整数拆分问题
温柔似野鬼°
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2021年01月27日 23:15
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整数的拆分：就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式。
整数的分拆是古 老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。在国内外数学竞赛中，整数分拆的
问题常常以各种形 式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。
奇约数：
首先要知道什么是奇约数，
简单的说就是一个数约数当中的奇数，
比如说
6
的奇约数就只有
1
，
3.
那么如何算一个数字的奇约数的个数，
< br>如果一个数字
A
若可以写成
A=
M
^a*
N
^b*
Q
^C....
的形式
他的奇约数就有（
a+1)(b+1)(c+1)....
个
其中
M,N,Q
必须是奇数。
例
1
电视台要播放一部
30
集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最 多
可以播几天？
【解析】这个题比较简单，由于希望播出的天 数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件
下，每天播放的集数应尽可能地少。
1+2+3+4+5+6+7=28
。如果各天播出的集数分别为
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
时，那么七天共可播出
28
集，
还剩
2
集未 播出。由于已有过一天播出
2
集的情形，因此，这余下的
2
集不能再单独于一 天播出，而只
好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。例如， 各天播出的
集数安排为
1
，
2
，
3
，
4< br>，
5
，
7
，
8
或
1
，
2< br>，
3
，
4
，
5
，
6
，
9< br>都可以。
所以就是
7
天。类似于某年国考
题。
例
2
求满足下列条件的最小自然数：它既可以表示为
9
个连续自然数之和，又可以表示为
10
个连续自
然数之和，还可以表示为
11
个连续自然数之和。
【解析】
：
9
个连续自然数之和是其中第
5
个数的
9
倍，
10
个连续自然 数之和是其中第
5
个数和第
6
个
数之和的
5
倍，< br>11
个连续自然数之和是其中第
6
个数的
11
倍。这样，可以 表示为
9
个、
10
个、
11
个
连续自然数之和的数 必是
5
，
9
和
11
的倍数，故最小的这样的数是［
5
，
9
，
11
］
=495
。
对
495
进行分拆可利用平均数，采取
“
以平均数为中心，向两边推 进的方法
”
。例如，
495÷
10=49.5
，则
10个连续的自然数为
45
，
46
，
47，
48
，
49
，
（
49.5
）
，50
，
51
，
52
，
53
，
54。
于是
495=45+46+…+54
。
同理可得
495=51+52+…+59=40+41+…+50
。
例
3
：把
945
写成连续整数相加的形式，有 多少种？（这个题我还是修改一下吧，更严谨，谢谢同学们
提醒）
【解析】
：
945=3^3*5*7
奇约数就是（
3+1)*(1+1)*(1+1)=16
个。
还有 一个结论就是一个整数若有
N
个奇约数，就有
N-1
种拆分成连续整数加和的 形式
所以答案就是
16-1=15
种
例4
：学校准备了
2310
块正方形彩板，用它们拼成一个长方形，有多少种不同的 拼法？
【解析】
：先将
2310
分解一下。
2310=2*3*5*7*11
这个地方有点小失误，这题考虑的是约数，不是奇约数，所以
2
是要考虑的
求出约数
2*2*2*2*2=32
，也就是长和宽有
32
种情况< br>.
这个地方要注意的是，一个长方形，长和宽互换是等效的
,
存在重复的情况，
所以要除
2
，答案是
32/2=16
。