集合的
思维习惯：
善于把在某些方面有类似性质的对象
（或满足某一条件的对象）
放 在
一起视为一个集合，
然后利用集合的有关概念或通过集合的有关计算来研究和解
决问 题。人教
B
版教材中更是注重了集合思想
,
下面谈谈教材在集合思想的突出< br>应用：
应用一
：
中学数学中常见的集合有（
1
）数 集；（
2
）方程（或方程组的）解集；
（
3
）不等式（或不等式组） 的解集；（
4
）点集。
只有深刻理解集合概念，
明确集合中元素的 属性，
熟练地运用集合与集合的关系
解决具体问题上下功夫
,
才能读懂用集合 语言描述的数学命题，并顺利地用集合
语言解答方程或不等式问题。
例
1< br>：集合
M={y∣y=x
-
1,x∈R},N={x∣y=
2
},
则
M∩N
等于（
）
分析
：集合
M
中的元素是
y,
它表示函数
y=x
2
-1
的值域，从而
M=
{
y∣y≥
-1}.
集
合N
中的元素是
x,
它表示函数
y=
因此，M∩N={x∣
}
的定义域，
从而
N={
x∣
}.
例
2< br>：设
f(x)=
x
2
+ax+b,a,b∈R,A={x∣f(x)= x}={a},求
a,b.
分析
：
A
是方程
f(x)=x
的解集，
A={a}
表示方程有两个相等的实根
a
。
< br>方程即为
x
2
+(a-1)x+b=0
，又
a
是方程 的解，由韦达定理可求
a=
,b=
更为重要的是，
集合思想沟通了 数和形的内在联系，
使得由某个图形性质给出的
点集和满足某性质
P
的实数对 组成的集合建立起一一对应的关系，
进而使中学数
学能够用代数方法解答几何问题，
能 够对代数命题给出几何解释，
还能够通过几
何图形来解决代数问题。僻如新教材中球、椭圆、双 曲线、抛物线等概念都是用
集合定义的，形象又直观，便于学生理解。
例
3
：
集合
A={(x,y)∣y=x
+
m},B={(x,y)∣y=
求
m
的取值范围。
},< br>如果
A∩B
是单元素集，
分析
：集合
A
表示的是斜率 为
1
的一组平行直线，集合
B
表示的方程变形为
x
2
-y
2
=4(y≤0)，
表示双曲线
x
2
-y
2
=4
在
x
轴下方的部分
（包括两个交点）
，
而A∩B
是单元素集，则说明直线与半双曲线有一个公共点。如图：
将 双曲线的一条渐近线
y=x
分别向上、向下平移，可得
m
的取值范围是
m≤
-2
或
0
集合的关系、
集合的运算等都 是从元素的角度予以定义的。
因此，
求解集合问题
时，抓住元素的特征进行分析，就相 当于牵牛抓住了牛鼻子。
应用二
：
主要表现为一个概念是另一个概念的一般 化，或此概念是彼概念的特
殊情形。
用集合的包含关系建立概念系统，
可以 培养学生善于将概念推广的研究精神，
并
能帮助学生对数学定理、
法则、
公式 等的认识进一步系统化，
从而提高学习质量。
如：
{
正方体
}
{
长方体
}
{
直平行六面体
}
{
平行 六面体
}
柱
}
；数列与函数两概念；互斥事件与对立事件两概念等。
{
四棱柱
}
{
棱
例４：给出四个命题：（
1
）各侧面是正方形的棱柱都是正棱柱，
（
2
）对角面是
全等矩形的六面体一 定是长方体，（
3
）有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直
棱柱，（
4
）长方体一定是正四棱柱。其中正确命题的个数是：
A .0 B.1 C.2 D.3
分析
：借助集合间的关系，明确各概念的联系和区别。此题选
A
。
例５：
数列
{a
n
}
是等差数列，
a
1
=50,d=
-0.6
，
求此数列的前
n
项和的最大值。
分析
：数列的定义域是正整数集（或它的有限子集
{1
、
2
、
3
、
4
、„„n}），因
此可把数列作为特殊函数理解。
思路
1
：表示等差数列的孤立的点在直线上，因此可应用单调性
。
由
a
1
=50,d=
-0.6,
得
an=
-0.6n+50.6,
令
an≤0
,有
n≥84.3 。
又
n
则
n≥85,即从第
85
项起以后各项均小于
0
。所以
(Sn)
max
=S84
=2108.4
,
思路
2
：等差数列的 前ｎ项和
Sn
是关于
n
的二次函数
,
可用二次函数的方法处
理
。
Sn=50n +
数，即
n=4
时，
Sn
达到最大值
S
84
=2108.4
,
当
n
取接近于的自然
例６：若以连续掷两次骰子分别得到的点数
m,n
作为点
P
的坐标，求点
P
在圆
内的概率。（人教
B
版必修
3
，
118
页第
3
题）
分析
：记点< br>P
在圆
本事件总数是
内为事件
A
，则
A
是基 本事件空间
的
子集
。基
,A
包含的基本事件有（
1
，
1
）（
2
，
2
）（
1
，
3）（
1
，
2
）
（
2
，
3
）（
3
，
1
）（
3
，
2
）（
2
，
1
）共
8
个，
.
应用三：有 许多数学问题，它的解是由几个条件决定的，每一个条件都可
以确定某种元素的一个集合，它们的交集的 元素就是问题的解，对这样一类数
学问题，我们常可以运用求交集的思想来试错与筛选。
例７：求函数
y=
的定义域。（人教
B
版必修
1
，86
页第
4
题）
分析
：
函数的定义域是指使 式子有意义的集合，
由多个式子经过代数运算而成的
函数，求其定义域需取多个式子有意义的< br>交集
。
由
得
所以函数的定义域是（
）
。
例８：
已知函数
y=
在
[-1,+
∞]上是减函数，
求
a
的取值范围
.
分析
：本题含着两层意思：
3x
2
-ax+5>0
在
[-1,+
∞]上恒成立，
t=3x
2
-ax+5
在
[- 1,+
∞]上是增函数，实数
a
的范围是两者的
交集
。
< br>由题意得：
，且满足
x=-1
时
3x
2
-ax+5> 0,
综上得
-8
。
而有些需要分类讨论的问题，解题过 程往往过于繁杂，此时运用
补集
的思想
(
即
“正难则反”思想
)
去解答，常常可以简化讨论。
例９：
掷
3
枚硬币，
至少出现一个正面向上的概率是
（人教
B
版必修
3
，
13 1
页第
2
（
3
）题）
分析
：
“ 至少出现一个正面向上”的事件含有１个向上，
２个向上，
３个向上３
类可能，
正面做答比较繁琐，
可以从它的对立面出发，
考虑“一次也不出现正面
向上”即“全 是反面”的概率。
Ｐ＝１－
＝
。
例１０：如果一元二次 方程
ax
2
+2x+1=0
至少有一个负的实数根，确定这个结论
成 立的充要条件。（人教
B
版选修
2
—
1
，
31页第
6
题）
分析
：
“方程至少有一个负的实数根”有 一个负根，
两个负根两类可能，
正面做
答比较繁琐，可以从它的对立面出发，考虑“方 程没有负的实数根”。
由
有，
。
又
a
无解。
因此，
。