欧拉的一笔画原理
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2021年01月28日 01:07
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欧拉的一笔画原理是：
(1)
一笔画必须 是连通的
(
图形的各部分之间连接在一起
)
；
(2)
没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点；
(3)
只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点， 以另一个奇点为终点；
(4)
奇点个数超过两个的图形不是一笔画。
利用一 笔画原理，七桥问题很容易解决。因为图中
A
，
B
，
C
，< br>D
都是奇点，有四个奇点的图形不是一笔
画，所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这 七座桥。
顺便补充两点：
(1)
一个图形的奇点数目一定是偶数。
因为图形中 的每条线都有两个端点，所以图形中所有端点的总数必然是偶数。如果一个图形中奇点的
数目是奇数，那 么这个图形中与奇点相连接的端点数之和是奇数
(
奇数个奇数之和是奇数
)
， 与偶点相连的
线的端点数之和是偶数
(
任意个偶数之和是偶数
)
，< br>于是得到所有端点的总数是奇数，
这与前面的结论矛盾。
所以一个图形的奇点数目一定是 偶数。
(2)
有
K
个奇点的图形要
K÷2笔才能画成。
例如：下页左上图中的房子共有
B
，
E
，
F，
G
，
I
，
J
六个奇点，所以不是一笔画。如果我们将 其中的两
个奇点间的连线去掉一条，那么这两个奇点都变成了偶点，如果能去掉两条这样的连线，使图中 的六个奇
点变成两个，那么新图形就是一笔画了。将线段
GF
和
BJ
去掉，剩下
I
和
E
两个奇点
(
见右下图
)
，这个图
形是一笔画，再添上线段
GF
和
BJ
，共需三笔，即(6÷ 2)笔画成。
一个
K(K
＞
1)
笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道
K
笔画有
2K
个奇点，如果在任意
两个奇点之间添加一条连线，
那么这两个奇点同时变成了偶点。
如 左下图中的
B
，
C
两个奇点在右下图中都
变成了偶点。
所以 只要在
K
笔画的
2K
个奇点间添加
(K-1)
笔就可以使奇 点数目减少为
2
个，
从而变成一笔画。
< br>到现在为止，我们已经学会了如何判断一笔画和多笔画，以及怎样添加连线将多笔画变成一笔画。
1.
下列图形分别是几笔画？怎样画？
2.
能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？
3.
从
A
点出发，走遍右上图中所有的线段 ，再回到
A
点，怎样走才能使重复走的路程最短？
4 .
如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸。问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？