捉妖记影评-私营企业劳动合同

2021年1月27日发(作者：跳绳的拼音)

分数拆分

一、比较分数的大小

1.
通分比较分数大小（包括通分母与通分子）




2.

化为小数比较大小

3.
倒数法（倒数大的分数反而小）














4.

作差法
——
和
0
比较大小

5. 放缩法与标准数法（利用不等式的传递性）若
a

b
，
c

b

a

c

n
n

k
n

p
6.
性质法：


(
m

0,
k

0,
p

0)


m
m

k
m

p












如果












n
n
n

1
n

2
为真分数，则



m
m

1
m

2
m

n

k

k

0

（假分数则相反）

m

k
a
c
a
a

c
c






a
,
b
,
c
,
d
均为正数


b
d
b
b

d
d
二、分数的拆分及其运用

1
）约数法
:
如果将一个分数单 位拆分成两个分数单位之和，也就是
均为非零自然数）
，需经过以下步骤：

分解——将
A
分解质因数，从中找出
A
的任意两个约数
a
1
、
a
2
；

a

a
2
1
1
的分子、分母同时乘以
(
a
1

a
2< br>)
，得到：

1
；

A
A
(
a
1

a
2
)
A
a
1
a
2
1
拆分——把扩分后的分数拆成两个分数之和：

；


A
A
(
a
1

a
2
)
A
(
a
1

a
2
)
1
1
1


的表达式（
A
、
B
、
C
A
B
C
扩分——把
约分——把所得的两个分数约分，得到最后结果：
1
1
1
。



A
A
A
(
a
1

a
2
)
(
a
1

a
2
)
a
1
a
2
2
）裂项法：< br>





















1
1
1
，
(
n

0)



n
n

1
n
(
n

1)
1
1
1
，
(
n

0)


n
(
n

1)
n
n
< br>1
1
1

n
(
n

k
)< br>k
1

(
n

k
)

n< br>1

1





，

n

0,
k

0


k

n
n

k

n
(
n

k
)
三、分数的裂项

整数的运算在有些情况下也可以借 用分数裂项的思想，
同样也可以通过裂项来构造出相同的项，
再通
过抵消进而求解。它 们运用的公式为：

n
(
n

1)

1< br>1
n
(
n

1)


(
n

2)

(
n

1)




n
(
n

1)(
n

2)

(
n

1)
n
(
n

1)



3
3
1
1
n
(
n

1)(
n

2)


(
n

3)

(
n

1)




n
(
n

1)(
n

2) (
n

3)

(
n

1)
n(
n

1)(
n

2)



4
4
n
(
n

1)(
n
2)

四、分数的估算

在数学中，精确计算非常必要，但有时只需要对 某些数量作一个大致的估计，当然，这里所说的“大
致”是指误差很小的估算，也就是根据实际需要，对 一些数量进行粗略运算。本将所运用的估算方法为放
缩法，其基本原理为：若
a
1
a
2


a
n
，则
n
1< br>1



a
n
a
1
a
2< br>
1
n

，
（
a
1
,
a< br>2
a
n
a
1
a
n
为不
同的非零自然 数）
。在小学阶段，分数的估算通常不会单独考察，一般贯穿于分数计算的应用之中。




拆分裂项

1.

在
1< br>1
1


的方框里填入不同的非零自然数，使等式成立。

6


【分析】

我们总结出分数拆分的步骤：

找齐分母
6
的约数：
1
,2,3,6

将
1
1

2
1
扩分：


6
6

(1

2)
6
1
1
< br>3


6
6

(1

3)
1
1

6


6
6

(1

6)
1
2

3


6
6
(2

3)
1
2

6


6
6

(2

6)
1
3

6


6
6

(3

6)








或








或








或








或








或
将扩分后的
















































1
拆分，能约分的约分：

6
1
2
1
1

，即


18
18
18
9
1
3
1
1
，即



24
24
24
8
1
6
11
，即



42
42
42
7
2
3
1
1

，即


30
30
15
10
3
6
1
3
与
重复


48
48
24
24
3
6
1
2

与

重复

54
54
18
18
1
1
1


的表达式

A
B
C
注：
如果将一个分数单位拆分成两个分数单位之和，也就是
分解
— —
将
A
分解质因数，从中找出
A
的任意两个约数
a
1
、
a
2
；

a

a
2
1
1
的分子、分母同时乘以
(
a
1

a
2
)
，得到：

1
；

A
A
(a
1

a
2
)
A
a
1
a2
1
拆分
——
把扩分后的分数拆成两个分数之和：

；


A
A
(
a
1

a
2
)
A
(
a
1

a
2
)
扩 分
——
把
约分
——
把所得的两个分数约分，得到最后结果：
1
1
1
。



A
A
A
(
a
1

a
2
)
(
a
1

a
2
)
a
1
a
2



2.

在括号中填入不同的数字使等式成立

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
）







2
）










3
）






3




8




6






【分析】

这里可以先让学生一起去尝试填写，填法不为一。

主要讲解下

1
1
4
1
1
1
约数法：
1
）
1和
3
是
3
的约数，而


，等式两边同时除以
4
，




1
3
3
4
12
3








2
）
2
和
4
是
8
的约数，而
1
1
6
1
1
1
< br>
，等式两边同时除以
6
，




2
4
8
12
24
8
1
1
1
11
1
1
1
1









3
）
1
、
2
、
3
都是
6
的约数，
而



，
等式 两边同时除以
11
，




1
2
3
6
11
22
33
6
1
1
1
裂 项法：



n
(
n

1)
n< br>(
n

1)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
）










2
）







3
）






3

4


12

8

9


72

6

7


43


1806


3.

如果
4
1
1


，其中< br>A
、
B
为不同的非零自然数，那么，满足条件的
A
、
B
分别是多少？

15
A
B
【分析】

因为
15
的约数有：
1,3,5,15

且
或或
4
4

(1

3)
4
12
1
1






15
15
(1

3)
60
60
15
5
44

(1

15)
4
60
1
1






15
15

(1

15)
240
240
60
4
4
4

(3

5)
12
20
1
1






15
15

(3
< br>5)
120
120
10
6
所以：
4
1
1
1
1
1
1







15
15
5
60
4
10
6
显然，因为约数
5
和
15
恰好是
1
和
3
的 整数倍，所以结果就会重复。

注：
如果拆分的分子不能被分解成分母的约数之和整除 ，
那么，
就需要先将被拆分的分数扩分，
然后再按此题的方法解答。如：
< br>4
4

(1

3)
4
12
1
1
2
1
1
2
4
1
1




。



，因为
2

1< br>
3
，所以转化为



，而

6
6

(1

3)
24
24
6
2< br>3
A
B
3
6
A
B

4.

下面算式中，所有分母都是四位数。请在每个方格中填入一个数字，使等式成立。



1
1
1




200 4

1
1
1
1
1
1

< br>，那么很容易直接看出结果：


。但题目中分母都是四位数，那
< br>3

6


【分析】

如果题目是
就需要设法使其简化且不失本质。



一个等 式的各项都扩大或缩小相同的倍数，原等式仍然成立。根据这一道理，就可以使分母尽
量变得简单了。< br>
因为
2004

2

2

3
167

3

668

4

501

6

334

12

167< br>，

所以
即
或
即
或
但
1
1
1
，



6

668
3

668
2

668
1
1
1
就是其中的 一组解。



4008
2004
1336
11
1
，



12

501
4

501
3

501
1
1
1
就 是另一组解。



6012
2004
1503
1
1
1
，



12

3346

334
4

334
1
1
1
，与第一组解重复。



4008
2004
1336< br>注：
一般地，在解答此类问题时，将已知的分母先分解质因数，用已知分母的约数代替分母，试着找一组解，然后再将分母乘以适当的倍数即可。


1
1
1





1

2

3
2

3

4
98

99

100
1
1
1
1
【分析】

因为

(

)
，所以

k
(
k

1)(
k

2)
2
k
(k

1)
(
k

1)(
k

2)
5.

计算：
1
1
1
1
1
1
原式

(

)

(

)

2
1

2
2

3
2
2

3
3

4
1
1
1
4949
。< br>

(

)

2
1

2< br>99

100
19800

6.

计算：
1
1
1

(

)

2
98

99
99

100
4
5
6



1

2

3
2

3

4
3

4

5

11

8

9

10
【分析】

观察分式中每个分数的特点，
分母是我们熟悉的裂项形式，
那么分子中不同的连续数字怎么才
能解决呢？

可以让同学自己先尝试下，看看不同的分子会不会成为解题路上的拦路虎。

原式
1


4
4


5
5








2
1

2
2

3
2

33

4





1
4
1

1




2
1

2
2

3
3

4

1


1
1

11

2< br>2





1


< br>2

2
9
90
15





11



11






8

9
9

10







1

11




8

9

9

10










2
2

1
3
2

1
4
2

1
7.

计算：
2



2

1
3
2

1
4
2

1
2 9
2

1


2
29

1
【分析】

此题中每个分数都是假分数，且分母可以利用平方差公式变成两数之积的形式，先进行化简，

2


2


2


原 式


1

2

1


1







2
2

2

1


3

1


4

1

2




1

2



29

1



2


(29

1)(29

1)


2
2
2








28


(2

1)(2

1)
(3< br>
1)(3

1)
(4

1)(4

1)

1
1


1
1
1
11
1





28

< br>

















仔细分清括号里哪些项被消去了

28
30


1
3
2
4
3
5
1

188

1
1





28


1










29
435

2
29
30


8.

1
2
1
2

2
2
1
2

2
2

3
2
1
2

2
2

3
2

4
2




1
3
1
3

2
3
1
3

2
3

3
3
1
3

2
3

3
3

4
3
2
2
2

1
2

2
2

3
2


3
1

2
3

3
3


2010
2












2010
3n
(
n

1)(2
n

1)
1
1

2


n
2
2
n

1
2
1
6
【分析】

该数列的第
n
项< br>
3
×
×
(
+
)
，所以原式


n
(
n

1)
2
n
(< br>n

1)
1

2
3

n
3
3
3
n
n

1
(
)
2
2
1
1
1
1
1


(1






3
2
2
3
3
4

2
2010
1340
1
1
1
1





)

×
2009
2 010
2010
2011
3
2011
2011
温馨提示：当 计算的题目比较复杂而且存在通项时，应该先分析通项的特点，然后采用裂项等
方法来简化问题。


9.

（仁华学校初中代数综合测试题）试求算式

1

1


1

1
(1

2

2

3)




(2

3

3

4)



1

2
2

3
2

3
3

4




整数部分。

1< br>
3
1
2
2

1


2< br>

【分析】

(1

2

2
3)


4




1< br>3
1
3

1

2
2

3< br>
1

4
2
2
2

1
(2

3

3

4)



2



4




2
4
2
4

2

3
3

4

1


1


19

20
20

21





1 9

20
20

21

的























1

21
19
2
2

1


4





19
20

20

21




2


19
21
19
21

19

20
20

21

2
2

< br>2
2


2
2


原式


4





4





4




1
3


2
4


3
5


2
2
2
2





4

19





1
2
20
21
2
2



4




19
21







79

1
2


10
21
所以原式的整数部分为
78
。




14


10


35
10.

已知整数
x
，
y
，
z满足


•


•


< br>70
，那么
x

y

z
的值为多少？


5


7


8


2

7


2

5


5

7

x

y

3
z
5
y

z

x
7
x

z

y

2

5

7

【分析】






3

2

5


7


2
x
y
z
x
y
z

y
z

x

1

z

1
,x

y



x

z
y

1
代入
x

y

3
z< br>
1

x

y

2

< br>x

y

z

2

2
< br>1

5



14


1 0


5


3
















5


7


12


20

11.

（计算：







5
13
19
31



6
12
20
30
4
3
2
1
【分析】

计算分子，首先确定下符号为正

4
4
3
3
2
2

7


2

5

5


3

2

7
2

5

5

3
2

7












4
3
4
2
2
3
5


7


4

3

4

5

5

7
2

3

2

5
4
3
21
再计算分母
原式


5
13
19
3 1
50

65

57

62
1






6
12
20
3060
3
14
1


14
3
3
大小比较

1.

试比较
4
5
和
的大小

5
6
4< br>24
5
25
4
5
、

、
24

25
，那么



5
30
6
30
5
6
【分析】

1
、通分后进行比较，找到
5
和
6
的最小公倍数，
2
、化为小数比较，
3
、比较其倒数，
4
5

0. 8
、

0.83
5
6
，所以
4
5


5
6
4
5
1
5
6
1
的倒数是

1
、
的倒数是

1

5
4
4
6
5
5
1
1
1
1
4
5



观察
1
与
1
，显然
1

1
（分子相同，分母大的分数小）
，那么


4
5
4
5
5
6
4
、均与标准数
1
作 比较，
1


2.

（
1
）比较
（
2
）比较
4
1
5
1
1
1
54
4
5

、
1


，显然

，那么
比
更接近
1
，


5
5< br>6
6
6
5
5
6
5
6
111
1111
的大小

和
3333
33333
1997
2007
与
的大小

1999
2010


【分析】

(1)
①
用倒数法：因为
111
333 3
3
1111
33333
3
的倒数是
，
的倒数是< br>，易知
=30
=30
3333
111
111
3333 3
1111
1111
30
3
3
111
1111，所以


30

111
1111
3333< br>33333
111
333
1111
3333

0.0333
，


0.03333
，
易
知< br>3333
9999
33333
99999
②
化
为循
环
小
数
比
较
：
因
为
0.0 333

0.03333
，所以
(2)

用做差法：
111
1111


3333
3333 3
1997
2007
1997

2010

200 7

1999
，和
0
比较大小只要看分子就行



1999
2010
1999

2010







1997

201 0

2007

1999








1997

(2007

3)

2007

1999








1997

3

200 7

(1999

1997)








1997

3

2007

2








1977

0

所以
1997
2007


1999
2010用倒数法：通过观察这道题中的
2
个分数，其分母都比分子大一点，利用倒数法可以降低运 算
量，
1997
1999
2
2007
2010
3< br>的倒数是
，
的倒数是
；再做差比较
2
个倒数就可以，

=1
=1
1997
1997
2010
2007
20 07
1999
2
3
1997
2007
，所以


1

1

1997
2007
1999< br>2010

3.

5
个分数中
3
4
17
101
203
，
，
，
，
中最大数与最小数差是 多少？

7
9
35
203
405
1
1，此题可以利用标准数法，分别和
作比较。

2
2
【分析】

仔细观察
5
个数不难发现他们都很 接近
其中只有
203
1
1
203
。

< br>，其余的都小于
，那么最大数就是
2
405
2
405
1
1
3
1
1
4
1
1
17
1
1
101
1
的差，有


，


，


，



2
2
7
14
2
9
18
2
35
70
2
203406
计算另外
4
个分数与
3
203
3
11
206


是最小的，那么最大数与最小数的差为：




7
405
7
810
14
2835

4.

在横线上分别填入两个相邻的整数，使不等式成立。
_____

10
11


11
12

18
19


_____
.

19
20
【分析】

原式

1

1
1

1


11
12

1

1
1
1

10

(
< br>
20
11
12

1
)

201
1


11
12
1
1


11
12
1
1
1


10
，

20
20
2
1
1
10



10

20
11
11
10
1
1

10

(


11
11
12

1
1
)

10


10
.
20
2
所以，
9

10



5.

试比较
1
2
3


2
2

3
2

3

4
9
2

3

4


10< br>与
1
的大小

【分析】

这次每个分母中是数目不同 数字的连乘，与前面的题目有些不同，也不是常见的裂项形式，分
母中的大数减小数也与分子不同，减下 来似乎都差
1
(
这里可以提示学生在每个分母上都多乘
上一个
1< br>，数值仍然不变
)
拿出其中一个分式尝试拆分一下
3
，其分子恰好可以 拆成
1

2

3

4
4

1
，这样
4

1
1
1
，式子中的每一项都可以仿 照其进行拆分，看看是不是有


2

3

42

3
2

3

4
很多项可以约去。

原式
=





1

1
1


1
1










2

2
2

3


2

3
2

3

4

1
1








2

3


9
2

3


10

1
1
1



2
2
2

3


10
1

1

2

3

10

9
2

3

4

< br>10

1






1


1
2
3



2
2

3
2

3

4

1
3
5
6.

已知
A




2
4
6

99
1
，试比较
A
与
的大小

100
10

98
99的话，计

99
100
1
2
3
4
【分 析】

A
中的分子与分母能约去的部分相当有限，如果是算式

< br>

2
3
4
5
2
4
6
算起 来就非常简便，拿
A
与其做个比较，设
B




3
5
9

98

，让学生尝试自己比较下
99
A
和
B
的大小，利用性质法可知
1
2
3
由
A

B




2
3
4

1
2
3
4
97
98
99
， 且

1

，

A

B


，

，
……
，

98
99
10 0
2
3
4
5
98
99
1
1
，可知
A




99
100
100
10

7.

分母是
2009
，且小于
1
的最简分数有（


）个

【分析】

最简分数中分子与分母必定是互质的，首先分解质 因数
2009

7

7

41
，所以分子 只要不是
7
或
41
的倍数就是最简分数，
1
到
20 08
中能被
7
整除的数有
286
个，
能被
41整除的数有
48
个，
能被
7
和
41
同时整除的 有
6
个。所以分母是
2009
的最简真分数有
2008
< br>286

48

6

1680



8.

按要求填空，使不等式成立。

1
1)
同分子：

5






1




；






4


1

2)
同分母：

5




< br>
1











4






1









4
1

3)
任意自然数：

5

1
1
【分析】

1)
分子相同的分数分母越大分数越小，
首先考虑还有没有分子为
1
的数在
和
之间，
5
和
4
之
5
4
间没有整数了，
我们需要把
5
和
4
放大，
原式改为
1
< br>5


5

5



< br>

1

5



，
那么 在
25
和
20
4

5




5
5
5
5
、
、
、
，选择 填
24
23
22
21
之间还有
24
、
23
、
22
、
21
符合要求，
4
个分数均为最简真分数
入即可。

2
）要求分母相同，我们先将式子中的
2
个分数 通分，即找出
4
5
和
的分数，这次分子
4
和
520
20
28
35
和
之间的
140
140之间仍然没有整数，我们还是将他们放大，分子分母同时乘以
7
，转化成找
分数， 其中最简真分数有
29
31
33
、
、
，依次填入即可。
140
140
140
a
c
a
a
< br>c
c





（
a
、< br>b
、
c
、
d
均为正数）

b
db
b

d
d
3
）分子，分母没有要求，可以利用公式< br>

得出

1
1

1
1
1
2
1
1
1

2
2
2

1
1
1
3
2
3
1





，再用一次






< br>


5
5

4
4
5
9< br>4
5
5

9
9
9

4
4< br>5
14
9
13
4

巧算

1
1
1
1
1
1
1
1
1.

计算：








_______

3
6
10
15
21
28
36
45
【分析】

这个式子我们并不熟悉，
6

2

3
，
10

2

5
，15

3

5
，
21

3

7
，
28

4

7
，
……
，我们
发现只要它们乘以
2
，就能变成两个相邻自然数的乘积。




1
1
1
1
1
1
1
1

1

1
1
1
1
1
1


1
1






2











2

原式









6
12
40
30
42
5 6
72
90



3
6
10
15
21
28
36
45

2

1
1< br>1
1

2
4

1
1
1
1< br>








< br>

2


2


8
9< br>9
10

5
5

2
3
3
4

3
5
7
9
11
13






________

2
6
12
20
30
42
1

1
1

11

1
1

1
1

1
1
【分析】

原式

1


















2

2
3

3
4

4
5

5
6

6
7

2.

计算：

1

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
6











1



2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
7




3.

1024

512


32

16

8

4
2

1

1
1


2
41
1


2
4

1
1

_______

512
1024
1
1
1



1 024

512
1024
1024
【分析】

51 2


32

16

8

4
2

1


原式

1024

1024


1
1


10241024
1
1

1


__________

2
3
1
1
1
1
4.

计算
1993

1992

1991

1990< br>
2
3
2
3
【分析】

本题需要先拆分在分组，然后在做简单的等差数列求和

1
1
11
1
1
1993

1992

1991

1990


1

2
3
2
3
2
3
1


1


1


1

1



1




1993




1992




1991




19 90





1




0


2


3


2


3

3



2


1
1
1
1
1
1

1993


1992


1991


1990



1


0

2< br>3
2
3
2
3

1
1

< br>1
1
1
1

(1993

1992

1991

1990


1

0)








23


2
3
2
3

(1
< br>1


997


1

9971

997


1
1


1 )





997

997




3


2

2
3

1994

2

997
个
997
1
1

997

166

1163
6< br>6
6
17




9


20


______

21



5.

17

17
17




9


9


2

9


3







21


21


21


【分析】

原式

9

20

17

(1

2

21

20)

180

17
21

20


180

170

350< br>
21
2

6.

计算：
1
2

2

3

3

4

999

1000

【分析】

解决这道题的思想还是和前面的分式一样，希望通过裂项来构造出相同的项，约去后求解。
< br>尝试计算观察下：
n
(
n

1)(
n
2)

(
n

1)
n
(
n

1)

















n
(
n

1)


(
n

2)

(
n

1)


















n
(
n

1)

3

所以原式

1




1
2

3

0

1

2


2

3

4

1
2

3


3

1


999

1000

1001

0

1

2


3

333333000




999

1000

1001

998
999

1000




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