算术平均数与几何平均数
余年寄山水
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2021年01月28日 03:06
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算术平均数与几何平均数
题目
第六章不等式
算术平均数与几何平均数
高考要求了解算术平均数与几何平均数的 意义，掌
握两个正数的算术平均数不小于几何平均数的定理及其
逆定理
2
能运用定理解决一些简单的数学问题和实际问题
在用均值定理解决实际问题时
,< br>要理解题意
,
设变量时要
把要求最大值或最小值的变量定为函数
,建立相应的函数
关系式
,
在定义域内
,
求出函数的最大值或最小 值
知识点归纳
1
．常用的基本不等式和重要的不等式
（
1
）
当且仅当
（
2
）
（
3
）
，则
（
4
）
2
最值定理
:
设
（
1
）如积
（
2
）如积
即
:
积定和最小，和定积最大
运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等均
值不等式
:
两个正数的均值不等式：
三个正数的均值不等是：
n
个正数的均值不等式：四种均值的关系：两个正
数
的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之
间的关系是
不等式 这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着
十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综< br>合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识
融会贯通，起到了很好的促进作用．在解决 问题时，要
依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解
决方案，最终归结为不等式的 求解或证明．不等式的应
用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸
如集合问题，方 程
(
组
)
的解的讨论，函数单调性的研究，
函数定义域的确定，三角 、数列、复数、立体几何、解
析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着
密切的联系 ，许多问题，最终都可归结为不等式的求解
或证明
题型讲解
例
1
设
a0
，
b0
则下列不等式中不成立的是（）
A
．a+b+ ≥2 B (a+b)( + )≥≥a+b D ≥
解法一：由于是选择题，可用特值法，如取
a=4,b=1,
代入各选项中的不等式，易判断
≥ 不成立
解法二：可逐项使用均值不等式判断
A
．a+b+ ≥2 + ≥2 =2 ，不等式成立
B ∵a+b≥2 0, + ≥2 0,相乘得: (a+b)( + )≥4
成
立∵a2+b2=(a+b)2－2ab≥(a+b)2－
2( )2=( )2
又
≤ ≥ ∴ ≥a+b 成立
D ∵a+b≥2 ≤ ,
∴ ≤ = ,即
≥ 不成立
故选
D
例
2
今有一台坏天平
,
两臂长不等
,
其余均精确
,
有
人说要用它称物体的重量
,
只需将物体放在左右托盘各称
一次
,
则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量
,
这种说法对吗?
并说明你的结论
解
:
不对
设左、右臂长分别是
,
物体放在左、右托盘称得重
量分别为
真实重量为为
G
，则由杠杆平衡原理有：
，
①×②得
G2= , ∴G=
由于
，故
,
由平均值不等式
知说法不对
真实重量是两次称量结果的几何平均值
点评
:
本小题平均值
不等
,
杠杆平衡原理知识、数
学化能力及分析问题、解决问题的能力，属跨学科
（数学、
物 理）的创新问题
例
3
设
x≥0, y≥0, x2+ =1,则
的最大值为＿＿
分析:
∵x2+
=1
是常数,
∴x2
与
的积可能有最大值
∴可把
x
放到根号
里面去考虑
,
注意到
x2
与
1+y2
的积
,
应处理成
2 x2
解法一:
∵x≥0,
y≥0,
x2+∴≤当且仅当
x=
,y=
(
即
x2= )
时
,
取得最大值
解法二
:
令
(0≤ ≤ )
则≤当即
=
时
,x= ,y=
时，
取得最大值
例
4
若
ab0,
求
的最小值
分析
:
的结构不对称
,
关键是
的分母
(a
—
b )b,
而
(a
—
b)+b=a,
故问题突破口已显然
!
也可以逐步进行：
先对
b
求最小值
，然后在对
a
求最小值
解法一
: =[(a
—
b)+b]2 +
≥[2 ]2 + =4(a—b)b+ ≥当且仅当
b=(a
—
b)
且
(a
—
b)b=2,
即
a=2b=2
时取等号
,
故
< br>的最小值为解法二
:
当且仅当
b=(a
—
b)
且 ,
即
a=2b=2
时取等号
,
故
的最小值为点评
:
在运用均
值不等式求最值时
,
凑出定值是关键
!
但在定值的过程中
,
不一定就能凑出定值来
,
实际上
,
分几步凑也是可以的
,
只
要每步取等号的条件相同便可
例
5
若
x0,y0,x+y=1,
求证:(1+ )(1+ )≥9
分析
: x+y
常数
,xy
可有最大值