长方体中一类最短路径问题的求解公式及应用
温柔似野鬼°
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2021年01月27日 22:39
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长方体中一类最短路径问题的求解公式及应用
山东省青岛市胶州第八中学
266300
刘乃志
浙江省台州市黄岩区高桥中学
318025
蔡历亮
1
．一个典型题目
题目：
如图
1
，地面上放置着一个长、宽、高分别是
6< br>cm
、
5
cm
、
4
cm
的长方体纸盒
.
现有一只蜘蛛沿纸盒的表面从
A
点出发去捕食
G
处
的昆 虫，问这只蜘蛛的最短爬行路线长是多少
cm
？
2
．分析与解答
图
1
本题是一道关于长方体中两个“斜 对顶点”之间的表面最短路线长问题，考查的重点在于学生对长方
体展开图的理解，以及勾股定理的运用 ，很有典型性
.
这类问题的基本解题思路是：先“化体为面”
，再依
据“两点 之间，线段最短”进行求解
.
在“化体为面”时，通常需先进行分类，然后针对不同的展开情况 ，
分别求解，最后进行比较与选择
.
整个分析与解答过程相当繁杂，对空间想象能力和 运算能力的要求都比
较高，是教与学的难点，教师与学生都比较头疼
.
为叙述方便， 先把这个长方体的六个面按日常理解规定为：前面、后面、左面、右面、上面、下面
.
沿表面从
A
出发到
G
，最短路线“必经过”且“只经过”某两个面，所以只需考虑下面
6
个展开图只可
.
图
5
图
6
图
7
图
2
图
3
图
4
如图
2
～
7
，
分别记这
6
个展开图中
AG
的长度为
l
1
、
l2
、
l
3
、
l
4
、
显然有
l
1
l
5
，
l
2
l
4
，
l
3
l
6
.
l
5
、
l
6
，
另外考虑到纸盒是放置在地面上的，蜘蛛无法经过长方体下面，故不考 虑图
6
、图
7
这两种展开图
.
至此，
我们可以发现 本题只需计算
l
1
、
l
2
、
l
3
这三个数据，再取最小值即可
.
利用勾股定理可求得：
l
1
6
2
(5
4)
2
3 6
81
117
3
13
；
l
2
4
2
(6
5)
2
16
121
137
；
l
3
5
2
(4
6)
2< br>
25
100
125
.
因为
3
13
5
5
137
，所以蜘蛛爬行的最短路线 长是
3
13
cm
.
3
．求解公式的提炼
通过对上面解题过程的分析，我们会有这样一个猜想：
在长方体的长、宽、高中，最 长的棱作为一条直角边，较短的两条棱之和作为另一条直角边，所得的
斜边长即为“斜对顶点”的表面最短路线长
.
证明：已知，如图
8
，是一个长方体，其长、宽、高分别为
x
、
y
、
z
，并记：
l
1
x
2
(
y< br>
z
)
2
x
2
y
2< br>
z
2
2
yz
；
l
2
y
2
(
x
z
)
2
x
2
y
2
z
2
2
xz
；
l
3
z
2
(
x
y
)
2
x
2
y
2
z
2
2
xy
.
图
8
若
x
y
0
，x
z
0
，则有
xz
yz
，
xy
yz
，从而
l
1
l
2
，
l
1
l
3
；
若
y
x
0
，
y
z
0
，则有
xy
xz
，
yz
xz
，从而
l
2
l
1
，
l
2
< br>l
3
；
若
z
x
0< br>，
z
y
0
，则有
xz
xy
，
zy
xy
，从而
l
3
l
2
，
l
3
l
1
．
由此，我们得到了长方体中
两个“斜对顶点”的表面最短路线长问题的求解
公式
：< br>
．．．．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．．
如果用
a
、
b
、
c
分别表示经过长方体同一个顶点的三条棱长，且
a
b
,
a
c
，
那么 “斜对顶点”的表
面最短路线长
l
a
2
(b
c
)
2
．
特别的，当
a
b
c
，即图形是正方体时，根据上述求解公式我们还可以得到：
推论
如果一个正方体的棱长为
a
，那么它的两个< br>“
斜对顶点
”
的表面最短路线长
l
5
a< br>．