我相信歌词杨培安-杭州市小客车总量调控管理暂行规定

2021年1月28日发(作者：高阶祭司温诺希斯)
1.1.3
三个正数的算术几何平均数

一、教学目标

1
．探索并了解三个正数的算术
-
几何平均不等式的证明过程．
< br>2
．会用平均不等式求一些特定函数的最大
(
小
)
值．

3
．会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．

二、课时安排

1
课时

三、教学重点

会用平均不等式求一些特定函数的最大
(
小
)
值．

四、教学难点

会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．

五、教学过程

（一）导入新课

已知
x
>0，
y
>0
，证明：
(1
＋
x
＋
y2
)(1
＋
x
2
＋
y
)≥9
xy.
【证明】

因为
x
>0
，
y
>0
，所以
1
＋
x
＋
y
2
≥

3
3
3
xy
2
>0,1
＋
x
2
＋
y
≥3
x
2
y
>0
，

33
故
(1
＋
x
＋
y
2
)(1
＋
x
2
＋
y
)≥3
xy
2
·
3< br>x
2
y
＝
9
xy
.
（二）讲授新课

教材整理
1

三个正数的算术
-
几何平均不等式

1
．如果
a< br>，
b
，
c
∈
R
＋
，那么
a
3
＋
b
3
＋
c
3



3
abc
，当且仅当







时，等号成立．

a
＋
b
＋
c
3
2
．定理
3
：如果
a
，
b
，
c
∈
R
＋
，那么



abc
，当且仅当








时，等号成
3
立．

即三个正数的算术平均






它们的几何平均．

教材整理
2

基本不等式的推广

a
1
＋
a
2
＋
…
＋
a
n
对于
n
个正数
a
1
，
a
2
，
…
，
an
，
它们的算术平均






它们的几何平均，
即



n
n
a
1
a
2
…
a
n
，当且仅当
a
1
＝
a
2
＝
…
＝
a
n
时，等号成立．

教材整理
3

利用基本不等式求最值

若
a< br>，
b
，
c
均为正数，①如果
a
＋
b
＋
c
是定值
S
，那么








时，积
abc
有





值；
②如果积
abc
是定值
P
，那么 当
a
＝
b
＝
c
时，和







有最小值．

（三）重难点精讲

题型一、证明简单的不等式

1
1
1

2
2
＋
2
＋
2
(
a
＋
b
＋
c
)
≥27.

例
1
设
a
，
b
，
c
为正数，求证：


a
b
c

3
【精彩点拨】

根据不等式的结构特点，运用
a
＋b
＋
c
≥3
abc
，结合不等式的性质证
明．

【自主解答】

∵
a
>0
，
b
>0
，
c
>0
，

3
∴
a
＋
b＋
c
≥3
abc
>0
，

3
从而(
a
＋
b
＋
c
)
2
≥9
a< br>2
b
2
c
2
>0.
1
1
1
3
1
又
2
＋
2
＋
2
≥3
22
2
>0
，

a
b
c
a
b< br>c
1
1
1

2
2
＋
2
＋< br>2
(
a
＋
b
＋
c
)

∴< br>

a
b
c

≥3
3
1
a
b
c
9
2
2
2
·
3
a
2
b
2
c
2
＝
27
，

当且仅当
a
＝
b
＝
c
时，等号成立．

规律总结：

1
．
(1)
在应用平均不等式时，一定要注意 是否满足条件，即
a
>0
，
b
>0.
(2)
若问 题中一端出现
“
和式
”
而另一端出现
“
积式
”，
这便是应用基本不等式的
“
题眼
”
，
不
妨运 用平均不等式试试看．

2
．连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是否一致．
< br>1
1
1

3
3
＋
3
＋
3< br>(
a
＋
b
＋
c
)
≥81.

[
再练一题
]1
．设
a
，
b
，
c
为正数，求证：


a
b
c

【证明】

因为
a
，
b
，
c
为正数，

1< br>1
1
3
1
1
1
3
所以有
3
＋
3
＋
3
≥3
＞
0.
3
·
3< br>·
3
＝
a
b
c
a
b
c
ab c
3
又
(
a
＋
b
＋
c
)
3
≥(3
abc
)
3
＝
27
abc
＞0
，

1
1
1

3
3
＋3
＋
3
(
a
＋
b
＋
c
)≥81
，

∴


a
b
c

当且仅当
a
＝
b
＝
c
时，等号成立．

题型二、用平均不等式求解实际问题

例
2
如图所示，
在一 张半径是
2
米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．
大家知道，
灯挂得
太 高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知识，
桌子边缘一点处 的照亮度
E
和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角
θ
的正弦成正比，而sin
θ
和这一点到光源的距离
r
的平方成反比，即
E
＝
k
2
.
这里
k
是一个和灯光强度有关的常
r< br>数．那么究竟应该怎样选择灯的高度
h
，才能使桌子边缘处最亮？


sin
θ
【精彩点拨】

根据题设条件建立
r
与
θ
的关系式，将它代入
E
＝
k
2
，得到以
θ
为
r
自变量，
E
为因变量的函数关系式，再用平均不等式求函数的 最值．

【自主解答】

∵
r
＝
2
，

cos
θ
π
sin
θ
cos
2
θ

0 <
θ
<

.
∴
E
＝
k
·
2


4
k
2
∴
E
＝
·
sin
2
θ
·
cos
4
θ

16
2
k
2
＝
(2sin
2
θ
)·
cos< br>2
θ
·
cos
2
θ

32
2
2
2
k
2

2sin
θ
＋
cos
θ
＋
cos
θ

3
k
2
≤
32

3

＝
108
，

当且仅当
2 sin
2
θ
＝
cos
2
θ
时取等号，

1
2
即
tan
2
θ
＝
，
tan
θ
＝
时，等号成立．

2
2
∴
h
＝
2tan
θ
＝
2< br>，即
h
＝
2
时，
E
最大．

因此选择灯的高度为
2
米时，才能使桌子边缘处最亮．

规律总结：

sin
θ
cos
2
θ
1< br>．本题的关键是在获得了
E
＝
k
·
后，对
E
的函数关系式进行变形求得
E
的最
4
大值．

2
． 解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最
值问题，常配凑成可以 用平均不等式的形式，若符合条件
“
一正、二定、三相等
”
即可直接求
解．

[
再练一题
]

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