国际iq测试题-起凡三国争霸攻略

2021年1月28日发(作者：数奥)
高中数学（上册）教案













第二章

不等式（第
4
课时）










保康县职业高级中学：洪培福

课




题
：
2.1
不等式的 性质
--
算术平均数与几何平均数（
1
）

教学目的：

1
学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理
2
理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号
“≥”
取等号的条件是：当且 仅当这
两个数相等

3
．通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提 高学生分析问题和解决问题的能
力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力

教学重点：
均值定理证明

教学难点：
等号成立条件

授课类型：
新授课

课时安排：
1
课时

教




具
：多媒体、实物投影仪

教学过程
：

一、复习引入：


1
．同 向不等式
：两个不等号方向相同的不等式，例如：
a>b
，
c>d
， 是同向不等式

异向
不等式：
两个不等号方向相反的不等式
例如：< br>a>b
，
c，是异向不等式


2
．不等式的性质：

定理
1
：
如果
a> b
，
那么
b，
如果
b，
那么a>b
．
(
对称性
)

即：
a>b

b；
b
a>b
定理
2
：
如果
a>b
，且
b>c
，那么< br>a>c
．
(
传递性
)

即
a>b
，
b>c

a>c
定理
3：
如果
a>b
，那么
a+c>b+c
．即
a>b

a+c>b+c
推论
：如果
a>b
，且
c>d
，那么
a+c>b+d
．
(
相加法则
)

即
a>b
，

c>d


a+c>b+d
．

定理
4
：
如果a>b
，且
c>0
，那么
ac>bc
；如果
a>b，且
c<0
，那么
ac．

定理
5


如果
a>b >0
，且
c>d >0
，那么
ac>bd
．
(
相乘法则
)
推论
1
若
a

b

0,
则a
n

b
n
(
n

N
且n

1)

推论
2
若
a

b

0,
则
n
a

n
b
(
n

N
且
n

1)

二、讲解新课：

1
．重要不等式：

如果
a,
b

R,
那么
a

b

2
ab
(
当且仅当
a

b
时取

< br>
号
)

证明：∵
a

b

2
ab

(
a

b
)
,
当a

b
时
,(
a

b
)
< br>0,
当
a

b
时
,(
a

b
)

0,
所以
,
(
a

b)

0
，
即
(
a

b
)
2
ab
.

由上面的结论，我们又可得到

2
．定理
：如果
a,b
是正数，那么
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a

b

ab
(
当且仅当
a

b
时取



号
).

2
a

b

ab
,

证明：∵< br>(
a
)
2

(
b
)
2
< br>2
ab
,

a

b

2
a b
,
即
2
a

b

ab
. 显然，当且仅当
a

b
时
,
2
a
< br>b
为
a
,
b
的
算术平均数
，称
ab
为
a
,
b
的
几何平均数
，因而，此定
说明 ：ⅰ）我们称
2
ⅱ）
a
2
理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小 于它们的几何平均数
.

b
2

2
ab
和
a

b
2

ab
成立的条件是不同的：前者只要 求
a,b
都是实数，
第
9
页

高中数学（上册）教案













第二章

不等式（第
4
课时）










保康县职业高级中学：洪培福

而后者要求
a,b
都是正数
.
ⅲ）
“当且仅当”的含义是充要条件

3
．均值定理的几何意义
是“半径不小于半弦”

以长为
a
+
b
的线段为直径作圆，在直径
AB
上取点
C
，< br>使
A
D
ab
a
C
D'
b
B
AC=a,CB=b
过点
C
作垂直于直径
AB
的弦
DD′
,
那么
CD

CA

CB
，
2
即
CD

ab

这个圆的半径为
a

b
a

b

ab
，其中当且仅当点
C与圆
，显然，它不小于
CD
，即
2
2
心重合；即
a=b
时，等号成立

三、讲解范例：

例
1

已知
x,y
都是正数，求证：

（
1
）如果积xy
是定值
P
,
那么当
x=y
时，和
x
+
y
有最小值
2
P
;

（
2
） 如果和
x
+
y
是定值
S
,
那么当
x
=
y
时，积
xy
有最大值
证明：因为
x,y
都是 正数，所以


（
1
）积
xy
为定值
P< br>时，有
1
2
S
.

4
x

y

xy

2
x

y

P




x

y

2
P

2
上 式当且仅当
x

y
时，取“
=
”号，因此，当
x< br>
y
时，和
x

y
有最小值
2
P< br>
S
1
2
S

（
2
）和
x +y
为定值
S
时，有
xy

,




x
y

2
4
1
2
上 式当且仅当
x=y
时取“
=
”号，因此，当
x=y
时，积< br>xy
有最大值
S

4
说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：

ⅰ）函数式中各项必须都是正数
;
ⅱ
)
函数式中含变数的各项的和或积必须是常数
;
ⅲ）等号成立条件必须存在

例
2
已知：
（
a< br>＋
b
）
（
x
＋
y
）＞
2
（
ay
＋
bx
）
，求证：
分析：本题结论中，注意
x

y
a

b


2

a

b
x

y
x

y
a

b
与
互为倒数，它们的积为
1
，可利用公式
a
＋< br>b
≥
a

b
x

y
x
< br>y
a

b
与
2
ab
，
但要注意条件
a
、
b
为正数
故此题应从已知条件出发，
经过变形，
说明
a

b
x

y
为正数开始证题
< br>证明：∵（
a
＋
b
）
（
x
＋
y）＞
2
（
ay
＋
bx
）∴
ax
＋ay
＋
bx
＋
by
＞
2
ay
＋
2
bx

∴
ax
－
ay
＋
by
－
bx
＞
0
∴（
ax
－
bx
）－（
ay
－
by
）＞
0
∴（
a
－
b
）
（
x
－
y
）＞
0
，即
a
－< br>b
与
x
－
y
同号∴
∴
第
10
页

x

y
a

b
与
均为正数
a

b
x

y
x

y
a
b
x

y
a

b
x
y
a

b

＝
2(
当且仅当
时取“＝ ”号
)


2

a

b
x
y
a

b
x

y
a
b
x

y

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