数的拆分和奇约数问题
巡山小妖精
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2021年01月27日 23:07
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数的拆分和奇约数问题
（儒风海韵原创）
整数的拆分：就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式。
整数的分拆是古 老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。
在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形 式出现，如，存
在性问题、计数问题、最优化问题等。
奇约数：
首先要知道什么是奇约数，
简单的说就是一个数约数当中的
奇数，比如说
6
的奇约数就只有
1
，
3.
那么如何算一个数字的奇约数的个数，
如果一个数字
A
若可以写成
A=M
*N
*Q
... .
的形式
他的奇约数就有（
a+1)(b+1)(c+1)....
个
其中
M,N,Q
必须是奇数。
特别的，
A=
a*b=c*d=e*f=.........=g*h
, < br>一般约数都是成对出现，只
有当约数出现
g=h
，
A
为平方数 时，整体约数为奇数个。
a
b
c
例
1
电视台要播放一部
30
集电视连续剧，若要求每天安排播出的集
数互不相等，则该电 视连续剧最多可以播几天？
【解析】这个题比较简单，由于希望播出的天数尽可 能地多，所以，
在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地
少。
1+2+3+4+5+6+7=28
。
如果各天播出的集数分别为
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
时，那么七天共可播出
28
集，还剩
2
集未 播出。由于已有过一天
播出
2
集的情形，因此，这余下的
2
集不
能再单独于一天播出，而
只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集 数，
来解决这个问题。例如，各天播出的集数安排为
1
，
2
，3
，
4
，
5
，
7
，
8
或1
，
2
，
3
，
4
，
5
，6
，
9
都可以。
所以就是
7
天。类似于某年国
考题。
例
2
求满足下列条件的最小自然数：它既可以表示为
9
个连续自然
数之和，
又可以表示为
10
个连续自然数之和，
还可以表示为
11
个连
续自然数之和。
【解
析】：< br>9
个连续自然数之和是其中第
5
个数的
9
倍，
10< br>个连续
自然数之和是其中第
5
个数和第
6
个数之和的
5
倍，
11
个连续自然
数之和是其中第
6
个数的
1 1
倍。这样，可以表示为
9
个、
10
个、
11
个 连续自然数之和的数必是
5
，
9
和
11
的倍数，
故 最小的这样的数是
［
5
，
9
，
11
］
=4 95
。
对
495
进行分拆可利用平均数，
采取“以平均 数为中心，
向两边推进
的方法”。例如，495÷10=49.5，则
10
个 连续的自然数为
45
，
46
，
47
，
48
，
49
，（
49.5
），
50
，
51
，
52
，
53
，
54
。
于是
495=45+46+„+54。
同理可得
495=51+52+„+59=40+41+„+50。
例
3
：把
945
写成连续自然数相加的形式，有多少种？
【解析】：
945=3
*5*7
奇约数就是（
3+1)*(1+1)*(1+1)=16
个。
还有 一个结论就是一个整数若有
N
个奇约数，
就有
N-1
种拆分成连续< br>自然数加和的形式
所以答案就是
16-1=15
种
例
4
：学校准备了
2310
块正方形彩板，用 它们拼成一个长方形，有
多少种不同的拼法？
【解析】：先将
2310
分解一下。
2310=2*3*5*7*11
这个地方有点小失误，
这题考虑的是约数，
不是奇
约数，所以
2
是要考虑的
求出约数
2*2*2* 2*2=32
，也就是长和宽有
32
种情况
.
这个地方要注意的是，
一个长方形，
长和宽互换是等效的
,
存在重复
的情况，
3