“一元二次方程”论文)
玛丽莲梦兔
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2021年01月27日 22:08
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“一元二次方程”
（摘抄他人）
1
研究背景
“一元二次方程”
是浙教版课标教材八年 级下册第二章第一节第一课时的内
容。
这节课普遍存在的问题是：
课堂教学缺乏内涵和 思想，
且有盲目增补教学内
容和随意提高教学要求的现象。
从说课活动中发现：
教师对数学内容的本质、
内
容的逻辑结构和思想方法结构、
内容蕴涵的科学方法、< br>理性思维过程和价值观资
源认识模糊，
从而导致说课缺乏内涵和思想。
基于这种 事实，
我们在区域性教研
活动中进行了一次以
“一元二次方程”
为载体的教学 分析与决策的微格教研活动。
活动经历了
“教学分析
→
教学决策
→< br>实践验证
→
修改完善”
的过程。
笔者认为
《
“一元二次方程”教学分析与决策》
，不但有助于教师明确“一元二次方程”的内涵
和思想，< br>而且对帮助教师学会科学的教学分析的方法和提高有效的教学决策的能
力会产生积极的影响。因此 ，特将其呈现如下，供读者参考与研究。
2
教学分析
2.1
内容及其解析
内容：
“一元二次方程”主要讲 两方面的内容：一元二次方程的概念，一元
二次方程的一般形式。内容的逻辑结构及思想方法结构的概括 见图
1
。
演绎
一
方程概念
一元二次方程的概念
元
数学化
概括
抽象
二
次
现实问题
数学模型
一元二次方程一般形式
方
表示
程
特
类比
一元一次方程概念
点
类比
一元一次方程一般形式
图
1
解析
：
“
一
元二次方程”是在学 生学习了“一元一次方程”
、
“二元一次方程
（组）
”
的基础上，< br>为满足解决某些实际问题和进一步学习数学的需要提出来的，
是体会方程思想和方程是刻画现实世 界的一个有效的数学模型的继续。
一元二次
方程概念与方程概念的联系方式是“类属关系”，一元二次方程概念与一元一次
方程和二元一次方程（组）概念的联系方式是“并列结合关系”，一元二次方程
概念与有关现实问题的数学模型的联系方式是“总括关系”
。
内容的数学本质是：
研究现实世界数量的相等关系及研究相等关系 的方法和观念。内容的核心目标
是：
体会方程思想和方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型 。
内容蕴涵的方
程思想、类比思想、数学化方法、观察与比较方法、抽象表示方法等对发展学生
的智力会产生积极的影响；
内容蕴涵的理性思维过程对发展学生的概括能力和类
比能力 、丰富学生转化、类比、反思等数学活动经验、形成多边思维碰撞的学习
状态等有积极作用；
内 容能结合现实中的问题，
对增强学生的方程意识和懂得数
学的价值也有重要作用。
< br>重点：
一元二次方程的涵义及表示，
特别是体会方程思想和方程是刻画现实
世界 的一个有效的数学模型。
2.2
教学问题诊断
认知 特点：
一
元二次方程是特殊的方程，
如果按这个思路进行教学，
概念学
习的学习形式类型是下位学习，
思维形式是演绎。
一元二次方程与一元一次方程、
二 元一次方程（组）既有联系又有区别，如果按这个思路进行教学，概念学习的
学习形式类型是并列结合学 习，
思维形式是类比。
一元二次方程是现实问题的数
学模型，
如果按这个思路 进行教学，
概念学习的学习形式类型是上位学习，
思维
形式是归纳。一元二次方程一般 形式与一元一次方程一般形式既有联系又有区
别，一元二次方程一般形式的学习形式类型是并列结合学习 ，思维形式是类比。
认知基础：如果采用下位学习的形式，学生需要知道方程概念和具有演绎 的
能力；
如果采用并列结合学习的形式，
学生需要知道一元一次方程和二元一次方程的概念，
需要具有一定的类比能力；
如果采用上位学习的形式，
学生需要具有< br>现实问题转化为数学问题的符号化经验和观察、比较、概括、类比的经验。
认知障碍：
用上位学习的形式概括一元二次方程的概念，
尽管学生认知结构
中有相应的知识与新知 识有联系，
但需要经历实际问题转化为数学模型的
“数学
化”过程，一部分学生“数学 化”能力弱，可能会遇到困难；需要经历特殊到一
般的理性思维的过程，一部分学生理性思维能力弱，可 能很难渡过“抽象”这一
关。
用并列结合学习概括一元二次方程的一般形式，
需要经历 特殊到特殊的类比
推理的过程，
一部分学生类比推理能力弱，
可能会遇到困难。
学生普遍对运算符
号和性质符号理解不清，
在求二次项系数、
一次项系数、
常数项时可能会出现错
误。
教学难点：
设未知数，< br>列方程；
一元二次方程和一元二次方程一般形式特点
的概括。
2.3
学法指导分析
（
1
）这节课教学的创新点之一是选择合 适的教学结构。根据一元二次方程
知识的逻辑结构及隐含在知识背后的思想方法结构，
这节课有 以下四种教学结构
可供选择：
①回顾方程概念→演绎得出一元二次方程特点→类比给 出一元二次方程概
念→类比给出一元二次方程的一般形式→概念的应用、
辨析与建构。
这种接受式
学习方式为主的呈现方式，
符合认知同化理论
（新旧知识的联系方式是“类属关
系”
，新知识与学生已有认知结构中的有关知识的联系方式也有“类属关系”）
，
且教学效率较高。
但纯数学操作，
不利于学生体会方程思想和感受学 习一元二次
方程的必要性。
尽管这种方式有利于发展学生的逻辑推理能力，
但不利于发 展学
生的合情推理能力。
目前学生合情推理能力比较弱，
且这节课的数学本质是体会< br>方程思想。因此，这种方式不利于学生和谐发展。
②回顾一元一次方程概念→类比得出 一元二次方程特点→类比给出一元二
次方程概念→类比给出一元二次方程的一般形式→概念的应用、辨析与建构。
这
种发现式学习方式为主的呈现方式，
符合认知同化理论
（ 新旧知识的联系方式是
“并列结合关系”
，
新知识与学生已有认知结构中的有关知识的 联系方式也有
“并
列结合关系”
）
，
有利于发展学生的类比推理能力 。
但纯数学操作，
不利于学生体
会方程思想和感受学习一元二次方程的必要性。尽管学 生的类比推理能力比较
弱，
但这节课的数学本质是体会方程思想。
因此，
这种 方式也不利于学生和谐发
展。
③呈现若干实际问题→用方程思想建立数学模型→概括 得出一元二次方程
特点→类比给出一元二次方程概念→类比给出一元二次方程的一般形式→概念
的应用、
辨析与建构。
这种发现式学习方式为主的呈现方式，
符合认知同化理论
（新旧知识的联系方式是“总括关系”
，新知识与学生已有认知结构中的有关知
识的联系方式 也有
“总括关系”
）
，
有利于学生体会方程思想和感受学习一元二次
方程的必要性，
有利于发展学生符号化能力和概括能力，
且合适的情景有利于激
发学生的学习情趣。
但这种教学方式过程缓慢，
会对按时完成教学任务带来 挑战。
④呈现有意义的实际问题→用方程思想建立数学模型→用数学方法解决实
际问 题→反思、
提炼数学模型的特点→类比给出一元二次方程概念→类比给出一
元二次方程的一般形 式→概念的应用、辨析与建构。这种“问题驱动”的方法，
符合认知同化理论（新旧知识的联系方式是“ 总括关系”
，新知识与学生已有认
知结构中的有关知识的联系方式也有
“总括关系”< br>）
。
其优点是：
能使学生经历用
一元二次方程解决实际问题的全过程，
有利于学生体会方程思想和感受学习一元
二次方程的必要性，且有能力发展点、个性和创新精神 培养点。其缺点是：
“一
个例子打天下”缺乏概括基础，同样存在学习过程缓慢的问题。
这就是说，第三种教学方式，不但符合认知同化理论，而且最能反映数学的
本质和最有利于 学生认知发展。
（
2
）这节课教学的创新点之二是选择合适的教学内容。① 为有利于学生体
会方程思想和方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，
课本提供了三个现实
问题：
第一个是包装盒表面展开图的问题；
第二个是把面积为
4
平方 米的一张纸
分割成正方形和长方形两个部分的问题；
第三个是增长率问题，
背景材料是 浙江
省
2001
年和
2003
年生产总值的数据。
我觉得第 一个问题有能力发展点，
应该借
用；第二个问题与第一个问题类型相同（都是用面积或体积关系 来列方程）
，可
以考虑用其它类型的问题来替换，
使问题的类型更和谐；
第三 个问题的背景不具
有时代性，
其背景材料可以考虑替换，
使物质的景更能激发学生精神 的情，
如果
找不到浙江省近几年生产总值的数据，
也可以用其他问题来替换，
但替换的问题
要与原问题承载的目标保持一致。
②从实际问题到数学模型，
再从数学模 型到一
元二次方程的特征，
是学生认识一元二次方程概念的第一次飞跃；
通过对概念的
应用、
辨析与建构——沟通知识之间的内在联结与变式活动，
使学生多方位丰富
完善概念，区分、评价此概念与彼概念，明确概念的本质属性和非本质属性，使
概念以一种完整的心理 图式储存于大脑当中，
是学生认识一元二次方程概念的第
二次飞跃。
但教材提供的材料 不能满足学生多方位丰富完善概念的需要，
需要根
据教学目标适当增补教学内容。
< br>这就是说，需要教师再次开发教材，使教学内容具有个性化并满足实现教学
目标的需要。