小学六年级语文总复习-高考理综答题技巧

2021年1月28日发(作者：qqai)

导数的几何意义教案

曾垂乐

【教学目标
】

知识与技能目标
：

（
1
）使学生掌握函数
f
(
x
)
在
x

x
0
处的导数
f
/

x
0

的 几何意义就是函数
f
(
x
)
的图像在

（数形结合）
，即：

x

x
0
处的切线 的斜率。
f
/

x
0



li m
x

0
f

x
0


x


f
(
x
0
)
＝切线的斜率


x
(2)
会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数 学思想方法。

过程与方法目标：
通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、 总结，发现问题，解
决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。< br>
【教学手段】
采用计算机（
Flash,Powerpoint
）< br>，实物投影等多媒体手段，增大教学容量与
直观性，有效提高教学效率和教学质量。

【教学重点与难点
】

重点
：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。

难点：
发现、理解及应用导数的几何意义

【
教学过程
】

（一）作业点评，承上启下：

问
题
：
在
高
台
跳
水
运
动
中
，
t
秒
(
s
)
时
运
动
员
相
对
于
水
面
的
高
度
是
，求运动员在
t

1
s
时的瞬时速度，并解释此时的运
h< br>(
t
)


4
.
9
t
2< br>
6
.
5
t

10
（单位：
m）
动状态；在
t

0
.
5
s
时呢？< br>
教师点评作业的优点及不足；由学生甲解释
t

1
s
，
t

0
.
5
s
时运动员的运动状态。

（说明：实例引入，承上启下，有效铺垫，直接过渡）

（
二）课题引入，类比探讨：

由导数的物理意义是瞬时速度，我们知道了导数的本质。

●
问（一）
：导数的本质是什么？写出它的表达式。

学生活动：在“学生动手实践”中，学生写出：

导
数
f
/
(
x
0
)
的
本
质
是
函
数
f
(
x
)
在
x

x
0
处
的
瞬
时
变
化
率
，
即
：










f
/

x
0



lim
x

0
f

x
0


x


f
(
x
0
)


x
（说明： 教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号，
有利于学生思维能力的 有效提高，为学生“发现”
,
感知导数的几何意义奠定基础）

●

问（二）
：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角度来

1

探究导数的几何意义，应从哪儿入手呢？

教师引导学生：数 形结合是重要的思想方法。要研究“形”
，自然要结合“数”
：

即：导数的 代数表达式，并回忆求导数
f
/
(
x
0
)
的步骤。

●

问（三）求导数
f
/
(
x
0
)
的步骤有哪几步
?

教师引导学生回答：

第 一步：求平均变化率
f
(
x
0


x
)< br>
f
(
x
0
)
；


x< br>f
(
x
0


x
)

f< br>(
x
0
)
无限趋近于的常数就是

x
第二步 ：当

x
趋近于
0
时，平均变化率
（回归本质，数形结合）

f
/
(
x
0
)
。
教师进一步引 导学生：这是从“数”的角度来求导数，若从“形”的角度探索导数的几何意
义，类比地，也可以分两个 步骤：

●
问（四）
：第一步：平均变化率
f
(
x
0


x
)

f
(
x
0
)
的几何意义是什么？


x
请在函数图像中画出来；

学生动手活动：见“学生动手实践”
。

由学生乙回答：平均变化率
f
(
x
0


x
)

f
(
x
0
)
的几何意义是割线
AB
的斜率。


x
A
(
x
0
,
f
(
x
0
)),
B
(
x
0


x
,< br>f
(
x
0


x
))
。教师提醒学 生
A
、
B
两点的坐标必须写清楚。

●
问（五）< br>：第二步：

x

0
时，割线
AB
有什么变 化？
请画出来。

学生动手活动：见“学生动手实践”
。

教师展示学生作品，引导学生观察：类比数的变化：


x

0
，
B
(
x
0


x
,
f
(
x
0


x
))

A(
x
0
,
f
(
x
0
)),

当

x

0
，割线
AB
有一个无限趋近的 确定位置，这个确定位置上的直线叫做曲线
在
x

x
0
处的 切线，请把它画出来。

学生动手活动：见“学生动手实践”
。

教师展示学生作品，

引导学生发现，并说出：

（形）

x

0
，割线
AB

切线
AD
，

则割线
AB
的斜率

切线
AD
的斜率



由数形结合，得

f
/

x
0



lim
x

0
f
x
0


x


f
(
x0
)
＝切线
AD
的斜率


x
/所以，
函数
f
(
x
)
在
x

x
0
处的导数
f

x
0

的几何意义就是 函数
f
(
x
)
的图像在
x

x
0
处的
2


切线
AD
的斜率。
（数形结合）
。

（说明：动手 实践，探索发现。使学生经历探究“导数的几何意义”的过程以获得理智和情
感体验，建构“导数及其几 何意义”的知识结构，准确理解

“导数的几何意义”
，掌握“数
形结合，类 比探讨”的数学思想方法。
）

（三）

动画演示，总结归纳

1
．演示
Flash
动画，将同学们 画图、思考、数形结合的过程展示出来。

2
．

教师提问：
此处切线定义与以前学过的切线定义有什么不同？展示
Powerpoint
动画。
y
l
1
A
初中平面几何中，
圆的切线的的定
义：
直 线和圆有惟一公共点时，
叫做直
线和圆相切。
这时，
直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点。


圆是一种特殊的曲线。
这种定义并< br>不适用于一般曲线的切线。例如上图
中，直线
l
1
虽然与曲线有惟一的 公共
l
2
B
点，
但我们不能认为它与曲线相切；
而
另一条直线
l
1
虽然与曲线有不只一个
x
C
公共点，我们还 是认为它是曲线的切
线。
因此，
以上圆的切线定义并不适用
于一般的曲线。< br>
通过逼近的方法，
将割线趋于的确
定位置的直线定义为切线
（交点可 能不
惟一）
，适用于各种曲线。所以，这种
定义才真正反映了切线的直观本质。


3
．根据导数的几何意义，在点
P
附近，曲线
f
(
x
)
可以用在点
P
处的切线

近似代 替，这是微积分中重要的思想方法——以直代曲（以简单的对象刻画复杂的对象）
。
（动画演示 ：
通过信息技术将函数曲线某一点附近的图象放大得到一个近景图，
图象放得越
大，这 一小段曲线看起来就越象直线；大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，
所以，某点附近的曲 线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”
）

教师引导学生看书，理解，在课堂教学中紧密结合教材。

（说明：适时、
有 效地采用计算机等多媒体辅助教学，可以不仅加强学生对
“导数的几何意
义”形象、直观地理解 ，还能将学生的动手实践（感知体验）与抽象思维（深层内化）有效
结合，增强学生的思维能力训练，提 高教学效率和教学质量。
）

（四）训练巩固、加强理解
：

1
．在函数
h
(
t
)


4
.
9
t

6
.
5
t

10
的图像上，
（
1
）用图形来体现导数
h
(
1
)

3
.
3
，
（
2
）请描述、比较曲 线
h
(
t
)
在
t
0
,
t
1
,
t
2
h
/
(
0
.
5
)

1
.
6
的几何意义，并用数学语言表述出来。
2
/

3

附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在
t
3
,
t
4
附近呢？


h

O






t
3

t
4

t
0

t
1

t
2


t

（
说明：要求学生动脑（审 题）
，动手（画切线）
，动口（讨论、描述运动员的运动状态）
，
体会利用导 数的几何意义解
释
实际问题，渗透“数形结合”
、
“以直代曲”的思想方法。
）

2
．如图表示人体血管中的药物浓度
c

f< br>(
t
)
（单位：
mg
/
mL
）随时间
t
（单位：
min
）
变化的函数图像，根据图像，估计
t

0
.
2
,
0
.
4
,
0
.
6
,
0
.
8
（
min
）时，血管中药物 浓度的瞬时
变化率，把数据用表格的形式列出。
(
精确到
0.1)










t

药物浓度的

瞬时变化率


0.2

0.4

0.6

0.8
（
说明 ：要求学生动脑（审题）
，动手（画切线）
，动口（说出如何估计切线斜率）
，进一步
体会利用导数的几何意义解
释
实际问题，渗透“数形结合”
、
“以直 代曲”的思想方法。
）

（五）抽象概括，归纳小结：


4

1
．抽象概括：由练习
2
抽象概括出导函数（简称导数）的概念：



f
/
，
f
/

x

是
x
的函数（动态）


x
0

是确定的数（静态）
/
由
f

x
0

< br>
lim
x

0
/
f

x
0


x


f
(
x
0
)
（特殊——一般）


x

x




f
f

x


x< br>

f
(
x
)

x

< br>
lim
（静态——动态）

x

0
（说明：体验从静态到动态的变化过程，领会从特殊到一般的辩证思想

2
．归纳小结：

由学生进行开放式小结：

（
1
）函数
f
(
x
)
在
x

x
0
处的导数
f
/

x
0

的几何意义就 是函数
f
(
x
)
的图像在

（数形结合）
，即：

x

x
0
处的切线
AD
的斜率。
f
/

x
0

< br>
lim
x

0
f

x
0


x


f
(
x
0
)
＝切线
AD
的斜率


x
f

x


x


f
(
x
)

x



lim

x

0
x
（
2
）利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”
、< br>“以直代曲”的思想方法。

（
3
）导函数（简称“导数”
） 的概念。
f
（六）作业布置，分层要求：

1
．习题
P10A5,6.B2,3.

2
．
如
图
（
函
数
图
像
参
见
“
学
生
动
手
实
践
”
，
此
略
）
是
利
用
信
息
技
术
画
出
的
函
数
/
r
(
V
)

3
3
V
(
0

V

5
)
的图像，请根 据图像，估计
V

0
.
6
,
1
.
2
时，气球的瞬时膨胀率。
4

有什么发现？


r

r
(
V
)

3
3
V

0

V

5


4

O

V


3
．请给出求函 数
y

f
(
x
)
在
x

x
0
处的切线方程的一个算法，并小组自编四个求切
线的题目。


5

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