论文 椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
温柔似野鬼°
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2021年01月27日 22:09
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椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
江西省上犹中学
刘鹏
关键词：椭圆
焦点弦
弦长公式
应用
摘要
：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即
或
者
AB
=
1+(
1
k
)
2
AB
=
1
k
2
x
1
x
2
y
1
y
2
，
而
有
一
种
特
殊的
弦
是
过
焦
点
的
弦
，
它的
弦
长
有
专
门
的
公
式
：2
ab
2
AB
2
2
，如果记住公式，可以给 我们解题带来方便
.
a
c
cos
2
下面我们用万能弦长公式，
余弦定理，
焦半径公式，
仿射性四种方法来推导椭圆的焦点 弦长公式，
这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用
.
解法一
：根据弦长公式直接带入解决
.
x
2
y
2
题：设椭圆方程为
2
2
1
，左右焦点分别为< br>F
1
(
c
,0),
F
2
(
c
,0)
，直线
l
过椭圆的右焦点
F
2
交椭a
b
圆于
A
(
x
1
,
y
1< br>),
B
(
x
2
,
y
2
)
两 点，求弦长
AB
.
x
2
y
2
椭圆方程
2
2
1
可化为
b
2
x
2
a
2
y
2
a
2
b
2
0
……①，
a
b
直线
l
过右焦点， 则可以假设直线为：
x
my
c
(
斜率不存在即 为
m
0
时
)
，代入①得：
2
2
2
2
(
b
2
m
2
a
2
)
y
2
2
mcb
2
y
bc
a
b
0
，整理得，
(
b
2
m
2
a
2
)
y
2
2
mcb
2
y
b
4
0
< br>2
mcb
2
b
4
,
y
1
y
2
2
2
∴
y
1
y
2
2
2
，
2
2
b
m
a
b
m
a
AB
=
1+(< br>)
y
1
y
2
1
m< br>1
2
k
2
∴
2
mcb
2
2
4
b
4
4
a
2
b
4
(1
m
2
)
2
(
2
2
)
2
2
1
m
2
2
b
m
a
b
m
a
(
b
2
m
2
a
2
)
2
2
ab
22
1
m
∴
AB
2
2
< br>
2
b
m
a
（
1
）若 直线
l
的倾斜角为
，且不为
90
,
则
m
1
，则有：
tan
2
a b
2
2
ab
2
1
2
AB
2
2
1
m
1
2
1
b
m
a
2
tan
2
2
b
a
2
tan
,
2
ab
2
由正切化为余弦，得到最后 的焦点弦长公式为
AB
2
……②
.
2
2
a
c
cos
2
ab
2
2
b
2
2
（
2
）若
=90
，则
m< br>
0
，带入
AB
2
2
1
m
,
得通径长为
a
，同样满足②式
.
并且由
b
m
a
2
2
ab
2
2
a
(
b
2
m
2
a
2
)
2
a
3
2
ab
2
2
a
(
a
2
b
2
)
2
a
(
a
2
b
2
)
2
b
2
2
AB
2
2
1
m
=
2
a
2
2
2
a
2
2
2
2
2
2
b
m
a
b
m
a
b
m
a
a
a
2
b
2
,
当且仅当
m
0
即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为
，故可知通径是最短的焦点弦，
.
a
2
ab
2
综上，焦点弦长公式为
AB
2
.
a
c
2
cos
2
解法 二
：根据余弦定理解决
x
2
y
2
题：设椭圆方程 为
2
2
1
，左右焦点分别为
F
1(
c
,0),
F
2
(
c
,0)，直线
l
过椭圆的右焦点
F
2
交椭
a
b
圆于
A
(
x
1
,
y
1
),
B< br>(
x
2
,
y
2
)
两点，求弦长
AB
.
解：如右图所示，连结
F
1
A
,
F
1
B
，设
F
2
A
=
x
,
F
2
B
y
，假设直线的
倾斜角为
，则由椭圆定义 可得
F
1
A
=2
a
x
,
F1
B
2
a
y
，在
AF
1
F
2
中，由余弦定理得
(2
c
)2
x
2
(2
a
x
)< br>2
b
2
cos(
)
，化简可得
x
，在
a
c
cos
< br>4
cx
b
2
，则弦长
BF
1< br>F
2
中，由余弦定理同理可得
y
a
c< br>cos
b
2
b
2
2
ab
2
AB
x
y
=
2
2a
c
cos
a
c
cos
a
c
cos
2
.
解法三
：利用焦半径公式解决
x
2
y
2
题：设椭圆方程为
2
2
1
，左右焦点分别为
F
1
(
c
,0),
F
2
(
c,0)
，直线
l
过椭圆的右焦点
F
2
交椭
a< br>b
圆于
A
(
x
1
,
y
1
) ,
B
(
x
2
,
y
2
)
两点，求弦 长
AB
.