人教版高中数学《任意角的三角函数三角函数线》教案
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2021年01月27日 21:59
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《任意角的三角函数
——
三角函数线》
教学背景：
1
．教材地位分析：三角函 数是中学数学的重要内容之一，而
三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想，
又贯穿
整个三角函数的教学
.
借助三角函数线可以推出三角函数诱导公式，
求 解三角函数不等式，探索三角函数的图像和性质，可以说
,
三角函
数线是研究三角函数 的有利工具
.
2
．学生现实分析：学习本节前
,
学生已经 掌握任意角三角函数的
定义
,
三角函数值在各象限的符号
,
以及诱导 公式一
,
为三角函数线的
寻找做好了知识准备
.
教学目标：
1
．
知识目标
:
使学生掌握如何利 用单位圆中的有向线段分别表示
任意角的正弦、余弦、正切函数值
,
并能利用三角函数 线解决一些简
单的三角函数问题
.
2
．
能力目标
:
通过尺规作图让学生经历概念的形成过程，
提高学
生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力；充分发挥学生的自主
探究性，让学生借 助所学知识自己去发现新问题，并加以解决，提高
学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能 力
.
3
．情感目标：激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，
实现共同探究、教学相长的教学 情境
.
教学重点难点：
1
．重点：三角函数线的作法及其简单应用
.
2
．
难点：
利用与单位圆有关的有向线段，
将任意角的正弦、
余弦、
正切函数值 分别用它们的几何形式表示出来
.
教学方法与教学手段：
1
．教法选择：“设置问题，探索辨析，归纳应用， 延伸拓展”
——科研式教学
.
2
．学法指导 ：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验
知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展
.
教学过程：
一、设置疑问
,
实验探索（
17
分钟）
(
一
)
设置疑问，点明主题
前面我们学习了角的弧度制，角
弧度数的绝对值
< br>，其中
l
是以角
作为圆心角时所对弧的长，
r
l< br>r
是圆的半径
.
特别地
,
当
r
=1时，
l
，此时的圆称为单位圆，这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值，
那么能否用几何图形来表示任意角
的正弦、余弦、正切函 数值呢？这就是我们今天一起要研究的问题
.
设计意图：
既可以引出单位圆，
又可以使学生通过类比联想主动、
快速的探索出三角函数值的几何形式
.
（二）概念学习，分散难点
有向线段：带有方向的线段
.
（
1
）方向：按书写顺序，前者为起点，后者为终点，由起点指
向终点
.
如：有向线段
OM
，
O
为起点，
M
为终点，由O
点指向
M
点
.
（动态演示）
(2)
数值：（只考虑在坐标轴上或与坐标轴平行的有向线段）
绝对值等于线段的长度，若 方向与坐标轴同向，取正值
;
与坐标
轴反向，取负值
.
如：
OM= 1
，
ON= -1
，
AP =
设计意图：
相关概念的学习分散了教学难点
,
使学生能 够更多的
围绕重点展开探索和研究
.
（三）试验探索
角
的终边上任意一点
P(
除端点外
)
的坐标是（
x
,
y
），它与原点
的距离是
r,
比值
叫做
的正弦
.
思考
:
能否用几何图形表示出角
的正弦呢
?
学生联想角的弧度数与弧长的转化
,
类
比猜测
:
若令
r=1
，则
sin
y
.
取角
的终边
与单位圆的交点为
P,
过点
P
作
轴的 垂线，
设垂足为
M
，则有向线段
MP=
y
sin
.(
学生
y
r
分析的同时
,
教师用几何画板演示
)
请学生利用几何画板 作出垂线段
MP,
并改变角的终边位置
,
观察终
边在各个位置的情形
,
注意有向线段的方向和正弦值正负的对应
.
特
别地
,当角的终边在
轴上时
,
有向线段
MP
变成一个点
,记数值为
0.
这条与单位圆有关的有向线段
MP
叫做角
的
正弦线
.
2.
思考
:
用哪条有向 线段表示角
的余弦比较合适
?
并说明理由
.
请学生推导说明
,
老师用图形演示
.
有向线段
OM
叫做角
的
余弦线
.
3.
tan
如何用有向线段表示？
讨论焦点：
若令
x
=1,
则
tan
y
=AT
，
但是第二、
三象限角的终边上没有横坐
标为
1
的点，若此时取
=-1
的点
T
‘
，
tan
=-
=T
‘
A
‘
,
有向线段
的表 示方法又不能统一
.
引导观察：
当角的终边互为反向延长线时，它们的正切值有什么关系？
统一认识：
< br>方案
1
：在象限角的终边或其反向延长线上取
=1
的点
T，则
tan
y
=AT
；
yx
方
案
2
：
借
助
正
弦
线、
余
弦
线
以
及
相
似
三
角形
知
识
得
到
t
a
n
y
M
P
A
T
AT
.< br>
x
OM
OA
动画演示验证
:
当角
的终边落在坐标轴上时，
tan
与有向线段
AT
的对 应
.
这条与单位圆有关的有向线段
AT
叫做角
的
正切线
.
二、作法总结
,
变式演练（
13
分钟）
（一）作法总结
正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线
.
< br>请大家总结这三种三角函数线的作法
,
并用几何画板演示
(
一学生描述
,
同时用电脑演示
)
：
第一步：作出角
的终边，与单位圆交于点
P
；
第二步：
过点
P
作
轴的垂线，
设垂足为
M
，得正弦 线
MP
、
余弦线
OM
；
第三步：过点
A (1,0)
作单位圆的切线，它与角
的终边或其反向
延长线的交点设为T
，得角
的正切线
AT.
特别注意：三角函数线是有向线段， 在用字母表示这些线段时，
要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒
.
余弦线以
原点为起点，
正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点，
其
中点
A
为定点（
1
，
0
）
.
设计意图：及时归纳总结，加深知识的理解和记忆
.
三、变式演练
,
提高能力
：
练习
.
利用几何画板画出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
（
1
）
5
13
;
（
2
）
.
6
6
学生先做
,
然后投影展示一学生的作品
,
并强 调三角函数线的位置
和方向
.
设计意图：巩固练习
,
准确掌握三角函数线的作法
.