超几何分布和二项分布的联系和区别
玛丽莲梦兔
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2021年01月28日 03:18
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超几何分布和二项分布的联系和区别
开滦一中
张智民
在最近的几次考试中
,
总有半数的的学生搞不清二项分布和 超几何分布
,
二者到底该如
何区分呢
?
什么时候利用二项分布的公式 解决这道概率问题
?
什么时候用超几何分布的公式
去解决呢
?
好多 学生查阅各种资料甚至于上网寻找答案
,
其实这个问题的回答就出现在教材上
,
人
教版新课标选修
2-3
从两个方面给出了很好的解释
.
诚可谓
:
众里寻他千百度
,
蓦然回首
,
那人却在灯火阑珊处
!
一、两者的定义是不同的
教材中的定义
:
(
一
)
超几何分布的定义
在
含
有
M
件
次
品
的
N
件
产
品
中
,
任
取
n
件
,
其
中
恰
有
X
件
次
品
,
则
P(X=k) =
C
k
M
n
-
k
N
-
MC
n
C
,
k
0
,
1
,2
，
, m,
其中
m=min{M,n},
且
n
≤
N,M
≤
N,n,M,N
∈
N,
称随机变量
X
服从超
N
几何分布
(
二
)
独立重复试验和二项分布的定义
1）独立重复试验：在相同条件下重复做的
n
次试验
,
且各次试验试验的结 果相互独立
,
称为
n
次独立重复试验
,
其中
A(i =1,2,
…
,n)
是第ⅰ次试验结果
,
则
P(A1
A2A3…An)=P(A
1
)P (A2)P(A3)…P(An)
2)
二项分布
在< br>n
次独立重复试验中
,
用
X
表示事件
A
发生 的次数
,
设每次试验中事件
A
发生的概率
为
P,
则
P(X=k)=
C
k
n
p
(
1
p
)
k
n
k
(k=0,1,2,
…
,n ),
此时称随机变量
X
服从二项分布
,
记作
X~B(n,p ),
并称
P
为成功概率。
1.
本质区别
(1)
超几何分布描述的是不放回抽样问题
,
二项分布描述的是放 回抽样问题
;
(2)
超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;
二项分布中的概率计算实质上是
相互独立事件的概率问题
2.
计算公式
超几何分布
:
在含有
M
件次品的
N
件产品中
,
任取
n
件
,
其中恰有
X
件次品
,
则
P(X=k)
第
1
页
共
7
页
=
C
k
M
C
n
n
-
k
N
-
M
C
,
k
0
,
1
,
2
，
, m,
N
二项分布
:
在
n
次独 立重复试验中
,
用
X
表示事件
A
发生的次数
,设每次试验中事件
A
发
生的概率为
P,
则
P(X=k) =
C
k
n
p
(
1
p
)
k
n
k
(k=0,1,2,
…
,n),
温馨提 示
:
当题目中出现“用样本数据估计
XXX
的总体数据”时
,
均为二项分布问题。比如
2017-2018
高三上学期期末考试
19
题。
二、二者之间是有联系的
人教版新课标选修
2-3
第< br>59
页习题
2.2B
组第
3
题：
例
.
某批
n
件产品的次品率为
2%,
现从中任意地依次抽 出
3
件进行检验
,
问
:
(1)
当n=500,5000,500000
时
,
分别以放回和不放回的方式抽取
,
恰好抽到
1
件次品的概率各是
多少
?
(2 )
根据
(1)
你对超几何分布与二项分布的关系有何认识
?
人教版配套的教学参考上给出了如下的答案与解释说明
【解】
(1)
在不放回的方式抽取中
,
每次抽取时都是从这
n
件产品中抽取
,< br>从而抽到次品的概率
都为
0.02.
次品数
X~B(3,0.02),
恰好抽到
1
件次品的概率为
P(X=1)=
C
3
1
×
0.02
×
(1-0.02)
2
=3
×
0.02
×
0.982
≈
0.057624
。
在不放回的方式抽取中
,
抽到的次品数
X
是随机变量
,X< br>服从超几何分布
,X
的分布与产品
的总数
n
有关
,< br>所以需要分
3
种情况分别计算
①
n=500
时,
产品的总数为
500
件
,
其中次品的件数为
500< br>×
2%=10,
合格品的件数为
490.
从
500
件 产品中抽出
3
件
,
其中恰好抽到
1
件次品的概率为
P
(
X
1
)
C
10
C
490
C
500
3
1
2
30
490
489
500
499
498
0
.
0
5
7
8
5
3
②
n=5000
时
,
产品的总数为
5000
件
,
其中次品的件数为
5000
×< br>2%=100,
合格品的件数为
4900.
从
5000
件产品 中抽出
3
件
,
其中恰好抽到
1
件次品的概率为
P
(
X
1
)
C
100
C
4900
C
5000
3
12
300
4
9
0
0
4
8
9
9
5
0
0
0
4
9
9
9
4
9
9
8
0
.
0
5
7
6
7
4
7
③
n =50000
时
,
产品的总数为
50000
件
,
其 中次品的件数为
50000
×
2%=1000,
合格品的件
数为49000.
从
50000
件产品中抽出
3
件
,
其中恰好抽到
1
件次品的概
P
(
X
1
)
C
1000
C
49 000
C
50000
3
1
2
3000
49000
48999
50000
49999
49998
0
.
057626
(2)
根据
(1)
的计算结果可以看出
,
当产品的总数很大时
,
超几何分布近似为二项分布
.
这也
是可以理解的
,
当产品总数很大而 抽出的产品较少时
,
每次抽出产品后
,
次品率近似不变
,
这 样
就可以近似看成每次抽样的结果是互相独立的
,
抽出产品中的次品件数近似服从二项 分布
【说明】由于数字比较大
,
可以利用计算机或计算器进行数值计算.
另外本题目也可以帮
助学生了解超几何分布和二项分布之间的关系：
第一
,n
次试验中
,
某一事件
A
出现的次数
X可能服从超几何分布或二项分布
.
当这
n
次试
验是独立重复试验 时
,X
服从二项分布
;
当这
n
次试验是不放回摸球问题,
事件
A
为摸到某种
特性
(
如某种颜色
)的球时
,X
服从超几何分布。
第二
,
在不放回
n
次摸球试验中
,
摸到某种颜色的次数
X
服从超几何分布
,
但是当袋子中
第
2
页
共
7
页
的球的数目
N
很大时
,X
的分布 列近似于二项分布
,
并且随着
N
的增加
,
这种近似的精度也 增
加。
从以上分析可以看出两者之间的联系
:
当调查研究的样本 容量非常大时
,
在有放回地抽取与无放回地抽取条件下
,
计算得到的
概率非常接近
,
可以近似把超几何分布认为是二项分布
下面看相关例题
例
1.(2016
·漯河模拟
)
寒假期间
,
我市某校学生会组织部分同学
,
用“
10
分制” 随机调查
“阳光花园”社区人们的幸福度
.
现从调查人群中随机抽取
16名
,
如图所示的茎叶图记录了
他们的幸福度分数
(
以小数点前的 一位数字为茎
,
小数点后的一位数字为叶
),
若幸福度分数不
低于< br>8.5
分
,
则称该人的幸福度为“幸福”
(1)
求从这
16
人中随机选取
3
人
,
至少有
2
人为“幸福”的概率；
（
2
）以这
16
人的样本数据来估计整个社区的总体数据
,
若从该社区
(
人数 很多
)
任选
3
人
,
记
ξ
表示抽到“幸福” 的人数
,
求
ξ
的分布列及数学期望
先不要急于 看答案
,
大家先自己解一下这道题再往下看
,
会有意想不到的收获哦
[
错解
](1)
由茎叶图可知
,
抽取的
16
人中“幸福”的人数有
12
人
,
其他的有
4
人
;
记“从这
16
人中随机选取
3
人
,
至少有
2
人是“幸福”
,
”为事件
A.
由题意得
P(
A
)
1
C
4
3
3C
16
C
4
C
12
C
1 6
3
2
1
1
1
140
9
70
121
140
（
2
）ξ
的可能取值为
0
，
1
，
2
，
3 < br>则
P
(
0
)
C
4< br>C
12
C
16
1
2
3
3
0
4
560
1
140
；
P
(
1
)
C
4
C
12
C
16
3
3
2
1
72
560
9
70
；
P
(
2
)
C
4
C
12
C
16
3
264
560
33
70
；
P
(
< br>3
)
C
4
C
12
C
16
3
0
220
560
11
28
；
所以
ξ
的分布列为
第
3
页
共
7
页