三年级奥数专题：一笔画
玛丽莲梦兔
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2021年01月28日 01:08
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三年级奥数专题：
一笔画
(
一
)
如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重
复地一笔画成 ，那么这个图形就叫一笔画。显然，在下面的图形
中，
(1)(2)
不能一笔画成，故 不是一笔画，
(3)(4)
可以一笔画成，是
一笔画。
同学们可能会问：
为什么有的图形能一笔画成，
有的图形却不能
一 笔画成呢？一笔画图形有哪些特点？关于这个问题有一个著名的
数学故事——哥尼斯堡七桥问题。
哥尼斯堡是立陶宛共和国的一座城
市，布勒格尔河从城中穿过，河中有两个岛，
18
世纪时河上共有七
座桥连接
A
，
B
两个岛以及河的两岸
C< br>，
D(
如下图
)
。
所谓七桥 问题就是：
一个散步者要一次走遍这七座桥，
每座桥只走一
次，怎样走才能成功？
当时的许多人都热衷于解决七桥问题，但是都没成功。后来，这
个 问题引起了大数学家欧拉
(1707-1783)
的兴趣，许多人的不成功促
使欧拉从 反面来思考问题：
是否根本就不存在这样一条路线呢？经过
认真研究，欧拉终于在
17 36
年圆满地解决了七桥问题，并发现了一
笔画原理。
欧拉是怎样解决七桥问题的呢？ 因为岛的大小，
桥的长短
都与问题无关，所以欧拉把
A
，
B
两岛以及陆地
C
，
D
用点表示，桥用
线表示，那么七桥问题就变为右 图是否可以一笔画的问题了。
我们把一个图形上与偶数条线 相连的点叫做偶点，
与奇数条线相
连的点叫做奇点。如下图中，
A
，
B
，
C
，
E
，
F
，
G
，
I
是偶点，
D
，
H
，
J
，
O
是奇 点。
欧拉的一笔画原理是：
(1)一笔画必须是连通的
(
图形的各部分之间连接在一起
)
；
(2)
没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最
后仍回到这点；
(3)
只有两个奇点的连通图形是一笔画，
画时必须以一个奇点为起点，
以另一个奇点为终点；
(4)
奇点个数超过两个的图形不是一笔画。
利用一笔画原理，七桥问题很容易解决。因为图中
A
，
B
，
C
，
D
都是奇点，
有四个奇点的图形不是一笔画，所以一个散步者不可能不
重复地一次走遍这七座桥。
顺便补充两点：
(1)
一个图形的奇点数目一定是偶数。
因为图形中 的每条线都有两个端点，
所以图形中所有端点的总数
必然是偶数。
如果一个图形中奇点 的数目是奇数，
那么这个图形中与
奇点相连接的端点数之和是奇数
(
奇数个奇 数之和是奇数
)
，
与偶点相
连的线的端点数之和是偶数
(
任 意个偶数之和是偶数
)
，
于是得到所有
端点的总数是奇数，
这与前面 的结论矛盾。
所以一个图形的奇点数目
一定是偶数。
(2)
有K
个奇点的图形要
K
÷
2
笔才能画成。
例如：下页左上图中的房子共有
B
，
E
，
F，
G
，
I
，
J
六个奇点，
所以不是一笔画。< br>如果我们将其中的两个奇点间的连线去掉一条，
那
么这两个奇点都变成了偶点，
如果能去掉两条这样的连线，
使图中的
六个奇点变成两个，
那么新图形就是一笔画了。
将线段
GF
和
BJ
去掉，
剩下
I
和
E
两个奇点
(
见右下图
)
，这个图形是一笔画，再添上线段
GF
和
BJ
，共需三笔，即
( 6
÷
2)
笔画成。
一个
K (K
＞
1)
笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们
知道
K
笔画有
2K
个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，
那么这两个奇点 同时变成了偶点。如左下图中的
B
，
C
两个奇点在右
下图中都变成了 偶点。所以只要在
K
笔画的
2K
个奇点间添加
(K-1)
笔 就可以使奇点数目减少为
2
个，从而变成一笔画。
到现在为止，
我们已经学会了如何判断一笔画和多笔画，
以及怎
样添加连线将 多笔画变成一笔画。
练习
28
1.
下列图形分别是几笔画？怎样画？
2.
能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角
形？
3.
从
A
点出发，走遍右上图中所有的线段 ，再回到
A
点，怎样走
才能使重复走的路程最短？
< br>4.
如下图所示，
两条河流的交汇处有两个岛，
有七座桥连接这两
个岛 及河岸。问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？
答案与提示
练习
28
1.
(1)(3)
是一笔画，
(2)
是两笔画。
2.
能，因为是一笔画。