二十七 一笔画图形
巡山小妖精
752次浏览
2021年01月28日 01:28
最佳经验
本文由作者推荐
暑假作文600字-小学电教工作总结
二十七
一笔画图形
一笔画的理论是由大数 学家欧拉
（
Euler
）
建立的
.
他在建立这一理论的过程 中方法新颖、
独特，使人们折服、倾倒
.
并且为人类思想宝库奉献了一颗耀眼的珍珠， 这颗珍珠将在人类
的智慧史上放射着不灭的光辉
.
同学们，你肯定想知道什么是一笔画吧？让我们从一个游戏开始
.
问题
27.1
图
27
－
1
中 有四个图形，你能一笔画出来吗？
这就是一笔画问题
.
对以上四个图，经过几次试画读者不难发现：图（
1
）可一笔画成且
从任一点出发均 可回到出发点；
图（
2
）可一笔画成但起点只能在
D
或
B< br>点且不能回到出发
点；图（
3
）
、
（
4
）均 不能一笔画成
.
如果一个图形可以用笔不离纸且每条线都画到并不准重 复，
则这个图形就叫做一笔画图
形
.
关于一笔画问题有下面几个问题需要解决：
（
1
）怎样简单地判断一个图形能否一笔画？
（
2
）如果能一笔画，什么时候可回到出发点，什么时候又不能？
（
3
）对不能回到起点的一笔画，应把何处作为起点？何处作为终点？
（
4
）若一个图形不能一笔画，那么至少需要几笔画成？
当图形较简单时
（如图
27
－
1
）
，< br>只要进行几次
“
试画
”
，
就可以回答上述所有问题
.
但是，
当图形较复杂时，要回答上述问题难度就大了
.
同学们不信可以试试，
如果你不看下文就能独立地解决这个问题，
那么在这一问题上你
就与大数学家欧拉一样聪明了
.
下面我们开始研究一笔画问题
.
让我们从产生这一问题的历史背景谈起吧！说起来还有一段引人入胜的故事呢！
事情发生在公元
18
世纪普鲁士的哥尼斯堡城
.
一条河从 这个城市穿过，
河中有两个小岛
把主流分成了两半
.
河上有七座桥连接两岛同 河的两岸沟通（如图
27
－
2
）
.
这是个风景秀丽
的地方，吸引了许多游人
.
人们在这里参观、散步
.
不知谁最先提出了一个问 题：一个散步者
怎样能一次走遍这七座桥，最后又回到出发点，而每座桥只走过一次，不许重复
.
这一问题似乎不难，谁都愿意试一试，但没有一个胜利者
.
这下引起了许多优秀人才极
大的兴趣和好奇心
.
过 了很久一段时间，这件事被瑞士大数学家欧拉知道了
.
欧拉头脑比较冷静，千百人的
失 败，使欧拉猜想：也许那样的走法根本不存在
.
经过艰辛的探索以后，他于
1736< br>年在圣彼
得堡科学院作了一次报告，
终于向人们解开了
“
七桥问题”
之谜，
并彻底地解决了一笔画的所
有问题
.
< br>下面让我们来看看欧拉是怎么解决这一问题的，
从而欣赏一下这位数学泰斗精彩绝妙的
数 学思维
.
欧拉在对图形进行了深入细致的研究之后，发现任何图都是由 点和线组成的
.
他把图中
的点分成两类：若从一点发出的线的整目是偶数，就称为一个 偶点，若是奇数就称为奇点
.
如图
27
－
3
，除
B
、
J
、
D
、
F
是奇点外，其它均为偶点
.
欧拉认为，分开的图形显然是不能一
笔画的［如图
27
－
1
（
4
）
］
.
一个连在一起的图（叫连通图）
，能不能一笔画 与此图形中奇点
的个数有关
.
通过试画及进一步的 研究欧拉认识到：
研究一笔画问题时，
如果我们细心地把所有可能
的画法列成表格，可 以逐一检查哪些（如果有的话）是满足要求的
.
然而这种解法太乏味且
太困难了
.
因为可能的组合数目太大，而对于别的线数更多的图根本就不能用
.
如按照这样的
办法分析就要引出许多与问题无关的枝节，
这无疑是这种方法麻烦的原因
.
因 此必须放弃它，
去寻求另一种更专用、更本质、更广泛实用的简单方法
.
欧拉先假定一个图形已经一笔画成，再考察其特点：它一定有一个起点
B
，一个终点< br>E
和一些中间点
m
i
（图
27
－
4
）
.
（
1
）首先可断言所有中间点
m
i
必为偶点，因为每次有一条线画进
m
i
必有一条从
m i
画出的线与之配对
.
（
2
）如果
B
不与
E
重合，则
B
、
E
必为奇点
.事实上，我们先从
B
画出去，即使中途画
进
B
点，最后还是要画 出去，所以画出
B
点的线总比画进来的线多一条，因而
B
是奇点
.< br>同样
E
也为奇点
.
（
3
）如 果
B
与
E
重合，则
B
（即
E
）必为偶点< br>.
这是因为进、出
B
点的线一样多
.
反过来可以证明：凡具备条件（
1
）
、
（
2
）
、< br>（
3
）的图形均可一笔画
.
由此欧拉就得到了下面的结论：
一笔画定理
若一个连通图形奇点 的个数为
0
或
2
时，其图形必为一笔画（反之亦然）
.
而且
（
1
）当奇点个数为
0
时，可以取任一（偶）点为起点，最后仍回到 这一点；
（
2
）当奇点个
数为
2
时，必须以一个奇点为起点 ，另一个奇点为终点
.
应特别注意：欧拉解决这一问题时用的思维技巧 是从结果入手考虑
.
人们称它为倒推法
.
问题
27.2
图
27
－
5
中的几个图形是否可一笔画？
解
图（
1
）中全为偶点
.
故可以一笔画
.
图（
2
）中有
6
个奇点，故不能一笔画
.
图（
3
）中有
2
个奇点，故可以一笔画
.
到此，我们已圆满地回答了开始提出的问题（
1
）
、
（< br>2
）
、
（
3
）
，关于问题（
4
）有 以下结
论：
多笔画定理
有
2n< br>（
n
＞
1
）个奇点的连通图形，可以用
n
笔画完（彼 此无公共线）
，而
且至少要
n
次画完
.
问题
27.3
图
27.3
图
27
－
3< br>和
27
－
5
（
2
）分别要几笔画完？
理论的目的在于应用
.
和其它数学理论一样，一笔画是一种数学 模型，要把它应用于实
际，还必须学会把实际问题抽象、转化成这种模型
.
问题27.4
图
27.4
图
27
－
6
是一个公园的 平面图，要使游客走遍每条路且不重复，问出、入
口应设在哪里？
解
本问题相当于一笔画问题
.
由于图中有两个奇点， 由一笔画定理，只要将出、入口分别设在
D
、
I
两点，游客就可
以从 入口进入公园，不重复地走遍所有小径，而最后从出口处离开公园
.
问题
27.5< br>能否一笔画出一条线路，使它和图
27
－
7
的
8
条线 段都相交且仅相交一次（并不
在端点处相交）？
分析
本题的实质 并不是研究图
27
－
7
本身的一笔画问题，而是研究图中虚线表达的图的一< br>笔画问题
.
解
图
27
－
7
中的
8
条实线段，把平面分成了
5
个部分，而把每个部分看成一个点，用①、②、③、④、⑤表示
.
那么画一条线与
8
条线段都只相交一次就相当于把 这
5
个数字两两相
连
.
从而原问题就转化成了图
27
－
7
中虚线图形的一笔画问题
.
因为虚线图有4
个奇点（①、②、③、④）
，由多笔画定理，它至少得
2
笔画成
.