工厂保安管理制度-清剿火患

2021年1月27日发(作者：久久精品热2019)


浅析函数极限的求法


摘要

< br>极限是数学分析的一个重要组成部分，
它以各种形式出现且贯穿在全部容之
中
,

因此，
掌握好极限的求解方法是学习数学分析的关键，
而函数极限的求法可
谓是多种多样
.
首先本文先给出了函数极限的定义及其性质；其次归纳和总结了
函数极限的若干求法，
并举例分析；
最后给出了求函数极限的流程图，
也就是求函数极限的思路、步骤，使初学者能较快地掌握求函数极限方法
.

关键词：
极限；导数；洛必达法则；泰勒公式







































.






RAMBLE ABOUT THE METHODS OF MATH LIMIT

ABSTRACT

Mathematical analysis of the limit has been a focus of content, and
runs through the entire contents in a variety of forms, therefore, how
to grasp the solution to limit is the key to learning the mathematical
analysis. The series of limit can be described as diverse, by concluded
and induction, At first, this paper gives the definition of limit, by
defining the to understand what is the limit of sequence and function;
secondly by induction and summarization, this paper lists some common
calculation
methods,
and
analysis
all
kinds
of
method
of
limit.
At
last,given
the
procedure
of
the
solution
to
function
limit
finally,
i.e.
the idea of solve function limit and the step of solve function limit,
to
make
the
beginning
student
can
grasp
the
method
of
solve
function
limit
fast
[
9
]
.
.word
版本
.





























































.

Key words:

limit; derivative; Variable substitution;
L’hospital’s
rule; McLaughLin formula; Taylar exhibition type








目

录


1
前言
.................. ................................................
- 3 -
2
函数极限的概念及性质

............ .......................................
- 4 -
2.1
函数极限的概念

....................... ............................
- 4 -
2.2
函数极限的性质

....................... ............................
- 5 -
3
函数极限的求解方法

....................... ..............................
- 6 -
3.1
利用两个准则求极限

.
....................... .......................
- 6 -
3.2
利用极限的四则运算求极限

.
........................................
- 7 -
3.3
利用两个重要极限公式求极限

.
......................................
- 8 -
3.4
利用洛必达法则求极限

.
.... ........................................
- 9 -
3.5
利用函数连续性求极限

.
.............. .............................
- 10 -
3.6
通过等式变形化为已知极限

.
.......................................
- 10 -
3.7
利用换元法求极限

.
..... ..........................................
- 11 -
3.23
利用自然对数法求极限

.
......................................
- 11 -
3.8
利用因式分解法求极限

.
... ........................................
- 12 -
3.14
利用压缩定理

.
............... ...................................
- 16 -
4
求极限的一般流程

.
.................. ...................................
- 18 -
结论
....................................... ............................
- 21 -
参考文献................................................ ................
- 22 -
.word
版本
.





























































.
致
............................. ........................................
- 23 -













1
前言


极限研究 的是变量在变化过程中的趋势问题
.
数学分析中所讨论的极限大体
上分为两类：一类是 数列的极限，一类是函数的极限
.
两类极限的本质上是相同
的，在形式上数列界限是函 数极限的特例
.
因此，本文只就函数极限进行讨论
.
函数极限运算是高等数学 的一个重要的基本运算，
一部分函数的极限可以通过直
接或间接的运用
“极限四则运算 法则”
来求解，
而另一部分函数极限需要通过特
殊方法解决
.
求函数 极限的方法较多，但是每种方法都有其局限性，都不是万能
的
.
对某个具体的求极限的 问题，我们应该追求最简便的方法
.
在求极限的过程
中，必然以相关的概念、定理以及 公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧
.
极限是数学分析中最基本的概念之一，
用以描述变量在一定的变化过程中的
终极状态
[
1
]
.
早在 中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载
,
例如，
.word
版 本
.





























































.
晋时期中国数学家徽的
“割圆术”的数学思想，
即用无限逼近的方式来研究数量
的变化趋势的思想
.
在数学分析中的许多基本 概念，
都可以用极限来描述
.
如函数
连续的定义，导数的定义，定积分、二重 积分、三重积分的定义，级数收敛的定
义，都是用极限来定义的
.
极限是研究数学分析 的基本工具，极限是贯穿数学分
析的一条主线
.
本文是在极限存在的条件下，对极限的 常用求法进行综述，归纳
出计算极限的一般流程
.
计算极限所用的方法，是致力于把所 求极限简化为已知
极限
.
求极限的方法远远不止本文所归纳的，
故本文并不 够完善，
求极限的方法未
能拓展
,
只限于数学分析
.
希望通 过本文，
大家在思想上能对求解极限的方法有一
个高度的总括，计算极限时游刃有余
.






2
函数极限的概念及性质


2.1
函数极限的概念

定义
1
设
f
为定义在

a
,


上的函数，
A
为定 数
.
若对任给的


0
，存在
正数
M
a

0

，使得当
x

M
时有


f

x


A



则 称函数
f
当
x
趋于

时以
A
为极限，记 作

.word
版本
.





























































.

lim
f

x


A

或

f

x


A

x




x

定义
2
（函数极限的



定义）

设函数
f< br>在点
x
0
的某个空心邻域
U
0

x
0
;

'

有
定
义，
A
为定数
.
若
对
任给
的


0
，< br>存
在
正数




'

，
使
得
0

x

x
0


时有


f

x


A



则 称函数
f
当
x
趋于
x
0
时以
A
为 极限，记作


lim
f

x


A

或

f

x


A

x

x
0


x

x
0
0
定义
3
设函数
f
在
U


x< br>0
;

'

（或
U

0

x
0
;

'

）
有定义，
A为定数
.
若对任给
的


0
，存在正数




'

，使得当
x
0

x

x
0


（或
x
0



x

x
0
）时有


f

x


A





则称数
A
为函数
f
当
x
趋于
x
0
（或
x
0
）时的右（左）极限，记作

f

x


A

（
lim
f

x


A
）


lim


x

x
0
x

x
0
或



f
x


A

x

x
0

（
f

x


A
< br>x

x
0


）



右极限与左极限统称为单侧极限
.
f
在点
x
0
的右极限与左极限又分别记为

f

x


与

f

x
0

0


lim
f

x

.


f

x
0

0


lim


x
x
0
x

x
0

2.2
函数极限的性质

定理
1
（唯一性）

若 极限
lim
f

x

存在，
则
f
在
x
0
的某空心邻域
U
0

x
0

有界
.
x

x
0
定理
2
（局 部保号性）若
lim
f

x


A
0

（或

0
）
，则对任何正数
r

A
（或
x

x
0
，
存
在
U
0

x
0

，
使
得
对
一
切
x

U
0

x
0

有
r


A
）
f

x


r

0
（或
f

x



r

0
）
.
.word
版本
.





























































.
定理
3
（保不等式性）

设
lim
f

x


与

lim
g

x

都存在，
且在某邻域
U
0

x
0
;

'


x

x
0
x

x
0
有
f

x


g

x

，则
lim
f< br>
x


lim
g

x


x

x
0
x

x
0
定理
4
（迫敛性）

设
lim
f

x

lim
g

x


A
，且在某邻域
U
0

x
0
;

'

有
x

x
0
x

x
0
f

x


h

x


g

x

，则
lim
h

x

A

x

x
0
定理
5
（四则运算法则）
若极限
lim
f

x

与
lim
g< br>
x

都存在，则函数
f

g
，
x

x
0
x

x
0
f
•
g
当
x

x
0
时极限也存在
.








3
函数极限的求解方法


3.1
利用两个准则求极限

(1)
极限的迫敛性
[1]
（夹逼原 理）
，对数列和函数同样适用：

设
lim
f
(
x
)

lim
g
(
x
)

A，且在某
U
0
(
x
0
;

'
)
有

x

x
0
x

x
0
f
(
x
)

h
(
x
)

g
(
x
)

则
lim
x
x
0
h
(
x
)

A

利用夹 逼原理求极限，
通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的
.word
版本< br>.





























































.
数列或函数，

f
(
x
)

h
(
x
)

g
(
x
)
.
例
3.1
求
lim
x

cos
x

x

x
解：

因为

1
cos
x

1
，所以当
x
＜
0
时

1

1
x

1
x

cos
x
x

1
1



1


x
x
x
x
x
而


1


1

lim

1



lim

1



1

x
 

x

x


x

由迫敛性 定理得，
lim
例
3. 2
求
lim
x

cos
x
=1
x

x
x
sin
x

x

x
2

4

解：

因为当
x
＞
2
时，

x< br>x
sin
x
x



2
2
2
x

4
x

4
x

4
1


x
x

0
，
lim
x
0

由迫敛性定理知

而
lim
2

lim
x

x
2

4
x
 
x

4
x

4
1

2< br>x
x
sin
x
=0
lim
2
x

x

4


（
2
）单调有界定理
[2]

0
设
f
x

为定义在
U


x
0

[
或
U

0

x
0

]
上的单调有界函数，则
lim

f

x

存在
x

x
0
f

x

存在< br>]
[
或
lim

x

x
0

3.2
利用极限的四则运算求极限

极限的四则运算法则
[4]
：

若
lim
f
(
x
)

A
，
lim
g
(
x< br>)

B

x

x
0
x
< br>x
0
.word
版本
.





























































.

（
1
）
lim
[
f
(
x
)
< br>g
(
x
)]

lim
f
(
x
)

lim
g
(
x
)

A
< br>B

x

x
0
x

x
0< br>x

x
0

（
2
）
lim
[
f
(
x
)

g
(
x
)]
lim
f
(
x
)

lim
g
(
x
)

A

B

x

x
0
x

x
0
x

x
0

（
3
）若
B

0

则：

lim
f
(
x
)
f
(
x
)
x

x
0
A

lim



x

x
0
g
(
x
)
lim
g
(
x
)
B
x

x
0
（
4
）
lim
c

f
(
x
)

c

lim
f
(
x
)

cA

（
c
为常数）

x
x
0
x

x
0
上述性质对于
x

,
x


,
x


时 也同样成立

通常在这一类型的题中，
一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算 ，
首先
对函数实行各种恒等变形
.
例
3.3
求极限< br>lim
2

sin
x

cos
x

x
2


x


2


解：
lim
2

sin
x

cos
x

x

=
lim
2

lim
sin
x

lim
cos
x

lim
x< br>
lim
x










x

x

x

x

x

x

2
2

2
2
2
2

2



=
2

sin

cos

2
2

x
2

1
例
3.4
求极限
lim

x


1
2
x< br>2

x

1


2

< br>



2

1


< br>4


2




2
< br>




解：
lim
x

1
0
x


1
=
=
=0
2< br>x


1
2
x
2

x
< br>1
lim
(
2
x

x

1
)
2
x


1
2
lim
(
x2

1
)
x
2

1
例
3.5
求极限
lim
2

x

1
2
x< br>
x

1
x
2

1

x< br>
1

x

1



解 ：
lim
2
=
lim
x

1
2
x

x

1
x

1

x

1

2
x

1

=
lim
x

1


2

x
1

2
x

1

3
.word
版本
.





























































.
例
3.6
求极限
limx

4
1

2
x

3
x

2
解：
lim
x

4
1

2
x

3
x

2
2

x

4



lim

x
< br>4
x

2
1

2
x

3< br>
x

4

2
=
lim
x

4

x

2
1< br>
2
x

3
4

2


=

2

1

8

3


4

3
3.3
利用两个重要极限公式求极限

两个重要极限公式
[2]
：
（
A
）
lim
sin
x
1

1
(B)
lim
(
1

)
x

e

x

0
x


x
x
但我们经常使 用的是它们的变形：

(
A
'
)
lim
sin
(
x
)
1

(
x
)
1

(
B
'
)
lim< br>(
1

)

e


(
x< br>)

0

(
x
)

(
x< br>)



(
x
)
例
3.7
求极限
lim
1

cos
x

2
x

0
x
x
1

cos
x
12
)
2

1

解：

lim
=
lim
(
x

0
x

0
2x
2
x
2
2
sin
例
3.8
求极限
lim
(
1

2
x
)
< br>x

0
1
x
1

2
2
x< br>1
x
解：

lim
(
1

2
x
)
=
lim
(
1

2
x
)< br>x

0
x

0

e
2

3.4
利用洛必达法则求极限

0
型不定式极限

0
定理：若函数
f
和
g
满足：

（
1
）
lim
f
(
x
)

lim
g
(
x
)

0
；

x

x
0
x

x
0
（
2
）在点
x0
的某空心邻域
U
0
(
x
0
)
两者都 可导，且
g
'
(
x
)

0
；

.word
版本
.





























































.
（
3
）
lim
x

x
0
f
'
(
x
)
A
（
A
可为实数，也可为


或

）
，则

g
'
(
x
)
limf
(
x
)
f
'
(
x
)
lim

A

g
(
x
)
x

x
0
g
'
(
x
)
x

x
0

型不定式极限


定理：若函数
f
和
g
满足：

（
1
）
lim

f
(
x
)

li m

g
(
x
)


；

x

x
0
x

x
0
0
(
x
0
)
两者都可导，且
g
'
(
x
)

0
；

（
2
）在点
x
0
的某 右空心邻域
U

（
3
）
lim
x

x
0
f
'
(
x
)

A
（
A
可为实数，也可为


或

）
，则

g
'
(
x
)
lim

f
(
x
)
f
'
(
x
)

lim
< br>
A

g
(
x
)
x

x
0
g
'
(
x
)
x

x
0
不定式极限还有
0


,
1

,
0
0
,

0
,



等类型，经过简单变换，它们一般均可化
0

为
型或
型的极限
.
0

例
3.9
求极限
lim

x
x

x

0
解：

由对数恒等式可得
x
x
e
x
ln
x

x

0

lim
x
=
e
x
x

0

lim
x
ln
x

ln
x

0

1
x
x

0
lim

x
lnx

lim

x

0

lim

x
x

e
0

1

x

0
2cos
x

4sin
x

2
x

0
2
x

sin
x
2 cos
x

4sin
x

2

2sin< br>x

4cos
x
解：
lim
=
lim

x

0
x

0
2
x

sin
x
2

cos
x
例
3.10
求极限
lim
=-4

.word
版本
.





























































.
3.5
利用函数连续性求极限

（
1
）若
f
(
x
)
在
x

x
0
处连续，则
lim
f
(
x
)

f
(
x
0
)

x

x
0
（
2
）
若
f
[

(
x
)]
是
复
合
函
数
，
又
lim

(
x
)

a
且f
(
u
)
在
u

a
处
连续
，
则
x

x
0
x

x0
lim
f
[

(
x
)]

f
[
lim

(
x
)]

f
(< br>a
)

x

x
0
这种方法适用于求复合函数 的极限
.
如果
u

g
(
x
)
在点
x
0
连续
g
(
x
0
)

u
0
，
而
y

f
(
u
)
在
点
u
0
连
续
，
那
么
复
合
函
数
y

f
[
g
(
x
)]
在
点
x
0
连
续
.
即
x

x
0
lim
f
[
g
(
x
)]

f
[
lim
g
(
x
)]
f
[
g
(
x
0
)]
.
x

x
0
1
例
3.10
求极限
lim
ln(
1

)
x

x


x
1
解：

令
y

ln
u
，
u

(
1

)
x

x
1
因为
ln
u
在点
u
0

lim
(
1

)
x

e
处连续

x


x
所以

1
1
lim
ln(
1

)
x
=
ln[
lim
(
1

)
x
]
=
ln
e< br>
1

x


x


x
x

3.6
通过等式变形化为已知极限

要点：当极限不宜直接求出时，可考虑 将求极限的变量作适当的等式变形，
得到已知极限的新变量
.
x

x

x

x

1
1

x
1

3
x
1
1

x
1
x
7
例
3.11
求极限
lim
x


解：

limx


x

x

x
=
li m
x


x

1
=0

3.7
利用换元法求极限

.word
版本
.





























































.
当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变
形，使之 简化易求
.
x
x

1
例
3.12
求极限
lim

x

1
x
ln
x
解：

令
t

x
x

1
，则
x
ln
x< br>
ln(
t

1
)

x
x

1
t
1
lim

lim

1

=
lim
x

1
x
ln
x
t
0
ln(
t

1
)
t

0
t
t

1

3.8
利用自然对数法求极限

自然对数法：
把形如
f
(
x
)
g
(
x
)
通过恒等变形写成
g
(x
)
ln
f
(
x
)
的形式
,
改为求
或
0

0

不定式的极限
.
< br>1
sin
x
1

cos
x
)
例3.13
求极限
lim
(

x

0
x
sin
x
1

cos
x
)
解：

用自然对数法，令
y=
(

x
1
取自然对数得

ln
y

1
sin
x

ln
1< br>
cos
x
x
ln
sin
x
x
< br>2
x
2

lim
1
sin
x
ln< br>
lim
x

0
1

cos
xx

0
x
x
x
cos
x

s in
x

2
sin
x
x
=
lim

x

0
x
x
cos
x

sin< br>x
x
cos
x

sin
x

lim
=
lim

x

0
x

0
x
2
sin
x
x
3

x
sin
x
1


=
lim

x

03
3
x
2
.word
版本
.

工厂保安管理制度-清剿火患

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