第2讲 分数的拆分问题
巡山小妖精
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2021年01月27日 23:17
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第二讲
分数的拆分问题
一．分数拆分的初步知识
我们已经学过分数的加法运算，反过来你能把一个分数拆成几个分数的和的形式吗？
我们先看下面的 例题。
1
1
1
1
1
3
1
2
10
15
2
5
3
5
2
5
3
3
5
2
5
1
2
3
5
6
1
1
1
如果把上题改 为填空：
，你会填吗？有了上面的结果，就可以填出
6
( )
( )
1
1
1
。把一个分数拆成两个 或两个以上的分数的和的形式，叫做分数的拆分。
6
(10)
(15)1
1
1
怎样才能把一个分数拆成两个分数和的形式呢？我们仍然以
为例，
6
( )
( )
1
1
5
因为
（扩分）
6
2
3
2
3
5
2
3
2
3
=
（拆开）
2
3
5
2
3
5
2
3
52
3
1
1
（约分）
3
0
3
0
1
5
1
0
1
1
1
所以
。
6
(15)
(10)
通过以上可以看出，拆分主要有以下几个步骤：
1
1
1
的分母写成质因数乘积的形式。即
；
< br>6
6
2
3
1
1
1
5< br>
（
2
）把
的分子和分母同时乘以
5
，成为
的形式，这叫做扩分；
2
3
2
3
2
3
5
（
1
）把
注意为什么要乘以5
？因为
5
正好是分母
6
的两个质因数
2
与< br>3
的和。
（
3
）把分子拆成分母的两个质因子的和，再拆成两个分数的和。即：
5
2
3
2
3
=
；
2
3
5
2
3
5
2
3
5
2
3
5
（
4
）把拆开后的两个分数约分，化为最简分数。
1
1
1
，并写出过程。
14
( )
( )
1
1
1
9
2
9
解：
142
7
2
7
9
2
7
9
2
7
9
1
11
1
=
+
，
=
7
9
2
9
63
18
例
1
．填空：
事实上，我们把分母分解 质因数后，可以得到这个分母的不同的约数，只要把分子和
分母都乘以这个分母的任意两个约数的和，就 可以把一个分数拆成两个分数的和。
例
2
．填空：
1
1< br>1
。
18
( )
( )
解：
18
分解质因数后有六个约数：
1
、
2
、3
、
6
、
9
、
18
，取不同的两个约数的和， 可以
得到不同的结果。
1
1
(1
2 )
1
2
1
1
；
18
18
(1
2)
54
54
54
27
1
1
(2
3)
2
3
1
1
②
；
18
18
(2
3)
90
90
45
30
1
1
(3
6)
3
6
1
1
③
；
18
18
(3
6)
162
162
54
27
1
1
(6
9)6
9
1
1
④
；
18
18
(6
9)
270< br>270
45
30
1
1
(9
18 )
9
18
1
1
⑤
；
18
18
(9
18)
486
486
54
27
1
1
(2
< br>9)
2
9
1
1
⑥
；
18
18
(2
9)< br>198
198
99
22
①
……
可以看出， 由于每次所选的两个约数不同，所得的解也就不相同。但是当选用的四个
约数成比例时，它们的解就相同 。如选
1
和
2
、
3
和
6
、
9和
18
时，或选
2
和
3
、
6
和
9
时，
解就相同。
二．把一个分数拆成几个分数的和
以上拆分的方法同样也适用于把一个分数拆成三个或三个以上分数的和。
例
3
．填空：
1
1
1
1
。
18
( )
( )
( )
解：
18
分解质因数后有六个约数：
1
、
2
、< br>3
、
6
、
9
、
18
，可以任意取不同的三个 约数的
和，得到不同的结果。
1
1
(1
2+3)
1
2
3
1
1
1
+
+
；
18
18
(1
2+3)
108
108
108
108
5 4
36
1
1
(2
3+6)
2
3
6
1
1
1
+
+
；
②
18
18
(2
< br>3+6)
198
198
198
99
66
33
1
1
(1+3
6)
1
3
6
1
1
1
+
+
；
③
18
18
(1+3
6)
180
180
180
180
60
30
①
……
三．把一个分数拆成两个分数的差
能不能把一个分数拆成两个分数的 差的形式呢？观察下面的分数运算，看看左右两边
有什么关系。
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=
和
；
=
和
；
=
和
；
1
2
2
1
2
2
2
3
6
2
3
6
3
4
12
3
4
12< br>1
1
1
由上面的例子可知：当一个分数为
（
n
为自然 数）时，可以拆分成
n
n
1
n
(< br>n
1)
1
1
1
的形式。即< br>。
（公式
1
）
n
(
n
1)
n
n
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
例
4
．填空：①
；②
；③
。
6
( )
( )
12
( )
( )
56
( )
( )
1
1
1
1
=
；
解：①
6
2
3
2
3
1
1
11
=
；
12
3
4< br>3
4
1
1
1
1
=
；< br>
③
56
7
8
7
8
②
观 察下面几个分数的运算，左右两边有什么关系？
5
5
1
1
16
11
5
=
和
；
11
16
176
11
16
176
176
6
6
3
1
1
8
2
63
=
=
和
=
；
2
8
16
8
2
8
16
16
8
2
2
1
1
9
7
2
=
和
；
7
9
63
7
9
63
63
以上每个分数的分子都是分母中两个因数的差。当
n
、
n
+
d
都是自然数时，
可以转化为两个分数相减的形式。 即：
d
n
(
n
d
)
d
1
1
（公式
2
）
n< br>
(
n
d
)
n
n
d< br>当
d
=1
时，公式（
2
）转化为公式（
1
）
。利用公式（
2
）
，可以把一些分数拆成两个分数
差的形式。
例
5
．把下列各数写出两个分数差的形式：
5
32
7
；
（
2
）
；
（
3
）；
（
4
）
。
24
18
28
63
5
5
1
1
=
；
解：
（
1
）
24
3
8
3
8< br>3
3
1
1
=
；
（< br>2
）
28
4
7
4
7
2
2
1
1
=
；
（
3
）
63
7
9
7
9
7
7
1
1
；
（
4
）
=
18
2
9
2
9
d
1
1
1
1
1
1
(
)
（公式< br>3
）
由公式
（
2
）
可以导出
。
< br>n
(
n
d
)
n
n
< br>d
n
(
n
d
)
d
n< br>n
d
1
1
1
1
1
1
1< br>1
1
1
1
1
1
1
1
1
< br>
(
)
，
(
)< br>，
(
)
，
(< br>
)
。
如
24
5
3
8
2 8
3
4
7
63
2
7
9
18
72
9
（
1
）
观察下面的等式，左右两边有什么关系？
1
1
1
1
1
1
与
(
)
，
1
2
3
6
2
1
2
2
3
6
1
1
1
1
1
1
)
与
(
，
2
3
4
24
2
2
33
4
24
1
1
1
1
1
1< br>
)
与
(
，
3< br>
4
5
60
2
3
4
4
5
60
通过上面的算式，可以得到这样的结论：
11
1
1
[
]
（公式
4
）
n
(
n
1)
(
n
2)
2
n
(
n
1)
(
n
1)
(
n
2)