人教版高中数学《任意角的三角函数三角函数线》教案
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2021年01月27日 21:59
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《任意角的三角函数
——
三角函数线》
教学背景:
1
.教材地位分析:三角函 数是中学数学的重要内容之一,而
三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想,
又贯穿
整个三角函数的教学
.
借助三角函数线可以推出三角函数诱导公式,
求 解三角函数不等式,探索三角函数的图像和性质,可以说
,
三角函
数线是研究三角函数 的有利工具
.
2
.学生现实分析:学习本节前
,
学生已经 掌握任意角三角函数的
定义
,
三角函数值在各象限的符号
,
以及诱导 公式一
,
为三角函数线的
寻找做好了知识准备
.
教学目标:
1
.
知识目标
:
使学生掌握如何利 用单位圆中的有向线段分别表示
任意角的正弦、余弦、正切函数值
,
并能利用三角函数 线解决一些简
单的三角函数问题
.
2
.
能力目标
:
通过尺规作图让学生经历概念的形成过程,
提高学
生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力;充分发挥学生的自主
探究性,让学生借 助所学知识自己去发现新问题,并加以解决,提高
学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能 力
.
3
.情感目标:激发学生对数学研究的热情,培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神;通过学生之间、师生之间的交流合作,
实现共同探究、教学相长的教学 情境
.
教学重点难点:
1
.重点:三角函数线的作法及其简单应用
.
2
.
难点:
利用与单位圆有关的有向线段,
将任意角的正弦、
余弦、
正切函数值 分别用它们的几何形式表示出来
.
教学方法与教学手段:
1
.教法选择:“设置问题,探索辨析,归纳应用, 延伸拓展”
——科研式教学
.
2
.学法指导 :类比、联想,产生知识迁移;观察、实验,体验
知识的形成过程;猜想、求证,达到知识的延展
.
教学过程:
一、设置疑问
,
实验探索(
17
分钟)
(
一
)
设置疑问,点明主题
前面我们学习了角的弧度制,角
弧度数的绝对值
< br>,其中
l
是以角
作为圆心角时所对弧的长,
r
l< br>r
是圆的半径
.
特别地
,
当
r
=1时,
l
,此时的圆称为单位圆,这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值,
那么能否用几何图形来表示任意角
的正弦、余弦、正切函 数值呢?这就是我们今天一起要研究的问题
.
设计意图:
既可以引出单位圆,
又可以使学生通过类比联想主动、
快速的探索出三角函数值的几何形式
.
(二)概念学习,分散难点
有向线段:带有方向的线段
.
(
1
)方向:按书写顺序,前者为起点,后者为终点,由起点指
向终点
.
如:有向线段
OM
,
O
为起点,
M
为终点,由O
点指向
M
点
.
(动态演示)
(2)
数值:(只考虑在坐标轴上或与坐标轴平行的有向线段)
绝对值等于线段的长度,若 方向与坐标轴同向,取正值
;
与坐标
轴反向,取负值
.
如:
OM= 1
,
ON= -1
,
AP =
设计意图:
相关概念的学习分散了教学难点
,
使学生能 够更多的
围绕重点展开探索和研究
.
(三)试验探索
角
的终边上任意一点
P(
除端点外
)
的坐标是(
x
,
y
),它与原点
的距离是
r,
比值
叫做
的正弦
.
思考
:
能否用几何图形表示出角
的正弦呢
?
学生联想角的弧度数与弧长的转化
,
类
比猜测
:
若令
r=1
,则
sin
y
.
取角
的终边
与单位圆的交点为
P,
过点
P
作
轴的 垂线,
设垂足为
M
,则有向线段
MP=
y
sin
.(
学生
y
r
分析的同时
,
教师用几何画板演示
)
请学生利用几何画板 作出垂线段
MP,
并改变角的终边位置
,
观察终
边在各个位置的情形
,
注意有向线段的方向和正弦值正负的对应
.
特
别地
,当角的终边在
轴上时
,
有向线段
MP
变成一个点
,记数值为
0.
这条与单位圆有关的有向线段
MP
叫做角
的
正弦线
.
2.
思考
:
用哪条有向 线段表示角
的余弦比较合适
?
并说明理由
.
请学生推导说明
,
老师用图形演示
.
有向线段
OM
叫做角
的
余弦线
.
3.
tan
如何用有向线段表示?
讨论焦点:
若令
x
=1,
则
tan
y
=AT
,
但是第二、
三象限角的终边上没有横坐
标为
1
的点,若此时取
=-1
的点
T
‘
,
tan
=-
=T
‘
A
‘
,
有向线段
的表 示方法又不能统一
.
引导观察:
当角的终边互为反向延长线时,它们的正切值有什么关系?
统一认识:
< br>方案
1
:在象限角的终边或其反向延长线上取
=1
的点
T,则
tan
y
=AT
;
yx
方
案
2
:
借
助
正
弦
线、
余
弦
线
以
及
相
似
三
角形
知
识
得
到
t
a
n
y
M
P
A
T
AT
.< br>
x
OM
OA
动画演示验证
:
当角
的终边落在坐标轴上时,
tan
与有向线段
AT
的对 应
.
这条与单位圆有关的有向线段
AT
叫做角
的
正切线
.
二、作法总结
,
变式演练(
13
分钟)
(一)作法总结
正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线
.
< br>请大家总结这三种三角函数线的作法
,
并用几何画板演示
(
一学生描述
,
同时用电脑演示
)
:
第一步:作出角
的终边,与单位圆交于点
P
;
第二步:
过点
P
作
轴的垂线,
设垂足为
M
,得正弦 线
MP
、
余弦线
OM
;
第三步:过点
A (1,0)
作单位圆的切线,它与角
的终边或其反向
延长线的交点设为T
,得角
的正切线
AT.
特别注意:三角函数线是有向线段, 在用字母表示这些线段时,
要注意它们的方向,分清起点和终点,书写顺序不能颠倒
.
余弦线以
原点为起点,
正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点,
其
中点
A
为定点(
1
,
0
)
.
设计意图:及时归纳总结,加深知识的理解和记忆
.
三、变式演练
,
提高能力
:
练习
.
利用几何画板画出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:
(
1
)
5
13
;
(
2
)
.
6
6
学生先做
,
然后投影展示一学生的作品
,
并强 调三角函数线的位置
和方向
.
设计意图:巩固练习
,
准确掌握三角函数线的作法
.