学术会议邀请函范文-学习杨善洲先进事迹

2021年1月28日发(作者：天月二德)








极值点偏移问题的不等式解法

我们熟知平均值不等式：
a
,
b

R


a

b
a
2

b
2

a b


1
1
2
2


a
b
2
即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值 ”

等号成立的条件是
a

b
.
我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：

a

b
ln
a

ln
b

那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式

a

b
a

b
＜

a

b
,
a

b
，
ab
＜


ln
a

ln
b
2
以下简单给出证明：

不妨设
a

b
，设
a

bx
，则 原不等式变为：


x

1,
2(
x
< br>1)
x

1


ln
x

x

1
x
以下只要证明上述函数不等式即可
.
以下我们来看看对数不等式的作用
.
题目
1
：
（
2015
长春四模题）已知函数
f
(
x
)

ex

ax
有两个零点
x
1

x
2，则下列说法错误的是










A.
a

e







B.
x
1

x
2

2








C.
x
1
x
2

1






D.
有极小值点
x
0
，且
x
1

x
2

2
x
0

【答案】
C
【解析】函数
f
(
x
)
导函数：

f
'(
x
)

e
x

a

有极值点
x

ln
a
，而极值
f
(ln< br>a
)

a

a
ln
a

0
，

a

e
，
A
正确
.
f
(
x
)
有两个零点：
e
x
1

ax
1

0
，
e
x
2

ax< br>2

0
，即：

x
1

ln
a

ln
x
1
①

x
2
ln
a

ln
x
2
②

①
-
②得：

x
1

x
2

ln
x
1

ln
x
2

根据对数平均值不等式：

x
1

x
2
x
1

x
2


1

x
1
x
2

2
ln
x
1

ln
x
2

x
1

x
2

2
，而
1

x
1
x
2
，

x1
x
2

1

B
正确，
C
错误

而①
+
②得：
x
1

x
2

2ln
a

ln< br>x
1
x
2

2ln
a
，即
D
成立
.
题目
2
：
（
2011
辽宁理）已知函数
f

x


ln
x

ax
2

(2

a
)
x
.
若函数
y

f

x

的图像与
x
轴交于
A
,
B
两点，线段
AB
中点的横坐标为
x
0
，证明：
f
'

x
0


0

【解析】原题目有
3
问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直 接去
证明第三问：

设
A
(
x
1
,
f
(
x
1
))
，
B
(
x
2,
f
(
x
2
))
，
x
1
< br>x
2
，则
x
0

x
1

x
2
，


2
2
ln
x
1

ax
1

(2

a
)
x
1
0
①

2
ln
x
2

ax
2

(2

a
)
x
2

0
②

①
-
②得：
ln
x
1
< br>ln
x
2

a
(
x
1

x
2
)(
x
1

x
2
)

(2

a
)(
x
1

x
2
)
0
，化简得：


1
x
1

x
2


0
③

a
(
x
1

x
2
)

(2

a
)ln
x
1

ln
x
2
而根据对数平均值不等式 ：

x
1

x
2
x

x

1
2

ln
x
1

ln
x2
2
③等式代换到上述不等式

1
x

x1

1
2


x
0
④
a
(
x
1

x
2
)

(2< br>
a
)
2
2
ax
0

(2

a
)
根据：
2
ax
0

(2

a
)
x
0

0
（由③得出）∴④式变为：


2
2
ax
0

(2

a
)
x
0

1

0

(2
x0

1)(
ax
0

1)

0

∵
(2
x
0

1)

0
，∴
x
0

1
，∴
x
0
在函数单减区间中，即 ：

a

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