育儿心得小班-传染病疫情报告

2021年1月27日发(作者：向着太阳)

















WORD
格式
..
可编辑













第
2
讲利用待定系数法因式分解、
分式的拆分等


一、

方法技巧

1.

待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了














多项式
f
(
x
)

g
(
x
)
的充要条件是：
对于一个任意的
x=
a
值，
都有
f
(
x
)

g
(
x
)
；
或者两个多项





式各关于
x
的同类项的系数对应相等．


2.
使用待定系数法解题的一般步骤是：

（
1
）确定所求问题含待定系数的一般解析式；

（
2
）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组）
；

（
3
）解方程（组）
，从而使问题得到解决
.

例如：
“
已知
x

5


2

a


x

bx

c
，求
a
，
b
，
c
的值．
”

2
2< br>解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到
a，
b
，
c
的值．这里的
a
，
b
，c
是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法．

3.
格式与步骤
:
(1)
确定所求问题含待定系数的解析式
.
上面例题中，解析式就是：

2

a


x
bx

c


2
(2)
根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程
.
在这一题中，恒等条件是：


2

a

1


b

0

c


5


(3)
解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决
. 
a

1

∴

b

0
c


5



二、应用举例

类型一



利用待定系数法解决因式分解问题

【例题
1
】已知多项式
2
x

3
x

ax

7
x

b
能被
x

x

2
整除
.
（
1
）求
a
，
b

（
2
）分解因式：
2
x

3
x

ax

7
x

b


4
3
2
2
【答案】（
1
）
a



12
和
b

6

（
2
）
2
x

3
x

12
x
7
x

6

x

x

2< br>4
3
2
2
4
3
2


2
x
2

5
x

3


【解析】

试题分析：
















专业知识整理分享
































WORD
格式
..
可编辑













（
1
）由条件可知
x

x

2
是该多项式的 一个二次因式，而该多项式次数为
4
，故可设
2
2
x
4
3
x
3

ax
2

7
x< br>
b


x
2

x

2< br>
2
x
2

mx

n

，可解出
m
、
n
，最后代入即可求出
a
、
b
的
值
.
（
2
）由（
1
）可得结果

试题解析：

解：
（
1
）∵多项式
2
x< br>
3
x

ax

7
x

b
能被
x

x

2
整除

4
3
2
2
2
∴设
2
x

3
x
ax

7
x

b

x
< br>x

2
2
x

mx

n
，

4
3
2
2



整理，得< br>2
x
4

3
x
3

ax
2

7
x

b

2
x
4


m

2

x
3


m

n

4

x
2


n

2
m

x

2
n


m

2


3

m

n

4

a

∴


n

2
m

7



b


2
n

m


5

n


3

解得


a


12



b

6
∴
a
、
b
的值分别为

12
和
6
.
4
32
2
（
2
）
2
x

3
x
12
x

7
x

6

x

x

2


2
x
2

5
x

3


考点：
1.
待定系数法因式分解

2.
整式乘法

3.
解方程组
.
点评：用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假 设成若干个因式的连乘积，这些因式中
的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘 积与原式恒等，然后根据恒等原
理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值
.
【难度】一般


【例题
2
】分解因式：
2
x

5
xy

3
y

3
x

5
y

2

【答案】
2
x< br>
5
xy

3
y

3
x

5
y

2


（
2
x

y

1
）（
x

3
y

2
）
【解析】

试题分析：

方法一




因为
2
x

5
xy

3
y

，因此
,
如果多项式能分解成两个关于
x
、
y
（
2
x

y
）（
x

3
y
）
2
2
2
2
2
2
（
2
x
-
y
+
m
）（
x

3y
+
n
）
的一次因式的乘积
,
那么设原式的分解式是< br>,
其中
m
、
n
为待定系数
.
然后展
开，利用多项式的恒等，求出
m
、
n
的值
.
试题解析：
















专业知识整理分享
































WORD
格式
..
可编辑













解 ：∵
2
x

5
xy

3
y
，

（
2
x

y
）（
x
< br>3
y
）
∴设
2
x

5
xy

3
y

3
x

5
y

2


（
2
x

y

m
）（
x

3
y

n
）
即

2
x
2

5
xy

3
y
2
3
x

5
y

2

（
2
x

y
）（
x

3
y< br>）


m

2
n

x
< br>
3
m

n

y

mn
?
2
2
2
2

m

2
n


3

①

对比系数，得：

3< br>m

n

5

②



mn


2

③

由①、②解得：

代入③式也成立
.
∴
2
x
5
xy

3
y

3
x
< br>5
y

2


（
2
x
< br>y

1
）（
x

3
y

2
）
试题分析：

方法二

前面同思路
1
，因为
所以对
2
x
2

5
xy

3
y
2

3
x

5
y

2


2
x

y

x

3
y



m

2
n

x


3
m

n

y

mn
是恒等式，
任意
x
,
y
的值，等式都成立，所以给< br>x
,
y
取特殊值，即可求出
m
,
n
的值.
试题解析：

解：∵
2
x

5
x y

3
y

，

（
2
x

y
）（
x

3
y
）
∴设
2x

5
xy

3
y

3
x< br>
5
y

2


（
2
x< br>－
y
＋
m
）（
x

3
y
＋
n
）
即

2
x

5
xy

3
y

3
x

5
y

2



（
2
x

y
）（
x

3
y
）


m

2
n

x


3
m

n

y

mn
?
2
2
2
2
2
22
2

m

1


n


2
∵该式是恒等式，

∴它对所有使式子有意义的
x
，
y
都成立，

那么 令
x

0
，
y

0
得：
mn

2








①

令
x

0
，
y

1
得：
3
m

n

mn

3

0




②


2


m

1

m

解①、② 组成的方程组，得

或

3


n

2

n

-3

把它们分别代入恒等式检验 ，得

2
2

m

1


n


2
∴
2
x

5
xy
3
y

3
x

5
y
2


（
2
x

y

1）（
x

3
y

2
）
考点：
1.
待定系数法分解因式

2.
解方程组
.
点评：本题解 法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验
.
若有的
解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所















专业知识整理分享
































WORD
格式
..
可编辑













设形成的因式
.
【难度】较难


类型二

利用待定系数法解决分式拆分问题

【例题
3
】

将分式
1
拆分成两个分式的和的形式
.
(
x
2< br>
1)(
x

1)
【答案】
1

x

1
1



2
2
(
x

1)(
x

1)
2(
x

1)
2(
x

1)
【解析】

试题分析：
< br>设
1
ax

b
c
，将等式右边通分，再利用分子恒等 求出
a
、
b
、
c
的值即可
.



(
x
2

1)(
x

1)x
2

1
x

1
试题解析：

解：设
1
ax

b
c


(
x
2

1)(
x

1)
x
2

1
x

1
ax

b
c
(
a

c
)
x
2

(
a

b
)
x

b

c
而
2



2
x

1
x

1
(
x

1)(
x

1)
1
(
a

c
)
x
2

(
a

b
)
x

b

c
即
2


(
x

1)(
x

1)
(
x2

1)(
x

1)
比较分子，得


a

c

0


a

b

0

b

c

1


解得
a


1
1
，

b

c

.

2
2
∴
1

x

1
1



2
2
(
x

1)(
x

1)
2(
x

1)
2(
x

1)
考点：分式的恒等变形

点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子 为
Ax

B
形式，分母只含一次项，则设分
子为常数

【难度】较难


【例题
4
】计算：
1
1
1
1



...


a
a

1


a

1
< br>a

2


a

2

a

3


a

9

a

10
















专业知识整理分享
































WORD
格式
..
可编辑













【答案】
10

a

a

10

【解析】

试题分析：

本题的
10
个分式相加，无法通分，而式子的特点是： 每个分式的分母都是两个连续整数的积（若
a
是整数），所以我们探究其中一个分式，找到相通 的规律，从而解题
.
试题解析：

解：我们设
1
A
B



a
< br>a

1

a
a

1
而
A< br>
a

1


Ba

A

B

a

A
A
B




a
a

1
a
(
a

1 )
a

a

1


A

B

0

A

1
比较分子得：

，解得：



A

1
B

< br>1


所以
1
1
1



a

a

1

a
a

1
1
1
1
1
1
1
1
1






...


a
a

1
a

1
a

2
a

2
a

3
a

9
a

101
1


a
a

10
所以，原式
=






























10

a

a

10

考点：分式计算
. 点评：在做题的时候见到式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积，可直接用公式
1< br>1
1
拆分
.


n

n

1

n
n

1
【难度】较难


类型三


利用待定系数法解决多项式中不含某项问题

2
【例题
5
】

已知
x

mx< br>
3

3
x

2

的积中不含x
的二次项，则
m
的值是（


）



A. 0
B.

【答案】
C

【解析】

试题分析：

2
2
3

C.


D.


3
3
2















专业知识整理分享
































WORD
格式
..
可编辑













2
将多项式
x

mx

3

3
x< br>
2

展开、
合并，
按
x
的降幂排列，根据积中不含
x
的二次项等价于
x
项


2< br>的系数为零列方程即可求得
m
的值
.
试题解析：

2
3
2
2
解：∵

x

mx
3

3
x

2


3< br>x

3
mx

9
x

2
x

2
mx

6



3
x
3


3
m

2

x
2


9

2
m

x

6
∵积中不含
x
的二次项，

∴
3
m

2

0
，

解得
m



2
.
3
故选
C
.
考点：多项式乘以多项式
.
点评： 多项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值
.
【难度】一般


三、

实战演练

1.
若多项式
3
x

5
xy

2
y< br>
x

9
y

n
能被
3
x

y

4
整除，则
n

_______< br>.
【答案】

4

【解析】

试题分析：

此题可通过因式分解得到：被除式
=
商×除式（余式为
0
）
，其除式为
3
x

y

4< br>即可

试题解析：

解：设原式


3x

y

4

x

2
y< br>
m


3
x

5
xy

2
y
+

3
m

4

x


8

m

y

4
m

2
2
2
2

3
m

4

1

①

比较系数，得：

8

m

9

②



n

4
m

③


由
①
，
②
解得
m


1
，

代入
③
得
n


4

考点：因式分解的应用

点评：此题考查知识点是因式分解的应用，运用公式被除式< br>=
商×除式（余式为
0
）是解题关键
.
【难度】容易


4
3
2
2
.
分解因式：
x

x

x

x

1

【答案】
x

x

x

x
1
=
(
x

【解析】

4
3
2
2
1

5
1

5
x

1)(
x
2

x

1)

2
2















专业知识整理分享
































WORD
格式
..
可编辑













试题分析：

这个多项式各项之间没有公因式也不符合乘法公式，
又因为不是 二次三项式所以不适用十字相乘法；
虽多于三项，但分组之后分解不能继续
.
因此，我 们应采用其他的办法
—
待定系数法
.
这是一个四次五
项式，首项系数 为
1
，尾项也是
1
，所以它可以写成两个二次三项式的积，再利用恒等式的性 质列方
程组求解即可
.
试题解析：

2
2
解：设
x

x

x

x

1
=
(
x

mx

1)(
x

nx< br>
1)

4
3
2
而
(
x

mx

1)(
x

nx

1)

2
2

x
4

nx
3

x
2

mx
3

mnx
2

mx

x
2

nx

1


x
4

(
m

n
)
x
3

(
mn

2)
x
2

(
m
n
)
x

1


m

n

1
∴


m n

2

1


1

5

1

5
m

m





2
2

解得

或


n

1

5

n

1

5



2

2
∴
x
4

x
3

x
2

x

1

(
x
2

1

5
1

5
x

1)(
x
2

x

1)

2
2
考点：待定系数法因式分解
.
点评：本题考查了待定系数法因式分解解高次多项式，恰当设待定系数是关键
.
【难度】容易


3.
分解因式：
2
a
2

3
ab

9
b
2

14
a

3
b

20

（
2
x
3
b

4
）
【答案】
2
a

3
ab

9
b

14
a
3
b

20


a

3
b< br>
5


2
2
【解析】

试题分析：

属于二次六项式，也可考虑用双十字相乘法，在此我们用待定系数法
.
先分解
2
a

3
ab

9
b

2
a

3
b

a

3
b< br>
，再设原式


2
a

3
b
m

a

3
b

n
< br>，展开后，利
2
2
用多项式恒等列方程组即可求解
.
试题解析：

方法一

解：∵
2
a
3
ab

9
b


2
a
< br>3
b

a

3
b


2
2
∴可设原式


2
a

3
b< br>
m

a

3
b

n


∴原式
=
2
a

3
ab
9
b


m

2
n

a

3
m

3
n

b
mn

2
2
即
2
a

3
ab

9
b

14
a

3
b

20

2
a

3
ab

9b


m

2
n

a

3
m

3
n

b

mn< br>

*

2
2
2
2















专业知识整理分享
































WORD
格式
..
可编辑














m

2
n

14

比较左右两个多项式的 系数，得：

3
m

3
n


3


mn

20


m

4

解得


n

5

22
（
2
x

3
b

4
）∴
2
a

3
ab

9
b
< br>14
a

3
b

20


a

3
b

5


方法二




对于方法一中的恒等式（
*
）因为对
a、
b
取任何值等式都成立，所以也可用特殊值法，求
m
、
n的
值
.
令
a

0
，
b
< br>0
，得
mn

20






①

令
a

1
，
b

0
，得
m

2
n

14



②

令
a

0
，
b

1
，得
m

n


1



③


m

4

解②、③组成的方程组，得

n

5


m

4
当

时，①成立


n

5
（
2
x

3
b

4
）
∴
2
a

3
ab

9
b

14
a

3
b

20


a

3
b
5


2
2
考点：
1.
待定系数法因式分解

2.
整式乘法

3.
解方程组
.
点评：对于复杂 的多项式分解因式，关键是列出恒等关系式，然后根据恒等原理，建立待定系数的
方程组，最后解方程组 即可求出待定系数的值
.

【难度】较难


4. 已知
f
(
x
)
表示关于
x
的一个五次多项式， 若
f


2


f


1


f

0


f

1


0
，
f

2


24
，
f

3


360
，求
f

4

的值
.
【答案】
1800

【解析】

试题分析：

因为
f

2


f


1


f
0


f

1


0，
所以这个多项式中必有因式

x

2

、< br>
x

1

、
x
、

x< br>
1

，
而四个因式的乘积为四次多项式，故原多项式可以分解为以上 四项因式的乘积以及还有一项一次因

式的乘积，故

式的乘积，故这个多项 式可以设为
，利用待定系数法求出
a
、
b
的值

x

2

x

1

x

x

1

ax

b

最后代入原多项式 ，即可求出
的值
.
f

4

试题解析：

解：∵
f


2


f


1


f

0


f

1


0
，

∴设
f
(
x
)



x

2

x

1

x

x

1

ax

b


由
f< br>
2


24
，
f

3


360
，可得方程组


4

3

2(2
a

b
)

24



5

4

3

2(3
a

b
)

360


















专业知识整理分享
































WORD
格式
..
可编辑














2
a

b

1
整理得：


3
a

b

3

解得：


a

2


b

-3
∴
f
(
x
)


x
2

x

1

x

x< br>
1

2
x

3



∴
f

4


6

5

4

3

(8

3)

180< br>0

考点：
1.
解二元一次方程组

2.
多项式变形

点评：此题考查了解二元一次方程组以及多项式的变形，弄清题意是解本题的关键
.
【难度】较难


5.
m
、
n
为何值时， 多项式
x

5
x

11
x

mx

n
能被
x

2
x

1
整除？

【答案】
m


11
，
n

4

【解析】

试题分析：由于多项式
x
< br>5
x

11
x

mx

n
能被
x

2
x

1
整除，可设商为
x
ax

b
，再利
用逆运算，除式×商式
=
被 除式，利用等式的对应相等，可求出
a
,
b
.
试题解析：

2
2
解：设原式
=
x

2
x
< br>1
x

ax

b

4
2
2
2
4
2
2
2
2













=
x

ax

bx

2
x

2
ax

2
bx

x

ax

b











=
x


a

2

x


b

2
a

1

x


a

2
b

x

b

4
3
2
4
3
2
3
2
2

a

2


5

b

2
a

1

11

对比系数， 得：



m

a

2
b


n

b

a


3

b

4

解得：



m< br>

11


n

4
故
m


11
，
n

4
.
考点：整式的除法

点评：本题考查的是多项式除以多项式，注意多项式除以多项式往 往可转化成多项式乘以多项式
.
【难度】一般


6.
若 多项式
x
3

ax
2

bx
能被

x

5

和

x

6

整除，那么
a

____
b

____
.
该多项式因式分解















专业知识整理分享
































WORD
格式
..
可编辑













为：
_______
.

【答案】

【解析】

试题分析：

因为多项式
x
3

ax
2

bx
能被

x

5< br>
和

x

6

整除，则说明
< br>x

5

和

x

6
< br>都是多项式
3
2
x
3

ax
2
< br>bx
的一个因式，故设
x

ax

bx
< br>
x

5

x

6

x

m

，展开即可求解
.

试题解析：

解：设
x
3

ax
2

bx
< br>
x

5

x

6

x

m


2



















x

11
x

30



x

m





















x

mx


30

11
m

x
30
m

3
2

a

m< br>
11

对比系数，得：

b

30

11
m


30
m

0
< br>
m

0

解得
:

a


11


b

30

故
,
a


11,
b

30
，

多项式因式分解为：
x

11
x

30
x

x

x

5

x

6


3
2
考点：整式除法与因式分解

点评：本 题考查的是多项式除以多项式，注意理解整除的含义，比如
A
被
B
整除，另外 一层意思就
是
B
是
A
的因式


7
.
分解因式：
x

x

4
x

3
x

5

4
3
2
2
2
【答案】
x

x

4
x
3
x

5

x

x

1x

2
x

5

4
3
2



【解析】

试题分析：

本题是关于
x
的四次多项式可考虑用待定系数法将其分 解为两个二次式之积
.

试题解析：

2
2
解：设
x

x

4
x

3
x

5

x

ax

1
x

bx

5

4
3
2



x
4


a

b

x3


ab

6

x
2
< br>
5
a

b

x

5
















专业知识整理分享

育儿心得小班-传染病疫情报告

育儿心得小班-传染病疫情报告

育儿心得小班-传染病疫情报告

育儿心得小班-传染病疫情报告

育儿心得小班-传染病疫情报告

育儿心得小班-传染病疫情报告

育儿心得小班-传染病疫情报告

育儿心得小班-传染病疫情报告