高等代数论文
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2021年01月27日 22:07
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莆田学院数学与应用数学系
“高等代数选讲”课程论文
题目：
小论矩阵的对角化
姓名：
刘文娟
学号：
410401210
莆田学院数学与应用数学系
数学与应用数学专业
2004
级
2007
年
6
月
22
日
精品
小论矩阵的对角化
刘文娟
042
数本
410401210
摘要：对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种，这里讨论
n
阶矩阵对角化的一些判定条
件（充要条件）及几种常用矩阵的对角化问题。
关键词：
可对角化
特征值
特征向量
不变因子
初等因子
最小多项式
矩阵的秩
特征多项式
循环矩阵
定义
：数域
F
上方阵
A
，如果能与一个
F
上的对 角方阵相似，则
A
在
F
可对角化。
判定
1
：
A
可对角化的充要条件是：有
n
个线性无关的特征向量。
判定
2
：设
n
方阵
A
的全部不同的特征根为
1
,
2
,
m
,
而
i
1
,
i
2
,
isi
i
1
,2,
m
为
（从而是属于< br>
i
的一极大无关特征向量组）
，
A
可
i
E
A
X
0
的一个基础解 系
对角化的充要条件是：
s
1
s
2
判定
3
：
设
1
,
2
,
s
m
n
s
m
重根，
A
可
m,
为
n
方阵
A
的全部不同的特征根，
且分别为
s
1
,
s
2
,
m
都有：
对角化的充要条件是：
对每个
i
i
1
,2,
r
i
E
A
n
s
i
证明：充分性
设
r
i
E
A
n
s
i
，
i
1
,2,
m
则齐次线性方程组
i
E
A
X
0
的基础解系含
n
n
s
i
s
i
个向量，
但由于
1
,
2
,
m
,
分别为
s
1
,
s
2
,
s< br>m
重根，从而
s
1
s
2
sm
n
故
A
可对角化。
必要性
设
A
必有
n
个线性 无关的特征向量，但由于
s
1
s
2
s
m
n
，故每个
次线性方程组
i< br>E
A
X
0
的基础解系必含
s
i
个向量，从而
r
i
E
A
n
s
i
，
i
1
,2,
m
判定4
：数域
F
上
n
方阵
A
与对角矩阵相似的充要 条件是：
A
的最小多项式是
F
上互素的
一次因式的乘积。
判定
5
：
复数域上矩阵
A
与对角矩阵相似的充要条件是：< br>A
的最小多项式没有重根。
即
A
的
最后一个不变因子无重根。
证明：
假设
A
相似与对角矩阵，因为相似矩阵具有相同 的最小多项式，我们只要证明对角
精品
矩阵的最小多项式无重根即可。由于分块对角 矩阵的最小多项式等于各块最小多项
式的公倍式，对于对角矩阵而言，等于主对角线上一次式的最小公倍 式，显然，这
个多项式无重根子。
反之，设
A
的最小多项式无重根，因为最小多项式是矩阵的最后一个不变因 子，故
前面的不变因子无重根（它们都是最后一个不变因子的因子）
，于是
A
的初等因子全
是一次式，即
A
的若当块都是一阶的。这就证明了
A
相 似与对角矩阵。
判定
6
：复数域上矩阵
A
与对角矩阵相似 的充要条件是：
A
的初等因子是一次的。即
A
的
每一个若当尔块皆是 一级的。
判定
7
：
C
为复数域，
A
< br>C
n
n
，
A
与对角矩阵相似的充要条件是：对于任 意的
C
，
E
A
与
E
A
有相同的秩。
证明：设
A
与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵
T
，使
2
1
2
1
T
AT
n
n
2
n
2
1
2
1
所以任意
< br>
C
，有
T
E
A
T
1
2
2
T
1
E
A
T
因此
T
1
2
2
2
E
A
T
与
T
1
E
A
T
等秩，由
T
可逆知：
E
A
与
E
A
有
2
n
n
相同的秩。
反之，设对 每个
C
，
E
A
与
E
A
有相同的秩，由于
A
< br>C
与若当形矩阵相似，即存在可逆矩阵
T
，使
1
，故
A
可
精品
J
1
1
T
AT
其中
J
i
为若当块，
i
1,2,< br>即
J
2
< br>
J
s
若某个
J
i
不是对角形
（即
J
i
不是一级的）
，
不妨设为
J
1< br>，
s
，
1
1
1< br>
J
1
< br>
1
1
< br>
,
k
i
2,
故
1
k
i
0
1
0
1
E
J
1
1
由
此
可
知
1
2
0
0
2
,
1
J
1
1
0
0
0
1
0
0
2
1
E
J
1
1
的
秩
小
于
1
E
J
1
的
秩
，
因
而
T
1
E
A
T
的
秩
小
于
2
T
1
1
E
A
T
的秩，进而
< br>E
A
的秩小于
E
A
的秩，与已知矛盾。
J
1
1
故每个
J
i
是对角形，从而
T
AT
< br>
J
2
< br>为对角形
s
n
J
s
判定
8
：矩阵
A
=
C E
n
（杨：数量矩阵吗）
的充要条件是
A
的不变因子组
（杨 ：这种称呼的
来源？）
中无常数。
证明：
必要性显然
下证充分性
若
A
的不变因子无 常数，则只能为
C
，
C
，
C
因此
A
相似于对角矩阵，且主对角线上的元素全是
C
，即 存在可逆矩阵
P
，
P
AP
CE
n
,
A
P
判定
9
：设
A
为
n
方阵，
f
g
1
1
CE
n
P
CE
n
E
A
是
A
的特征多项式，并令
f
f
,
f
精品
则
A
与一对角矩阵相似的充要条件是：
g
A
0
证明：
必要性
由
A< br>与对角矩阵相似，
其最小多项式
m
A
无重根，
且
m
A
取
f
所有 根，又
g
因而
g
A< br>
0
充分性
由
g
A
0
知
m
A
|
g
,
从而
m
A
无重根，
A
与对角矩阵相似。
性质
1
：一个矩阵是否可对角化（即与一个对角矩阵相似）同数域的大小有关。< br>
例如 ：二阶方阵
A
的
f
无重根且与
f
的根相同，故< br>g
m
A
< br>
f
,
f
< br>
0
1
1
0
在实数域不可对角化，但在复数域上却可以对角化，因此此时它与对角矩阵
i
0
相似
0
i
1
1
事实上，取
P
i
i
即有
P
AP
判定
10
：设
A
为一个
n
复矩阵，
f
条 件是：若
a
是
f
1
< br>
E
A
是
A
的特征多项式，
A
可 对角化的充要
的
k
重根，则秩
a E
A
n
k
n
证明：必要性
由条件可知，存在可逆矩阵
X
，使
1
2
1
X
AX
而
f
E
A
1
2
n
,
a
是
f
的
k
重根，
n
中有
k
个
a
，故矩阵
因而在
1
,
2
精品