创业失败故事-手板报

2021年1月27日发(作者：qq舞)
高三数学复习中对“导数的应用”的教学反思

新教材引进导数之后，
无疑为 中学数学注入了新的活力，
它在函数的单调性、
极值、
最值等方面有着广泛的应用，< br>还可以证明不等式，
求曲线的切线方程等等。
导数的应用一直是高考试题的重点和热点之 一。本学期笔者上了一节市公开课，
经课前准备和课后调查，
发现学生在导数的应用中疑点较多 ，
本文对几类常见问
题进行剖析和探究，以期引起大家的注意。

问题⑴：< br>若
x
0
为函数
f(x)
的极值点，则
f
< br>(
x
0
)
= 0
吗？

答
：不一定
,
缺少一个条件
(
可导
函数
)
。反例：函数
y

x
在
x

0
处有极
小值，而
f

(
x
0
)
不存在。

正确的命题是 ：
若
x
0
为
可导
函数
f(x)
的极值点， 则
f

(
x
0
)
=
0

问题⑵：若
f

(
x
0
)
=
0,

则函数
f(x)
在
x
0
处一定有极值吗？

答：
不一定
。
反例：
函数
y

x
3有
f

(
0
)
=
0
，
而
f(x)
在
x

0
处没有极值。

正
确的命题是：
若
f

(
x
0
)
=
0,
且函数
f(x)
在
x
0
处两侧的导数值符号相反，则函
数
f(x)
在
x
0
处有极值
.
问题⑶：
在 区间
(
a
,
b
)
上的可导函数
f(x)
，
f

(
x
)
>0
是
函数
f(x)
在该区间上为增
函数的充要条件吗？

答：不一定
。
反例：函数
y

x
3
在
(

,


)
上为增函数，而
f

(
0
)
=
0
。

正确的命题是：
（函数单调性的充分条件）

在区间
(
a< br>,
b
)
上，
f

(
x
)
> 0
是
f(x)
在
该区间上为增函数的充分而不必要条件
.

（函数单调性的必要条件）
函数
f(x)
在某区间上可导，且单调递增，则在 该区
间内
f

(
x
)

0
。
另外，中学课本上函数单调性的概念与高等数学（数学分析）上函数单调
性的概念不一致 。
数学分析上函数单调性的概念有严格单调与不严格单调之分。

问题⑷：
单 调区间
(
a
,
b
)
应写成开区间还是写成闭区间？

答：

若端点属于定义域，则写成开区间或闭区间都可以。若端点不属于定义
域，则只能写成开区间。


问题⑸：
“
曲线在点
P
处
的切线”与“曲线
过
点
P
的切线”有区别吗？

1
3
f
(
x
)

x
上一点
P< br>
例
1
（
人教社高中数学第三册第
123
页例
3
）
：
已知曲线
3
8
（
2
，
）
.

求
点
P
处的切线方程。大多数学生能迅速找到解题思路 ，并得到
3
正确结果：
12
x

3
y
< br>16

0
.
1
3
f
(
x
)

x
上一点
P
（
2
，
8
）变式


已知曲线
。求
过
点
P
的切线方程。

3
3


解


设切点为
Q(
x
0
,
f
(
x
0
))
,< br>则切线

的方程为
y

f

x
0< br>

f


x
0

(
x< br>
x
0
)



又
点
P
在
切线上，

所以

8< br>1
3
2

2

x
0



整理，得


x
0

2
2

x
0

1


0




x
0

x
0
3
3
所以
x
0


1
,
x
0

2


于是

切线

的方程为
12
x

3
y

16

0
，3
x

3
y

2

0
. < br>小结：
“曲线在点
P
处的切线”只有一条，且
P
为切点；“
曲线过点
P
处的切线”
有两条
,P
不一定是切点。在 高三数学复习中，用好课本，尤其是课本例题更为
重要，能总结出一些有规律性的东西，可使学生在复习 时既有熟悉感又有新奇
感，从而提高认识的深度。

问题⑹：
过一点
P
作曲线
y

1
3
x
的切线有几条？

3
探究
1
过曲线
y

1
3
x
上
一点
P
(
x
0
,
f
(
x
0
))
作曲线的切线有几条？

3

解


设切点为
Q
(
t
,
f
(
t))
,


则切线

的方程为
y

f

t


f


t

(
x

t
)



又
点
P
在
切线上

所以

13
1
3

x

x
0

t
t
2

x
0

t







整理，得



t

x
0

2

t
0


0



①

33
2


因为切线的条数等于关于
t
的方程①

的不同实根的个数

所以：
过曲线
y

1
3
x
上一点
P
(
x
0
,
y
0)
引直线与曲线相切，

3
当
x
0

0
时，切线只有一条；当
x
0

0
时，切线有两条。

探究
2
过曲线
y

1
3
x
外
一点
P
(
x
0
,
y
0
)作曲线的切线有几条？（
y
0

f

x
0
）

3

解


设切点为
Q
(
t
,
f
(
t
))
,
则切线< br>
的方程为
y

f

t


f


t

(
x

t
)




又
点
P
在
切线上，得

y
0

f

t


f


t

(
x
0

t
)

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