不等式证明中的“拆分法”
萌到你眼炸
966次浏览
2021年01月27日 23:16
最佳经验
本文由作者推荐
鼠标故障-旧曲新歌台词
不等式证明中“拆分”的巧妙运用
在不等式证明中，如何运用 巧妙的“拆分”往往是能否证明不等式的关键。
拆分的主要依据：
（
1
）变为定积、
定和问题；
（
2
）
根据不等式等号成立的条件；（
3
）
根据变量的次数；
（
4
）结合条件与结论等。实 际上拆分并没有统一的定式，往往
要结合多方面的考虑，综合分析后选择合适的“拆分”
。
一、
通过拆分成为
“
定积
”
、
“
定和
”
问题：
1.
设
x
< br>0
，
a
0
，且
5(
x
1)
2
a
24
，求：
a
的最小值.
5
(
x
1)
2
a
a< br>a
a
2
2
令
f
(
x
)
< br>5(
x
1)
(
x
1)
(
x
1)
7
7
.
5
5
5
< br>
2(
x
1)
2(
x
1)(
x
1)
4
5
个
2
2
a< br>a
当
(
x
1)
时，上式取等号；即f
(
x
)
的最小值为：
7
7
.
52(
x
1)
4
2
2
a
24
24
因此，
7
7
24
a
2
.
a
的 最小值为
2
.
4
7
< br>7
2
2
7
7
2.
计 算函数
f
(
x
)
x
27
< br>13
x
x
的最大值
.
【方法 一】：函数
f
的定义域为：
0
x
1 3.
2
根据
Cauchy
不等式：
a
1
a
n
(1
1)(
a
1
2
a
n
).
则：
x
27
x
27
13
x
13
x
x
x
f
(
x
)
2
2
2
2
2
2
n
n
p
p
m
m
< br>
n
个
p
个
m
个
2
x
27
13
x
x
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
n
p
m
.
< br>
2
2
2
n
p
m
p
个
m
个
n
个
1
1
1
x
27
13
x
x
令：
0
，取
n
6
，
p
2
，< br>m
3.
再令：
2
2
x
9.
2
n
p
m
6
2
3因此，
f
(
x
)
11
，当
x
9
时，取等号
.
因此，当
x
9
时，
f
(
x
)
取最大值
11.
【方法二】：
x
27
x
13
x
因此，< br>x
27
x
13
x
11.
等号在
x
27
2
x
3
13
x
时，即
x
9
时成 立
.
2
1
1
1
(
x
27)
2
x
3(13
x
)
121
2
3
1
【注 】：由于
0
x
13
，故：
x
27
x
，
x
27
13
x
.
因此需选择适当的
系数
、
、
使
(
x
27)
x
(13
x
)
为常数；而且
，
；
(
x
27)
x
< br>(13
x
).
这样便不难求出：
1< br>，
2
，
3
，
x< br>
9.
(
x
1)
5
3.
求函数
f
(
x
)
在
x
1< br>时的最大值
.
9
(10
x
6)
(
x
1)
5
1
(
x
1)5
(
x
1)
5
1
(
x
< br>1)
5
4
f
(
x
)
.
令：
g
(
x
)
(10
x
6)
9
2
9
(5
x
3)
9
(5
x
3)
9
4
(5
x
3)
5
(5
x
3)
4
1
x
1
1
1
5
x
4
5
165
4
9
.
4
9
9
9
5
x
3
5
x
3
9
5
x
3
9
1
3
当
x
1
，即
x
时取等号
.
令：4
5
3
，使其成为
“
定和
”
问题
.
2
2
(
x
< br>1)
5
1
3
(
x
1)
5
1
因此，
.
即
x
时，
f
(< br>x
)
取最大值
.
(10
x
6)
9
2
5
9
9
2
(10
x
6)
9
2
5
9
9
1
4
4
x
5
5
(
x
1)
5
1
< br>(
x
)
1
1
< br>10
x
6
10
x
6
或，
5
5
9
4
(10
x
6)
1 0
x
6
(10
x
6)
< br>9
9
5
x
4
5< br>
9
5
.
令< br>5
x
4
5
k< br>(10
x
6)
2
，
k
1.
9
10
x
6< br>
1
9
9
9
1
2
二、
在等号成立处进行拆分：
(
a
1)
3
(
b
1)
3
(
c
1)
3
81
.
4.
已知
a
、
b
、
c
0
，证明：< br>b
c
a
4
3(
x
1)
3
81
【分析】：不等式的等号应该在
a
b
c
时 成立
.
令：
.
x
4
1
4x
3
12
x
2
15
x
4
0
(2
x
1)
2
(
x
4)
0
x
.2
1
即不等式在
a
b
c
时成立，因此做拆分时应注意等号何时成立！
2
(
a
1)
3
(
b
1)
3
(
c
1)< br>3
3(
a
1)(
b
1)(
c< br>
1)
(
如何拆分见附注
)
3
b
c
a
abc
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
3(
a< br>
)(
b
)(
c
)
3
3
3
a
3
3
b
3
3
c
2
2
2
2
2
2
81
.
2
2
2
2
2
2
3
3
4
abc
abc
1
1
1
【注】：等号在
a
b
c
时成立，消去分母，作如下拆分：
a
1
a
.
2
2
2
2