第四讲 整数的拆分
温柔似野鬼°
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2021年01月27日 22:55
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第四讲
整数的拆分
笔记总结
整数的拆分：
把自然数分成为若干个自然数之和，每一种表示方法就是一种拆分。
【要求】
1.
拆成的数的和必须等于这个数
n
。
2.
不允许 重复（排列顺序不一样的重复也不可以）
：例如：
3=2+1.3=1+2
只能算一种 拆分。
【
要点
】
1.
被拆的数
2.
拆成多少个数
3.
特殊要求
一、
整数分拆中的计数问题（几种、多少个这样的问题称为计数问题）
例
1
有多少种方法可以把
6
表示为若干个自然数之和？< br>（
不加限制条件的分拆，称为无限制分拆）
分类
(
枚举)
法
：只能拆成
2
个至
6
个数的和。
2
个数：
6=5+1=4+2=3+3
3
个数：
6=4+1+1=3+2+1=2+2+2
4
个数：
6
＝
3
＋
1
＋
1
＋
1=2+2+1+1
；< br>
5
个数：
6=2+1+1
＋
1
＋
1
6
个数：
6
＝
1+1+1+1+1+1
因此，把
6
分拆成若干个自然数之和共有
1+3+3
＋
2+1+1=11
种不同的方法。
例
2
有多少种方法可以把
1994
表示为两个自然数之和？
解法：采用枚举法并考虑到加法交换律：
1994=1993 +1=1992+2=
…
=998
＋
996=997+997
因此，一共有
997
种方法可以把
1994
写成两个自然 数之和
.
【拆成
2
个数规律】
：
n
是双数，有< br>n
÷
2
种拆分；
n
是单数，有（
n-1
）÷
2
种拆分
.
二、
整数分拆中的最值问题（最大和最小的两种极端情况，称为最值问题）
例
3
50
最多能拆成多少个不同的正整数之和？
拆“
50
”
没有个数限制，但要求拆成的数个数最多
-------
也就是尽量拆的最小
50=1+2+3+4+5+6+7+8+9+5
最多拆成
9
个。
例
4
试把
14
分拆为两个自然数之和，使它们的乘积最大
14=1＋
13
，
1
×
13
＝
13
；
14=2+12
，
2
×
12=24
；
14=3
＋
11
，
3
×
11=33；
14=4
＋
10
，
4
×
10=40
；
14=5
＋
9
，
5
×
9=45
；
14=6+8
，
6
×
8=48
；
14=7+7
，
7
×
7=49.
[
结论
]
拆成两个数，差越小时，乘积越大；差越大时，乘积越大。
拆成三个数，差越小时，乘积越大；差越大时，乘积越大。
【难度问题】
给定一个自然数
N
，把它拆成若干个自然数的和，使它们的积最大