高中数学专题讲义-导数的概念与几何意义
巡山小妖精
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2021年01月28日 03:14
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板块一
.
导数的概念
与几何意义
知识内容
1
.函数的平均变化率:
一般地, 已知函数
y
f
(
x
)
,
x
0< br>,
x
1
是其定义域内不同的两点,记
x
x
1
x
0
,
y
y
1
y
0
f
(
x
1
)
f
(
x
0
)
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
,
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
y
则当
x
0
时,
商
称作函数
y
f
(
x
)
在区间
[
x
0
,x
0
x
]
(或
[
x
0< br>
x
,
x
0
]
)的
x
x
平均变化率.
注:这里
x
,
y
可为正值,也可为负值.但
x
< br>0
,
y
可以为
0
.
2
.函数的瞬时变化率、函数的导数:
设函数
y
f
(
x
)
在
x
0
附近有定义,当自变量在
x
x
0
附近改变量为
x
时,函数值相应的改 变
y
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
.
y
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
如果当
x
趋近于
0
时,
平均变化率
趋近于一个常数
l
(也就是说平均变化率
x
x
与某个常数
l
的差的绝对值越 来越小,
可以小于任意小的正数)
,
那么常数
l
称为函数
f
(
x
)
在点
x
0
的
瞬时变化率.
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
“
当
x
趋近于零时,
趋近于常数
l
”
可以用符号
“
”
记作:
x
f
(
x
x
)
f
(
x
0
)
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
“
当
x
0
时,
0
或记作“
lim
符号
“
”
读作
“
趋近于< br>”
.
l
”
,
l
”< br>,
x
0
x
x
函数 在
x
0
的瞬时变化率,通常称为
f
(
x
)
在
x
x
0
处的导数,并记作
f
(x
0
)
.
这时又称
f
(
x
)
在
x
x
0
处是可导的.于是上述变化过程,可以记作< br>
f
(
x
0
x
)
< br>f
(
x
0
)
f
(
x
0
< br>
x
)
f
(
x
0
)
“< br>当
x
0
时,
f
(
x
0
)
”
或
“
lim
f
(
x
0
)
”
.
x
0
x
x
3
.可导与导函数:
如果
f
(
x
)在开区间
(
a
,
b
)
内每一点都是可导的,
则 称
f
(
x
)
在区间
(
a
,
b)
可导.
这样,
对开区间
(
a
,
b
)
内每个值
x
,都对应一个确定的导数
f
(x
)
.于是,在区间
(
a
,
b
)
内,
f
(
x
)
构成一个新的函数,我
们把这个函数称 为函数
y
f
(
x
)
的导函数.记为
f< br>
(
x
)
或
y
(或
y
x
)
.
导函数通常简称为导数.如果不特别指明求某一点的导数,那么求导数指的就是求导函数.
4
.导数的几何意义:
设
函
数
y
f
(
x
)
的
图
象
如
图所
示
.
AB
为
过
点
A
(
x< br>0
,
f
(
x
0
))
与
B
(
x
0
x
,
f
(
x
0
x
))
的
一
条
割
线
.
由
此
割
线
的
斜
率
是
y
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
,
可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化
x
x
率.当点
B
沿曲线趋近于点
A
时,割线
AB
绕点
A
转动,它的最终
位置为直线
AD
,这条直线
AD
叫做此曲线过点
A
的切线,即
y
D
B
C
A
O
x
x
0
x
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
切线
AD
的斜率.
x
0
x
由导数意义可知,曲线
y
f
(
x
)
过点
(
x
0,
f
(
x
0
))
的切线的斜率等于
f
(
x
0
)
.
lim
典例分析
题型一:极限与导数
【例
1
】
正三棱锥相邻两侧面所成的角为
,则
的取值范围是(
)
A
.
(0
,
180
)
B
.
(0
,
60
)
C
.
(60
,
90
)
D
.
(60
,
180
)
在正
n
棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是(
)
A
.
n
1
n
2
n
1
π
n
2
π
,
π
B
.
π
,
π
C
.
0
,
D
.
π
,
π
n
n
n
2
n
【例
2
】
【例
3
】
π
2
A
.
sin(sin
)
cos
< br>
cos(cos
)
B
.
sin(sin
)
cos
cos(cos
)
对于任意
0
,
都有(
)
C
.
sin(cos
)
cos
cos(sin
)< br>
D
.
sin(sin
)
cos
cos(sin
)
【例
4
】
若
lim
x
0
f
(
x
)
f
(2
x
)
1
,则
lim
________
.
x
0
x
x
f
(
x
1)f
(2
2
x
)
1
,则
l im
_______
.
x
1
x
1
x
1
f
x
0
x
f
x
0
3
x
【例
5
】
若
lim
x
1
【例
6
】
等于(
)
x
A
.
2
f
x
0
B
.
f
x
0
C
.
3
f
x
0
D
.
4
f
x
0
x
0
设
f
(
x
)
在
x
0
可导,则
lim
【例
7
】
f
(
x
0
2
x
)
f
(
x
0
)
1
,则
f
(
x
0
)
等于(
)
x
0
3
x
2
3
A
.
B
.
C
.
3
D
.
2
3
2
若
lim
【例
8
】
f
(
x
a
x
)
f(
x
b
x
)
.
(
)
x
0
x
A
.
f
(
x
)
B
.
(
a
b
)
f
(
x
)
C
.
(
a
b
)
f
(
x
)
D
.
f
(
x
)
设
f
(
x
)
在
x
处可导,
a
,
b为非零常数,则
lim
【例
9
】
设
f
(3)
4
,则
lim
h
0
A
.
1
f
(3
h
)
f
(3)
(
)
2
h
B
.
2
C
.
3
D
.
1
【例
10
】
若
f
(
a
)
2
,则当
h
无限趋近于
0
时,
f< br>(
a
h
)
f
(
a
)< br>
______
.
2
h
【例
11
】
已知函数
f
(
x
)
x
8
x
2
,则
lim
x
0
f
(1
2
x
)< br>
f
(1)
的值为
.
x
【例
12
】
已知
f
(
x
)
1
f
(2
x
)
f< br>(2)
,则
lim
的值是(
)
x
0
x
x
1
1
A
.
B
.
2
C
.
D
.
2
4
4
2
【例
13
】
若
f
(
x
1)
f
(1)
2
x
x
, 则
f
(1)
_______
.
< br>[
f
(
x
0
x
)]
2
[
f
(
x
0
)]
2
【例
14
】
已知函数
f
(
x
)
在
x
x
0
处可导,则
lim
(
)
x
0
x
A
.
f
(
x
0
)
B
.
f
(
x
0
)
C
.
[
f
(
x
0
) ]
2
D
.
2
f
(
x
0
)
f
(
x
0
)
3
n
2
【例
15
】
计算
lim
________
.
n
4
n
3
n
2
2
n
【例
16
】
lim
_______
.
n
2
n
2
3
*
【例
17
】
将直线
l
2
:< br>nx
y
n
0
、
l
3
:
x
ny
n
0
(
n
N
,
n
≥
2
)
x
轴、
y
轴围成的封闭图形的面积
记为
S
n
,则
lim
S
n
.
n
【例
18
】
lim
1
n< br>
A
.
5
3
1
1
1
2
L
n
3
3
3
3
B
.
2
(
)
C
.
2
D
.
不存在
【例
19
】
如图 ,在半径为
r
的圆内作内接正六边形,再作正六边形的内切圆,又在此内切圆内作内接
正六边形,如此无限继续下去.设
S
n
为前
n
个圆的面积之和,则< br>lim
S
n
(
)
n
r
O
8
A
.
2
π
r
2
B
.
π
r
2
C
.
4
π
r
2
D
.
6
π
r
2
3
【例
20
】
lim
x
< br>1
1
2
______< br>.
2
2
x
3
x
2< br>x
4
x
3
1
n< br>(
n
a
n
)
1
,则 常数
a
_______
.
【例
21
】
若
lim
n
【例
22
】
lim
x
π
(< br>x
π
)cos
x
x
π
_____
.
【例
23
】
lim
1
2
3
L
n
_________
n
n
2
1
2
________
.
x
x
(
x
2)
【例
24
】
lim
x
0
【例
25
】
lim
x
1
__________
.
x
1
x
2
3
x
4
【例
26
】
lim
x
< br>2
1
4
(
)
2
x
4
x
2
1
1
A
.
1
B
.
C
.
4
4
D
.
1
【例
27
】
lim
x
1
x
x
x
.
x
1
【例
28
】
设函数< br>f
(
x
)
a
1
sin
x
a
2
sin
2
x
L
an
sin
nx
,其中
a
1
,
a
2,
L
,
a
n
R
,
n
N
,已知对一切
x
R
,有
f
(< br>x
)
≤
sin
x
和
lim
sin
x
1
,求证:
a
1
2
a
2
L
na
n
≤
1
.
x
0
x
【例
29
】
如图,函数
f
(
x
)
的图象是折线段
ABC
,其 中
A
,
B
,
C
的坐标分别为
(0
,
4)
,
(2
,
0)
,
(6
,
4)
,则
f
(
f
(0))
;函数
f
(
x
)
在
x
1
处的导数
f
(1)
.
y
4
3
2
1
A
C
O
B
1
2
3
4
5
6
x
【例
30
】
如图,
函数
f
(
x
)
的图象是折线段
ABC
,
其中
A
,
B< br>,
C
的坐标分别为
0
,
4
,< br>
2
,
0
,
6
,
4< br>
,
则
f
(
f
(0))
;
lim
y
4
3
2
1
x
0
f
(1
x
)
f
(1)
(用数字作答 )
.
x
A
C
O
B
1
2
3
4
5
6
x
y
y
)
y
【例
31
】
下列哪个图象表示的函数在
x
1
点处是可导的(
y
O
1
x
O
1
x
O
1
x
O
1
x
A.
B.
2
C.
D.
【例
32
】
函数
f
(
x
)
2
x
1
在闭区间
[1
,
1
x
]
内的平均变化率为(
)
A
.
1
2
x
B
.
2
x
C
.
3
2
x
D
.
4
2
x
x
2
1
在
x
0
到
x
0
x
之间的平均变化率.
【例
33
】
求函数
y
【例
34
】
若函数
f
(
x
)< br>
2
,则当
x
1
时,函数的瞬时变化率 为(
)
x
A
.
1
B
.
1
C
.
2
D
.
2
2
【例
35
】
求函数
f
(< br>x
)
x
x
在
x
< br>
1
附近的平均变化率,在
x
1
处的瞬 时变化率与导数.
【例
36
】
求函数
f
(
x
)
x
2
x
在
x
1
附近的平均变化率,在
x
1
处的瞬时变 化率与导数.
3
【例
37
】
已知某 物体的运动方程是
s
9
t
1
3
t,则当
t
3
s
时的瞬时速度是
_______
.
9
【例
38
】
已知某物体的运 动方程是
s
2
t
3
2
t< br>2
,则
t
3
时的瞬时速度是
_______
.
2
t
【例
39
】
< br>已知物体的运动方程是
s
t
2
3
,则物 体在时刻
t
4
时的速度
v
____
, 加速度
a
.
t
【例
40
】
物体运动方程为
s
A
.
2
1
4
t
3
,则
t
2
时瞬时速度为(
)
4
B
.
4
C
.
6
D
.
8
【例
41
】
一质点做直线运动,由始点起经过
t
1
s
后的距离为
s
t
4
4
t
3
16
t
2
,
4
则速度为零的时刻是(
)
A
.
4s
末
B
.
8s
末
C
.
0s
与
8s
末
D
.
0s
,
4s
,
8s
末
【例
42
】
如果某物体做运动方程为
s
2(1
t
)
的直线运动
(
s
的单位 为
2
t
的单位为
s
)
m
,
,
那么 其在
1.2
s
末的瞬时速度为(
)
A
.
0.88
m/s
B
.
0.88
m/s
C
.
4.8
m/s
D
.
4.8
m/s
【例
43
】
求
y
x
在
x
x
0
处的导数.
题型二:导数的几何意义
【例
44
】
已知曲线
y
x
1
5
上一点
A
2
,
,用斜率定义求:
x
2
⑴
过点
A
的切线的斜率;
⑵
过点
A
的切线方程.
【例
45
】
已知曲线
y
1
上 一点
A
(1
,
2)
,用斜率定义求:
x
⑴
过点
A
的切线的斜率;
⑵
过点
A
的切线方程.< br>
x
【例
46
】
函数
f
(
x
)
的图象如图所示,下列数值排序正确的是(< br>
)