高中数学教学论文 抛物线焦点弦的性质及应用
温柔似野鬼°
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2021年01月27日 22:00
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抛物线焦点弦的性质及应用
平面内与一个定点
F
和一条定直线l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。由于抛物线定
义的特殊性，使得它有许多其他圆锥曲 线所没有的特征，特别是抛物线过焦点的弦的性质尤
其突出，同时也高考中经常要考查的内容。据不完全 统计，在近几年高考中关于抛物线焦点
弦的性质出现在：
1
、
2000
年理科的第
11
题（选择题）
，
2
、
2001
年 理科的第
19
题（解答题）
，
3
、
2002
年文科 的第
16
题（填空题）
，
4
、
2004
年理科的第
16
题（填空题）
p
2
设抛物线的方程为
y=2px(P
＞
0),
过焦点
F(
,0)
作倾斜角为< br>
的直线，交抛物线于
P
、
Q
2
两点，则线段
PQ
称抛物线的焦点弦，
(
如图
1).
抛物线的焦点弦具有以下性质
:
p
2
性质
1
：设
P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2),
则
y
1
y
2
=-p
.
x
1
x
2
4
2
p
2
2
2
证明
：①当
=90
时，
PQ
方程为
x=
代入
y
=2px
中有
y
= p
,
2
即
y
1
=p,y
2
=-p,∴
y
1
y
2
=-p
.
②当
≠
90
时，设直线
PQ
斜率为
k,
则
p
2
PQ
方程为
y=k(x
﹣
)
与
y
=2px
联立，消
x
后得到：
2
ky
-2py- kp
=0,
∴
y
1
y
2
=-p
.
因为
y
1
2
px
1
，
y
2< br>
2
px
2
，所以
y
1
y
2
4
p
x
1
x
2
，
2
y
1
2
y
2
p
2
p
4
所以
x
1
x
2
2
2
4
4
p
4
p
2
2
22
2
2
2
2
2
例
1
过抛物线焦点的一 条直线与它交于两点
P
、
Q
，通过点
P
和抛物线顶点的直线 交准线
于点
M
，求证：直线
MQ
平行与抛物线的对称轴
.
证明：
为了方便比较，可将
P
点横坐标及
Q
点纵坐标均用< br>P
点的纵坐标
y
1
表示
.
2
2
y
1
p
2
∴
P(
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),
但
y
1
y
2
=-p
，∴
y
2
=
﹣
,
2p
y
12p
p
p
PM
方程是：
y=
x,
当
x =
﹣
时
,y=
﹣
即为
M
点的纵坐标，
< br>y
1
2
y
1
这样
M
点与
Q
点的纵坐标相同，故
MQ
∥
Ox.
2
[
例
2]
（
2001
年高考
）设坐标原点为
O
，抛物线
y
=2x
与过焦点的直线交于
A
、
B
两点，
则
OA
OB
＝
.
2
用心
爱心
专心
- 1 -
A
、
3
3
B
、
-
4
4
C
、
3 D
、
-3
P
2
解析：
设弦的两个端点为
A
（
x
1
，
y
1
）
、
B
（
x
2
，
y
2
）
，
x
1
x
2
=
，
y
1
y
2
P
2
，
∴
OA
OB
4
P
2
3
p
2
3
2
，故答案 选
B
。
＝
x
1
x
2
y
1
y
2
＝
-
p
＝
4
4
4
2p
性质
2
：抛物线焦点弦的长 度：
AB
p
(
x
1
x
2
)
=
2
.
sin
证明：如图所示，分别做
AA
1
、
BB
1
垂直于准线
l
，由抛物线定义有
AB
AF
BF
x
1
p
p
x
2
x
1
x
2
p
.
2
2
且有
AF
AA
1
A F
cos
p
,
BF
B B
1
p
BF
cos
,
p
p
,
BF
.
1
cos
1
cos
p
p
p
p
∴
AB
AF
BF
+
=< br>=
.
1
cos
1
cos< br>
1
cos
2
sin
2
于是可得
AF
故命题成立
.
2
2
例
3
已知圆
M
：
x
+y
-4x=0
及一条抛物线， 抛物线顶点在
O(0,0),
焦点是圆
M
的圆心
F
，
过
F
作倾斜角为
的直线
l
,
l
与抛物 线及圆由上而下顺次交于
A
、
B
、
C
、
D
四点，
若
=arcsin
求
|AB|+|CD|.
2< br>2
解
：如图，方程
x
+y
-4x=0,
表示的图的< br>
圆心为
(2
，
0)
即为抛物线的焦点，
2
∴抛物线的方程是
y
=8x(
其中
p=4),
|AD|=
2p
8
2
=
=40,
但圆的直径
|BC |=4
，
sin
1
5
5
,
5
∴
|AB|+|CD|=|AD|-|BC|=40-4=36.
性质
3
：三角形
OAB
的面积公式：
S
OAB
p
2
2
sin
证法一
：当直线倾斜角
为直角时，公式显然成立。
当直线倾斜角
不是直角时，
设焦点弦所在直线方程：
y
k
(
x
p
)
2
p
y
k
(
x
)
y
2
2
p
y
p
2
0
由
2
k
2
y
2
px
用心
爱心
专心
- 2 -