反正何以奇-男人面相学

2021年1月28日发(作者：抽风的雨)
2020
年中考数学几何图形辅助线的画法与技巧



基本图形的辅助线的画法


1
三角形问题添加辅助线方法


(1)
有关三角形中线的题目，常将 中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种
方法，把要证的结论恰当的转移，很容 易地解决了问题。


(2)
含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利 用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三
角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。


(3)
结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的 一些定理。


(4)
结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类 题目，常采用截长法或补短法，所谓截长
法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线 段，而另一部分等于第二条线段。


2
平行四边形中常用辅助线的添法


平行四边形
(
包括矩形 、正方形、菱形
)
的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅
助线方 法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问
题转化 成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：


(1)
连对角线或平移对角线
;

(2)
过顶点作对边的垂线构造直角三角形
;

(3)
连 接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线
;

(4)
连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形
;

(5)
过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。


3
梯形中常用辅助线的添法


梯形是一种特殊的四边形。它是平 行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题
化归为平行四边形问题或三角形问题来 解决。
辅助线的添加成为问题解决的桥梁，
梯形中常用到的辅助线
有：


(1)
在梯形内部平移一腰
;

(2)
梯形外平移一腰
;

(3)
梯形内平移两腰
;

(4)
延长两腰
;

(5)
过梯形上底的两端点向下底作高
;

(6)
平移对角线
;

(7)
连接梯形一顶点及一腰的中点
;

(8)
过一腰的中点作另一腰的平行线
;

(9)
作中位线。


当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助 线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥
梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问 题来解决，这是解决问题的关键。


4
圆中常用辅助线的添法


在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥 梁，从
而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提 高学生
分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。


(1)
见弦作 弦心距。有关弦的问题，常作其弦心距
(
有时还须作出相应的半径
)
，通过垂 径平分定理，
来沟通题设与结论间的联系。


(2)
见直径作圆周 角。在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用

直径所对的圆周
角是 直角

这一特征来证明问题。


(3)
见切线作半径。命题 的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用

切线与半径垂直

这一 性质来证明问题。


(4)
两圆相切作公切线。对两圆相切的问题，一般是 经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通
过公切线可以找到与圆有关的角的关系。


(5)
两圆相交作公共弦。对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可 把两圆的弦联系起
来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。



2019-2020
学年数学中考模拟试卷

一、选择题

1
．如图，
▱
ABCD
中，点
A
在反比例函数
y=
▱
ABCD
的面积为
10
，则
k
的值是（

）

k
(
k

0)
的图像上，点
D
在
y
轴上，点
B
、点
C
在
x
轴 上．若
x

A
．
5
B
．

5

C
．
10
D
．

10

2
．小明参加射击比赛，
10
次射击的成绩如表：

环数

次数

6
3
7
1
8
2
9
1
10
3
若小明再射击
2
次，分别命中
7
环、
9
环，与前
10
次相比， 小明
12
次射击的成绩
(

)
A
．平均数变大，方差不变

C
．平均数不变，方差变大

3
．下列各式因式分解正确的是
( )
A
．
a
+4ab+4b
=(a+4b)

C
．
3a
2
-12b
2
=3(a+4b)(a-4b)
4
．下列计算正确的是（

）

A
．
a

a

a
2

C
．
(
a

1)

a

1

2
2
2
2
2
B
．平均数不变，方差不变

D
．平均数不变，方差变小

B
．
2a
-4ab+9b
=(2a-3b)

D
．
a(2a-b)+b(b-2a)=(a-b)(2a-b)
2
2
2
B
．
2
a
2


3

6
a
6

D
．
a
3

a

a
2

5
．某非物质文化遗产共有
16
名传承艺人，为了了解每位艺人的日均生产能 力，随机调查了某一天每位艺
人的生产件数．获得数据如下表：

生产件数
（件）

10
11
12
13
14
15
人数（人）

1
6
3
3
2
1
从这一天
16
名艺人中随意抽取
1< br>人，则他的这一天生产件数最可能的是（

）

A
．
11
件

B
．
12
件

C
．
13
件

D
．
15
件

6
．由
4
个小立方 体搭成如图所示的几何体，从正面看到的平面图形是（


）


A
．

B
．

C
．

D
．

7
．已知⊙
O
的直径
CD
＝
10cm
，
AB
是⊙
O
的弦，
AB
⊥< br>CD
，垂足为
M
，且
AB
＝
8cm
，则AC
的长为（


）

A
．
2
5
cm
2
B
．
4
5
cm
C
．
2
5
cm
或
4
5
cm D
．
2
3
cm
或
4
3
cm
8< br>．关于
x
的方程
ax
﹣（
3a+1
）
x+2
（
a+1
）＝
0
有两个不相等的实根
x
1
、
x
2
，且有
x
1
﹣
x
1
x2
+x
2
＝
1
﹣
a
，则
a
的 值是（


）

A
．
1
B
．﹣
1
C
．
1
或﹣
1
D
．
2
9
．若点
A
（
a+1
，
b
﹣
2
）在第二象限，则点
B
（﹣
a
，< br>1
﹣
b
）在（


）

A
．第一象限
B
．第二象限
C
．第三象限
D
．第四象限

10
．
如图 ，
已知菱形
ABCD
，
AB=4
，

BAD=12 0

，
E
为
BC
中点，
P
为对角线
BD
上一点，
则
PE+PC
的最小值等于
( )

A.
2
2

B.
2
3

C.
2
5

D.

11
．
用直尺 和圆规作
Rt
△
ABC
斜边
AB
上的高线
CD，
甲、
乙两人的作法如图：
根据两人的作法可判断
（


）


A
．甲正确，乙错误

C
．甲、乙均正确

B
．乙正确，甲错误

D
．甲、乙均错误

12
．由
6
个完全相同的小正 方体组成的立体图形如图所示，其主视图是（




）



A
．

B
．

C
．

D
．

二、填空题

13
．如图，在平面直角坐标系中，点
A
（
0
，
3
）< br>，将△
AOB
沿
x
轴向右平移得到△
A'O'B'
， 与点
A
对应的点
A'
恰好在直线
y
＝
3
x
上，则
BB'
＝
_____
．

2
14
．如图，在边长相同的小正方形网格中，点
A
、
B
、
C
、
D
都在这些小正方形的顶点上，
AB
，
CD
相交于点
P
，则△
PBD
与△
PAC
的面积比为
_ ____
．


15
．把抛物线
y=2
（
x-1
）
+1
向左平移
1
个单位长度，得到的抛物线的解析式为______
．

16
．一元二次方程
x
2
﹣
3x
﹣
2
＝
0
的两根为
x
1
，< br>x
2
，则
x
1
2
+3x
2
+x1
x
2
﹣
2
的值为
_____
．
< br>17
．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为
a
，再由乙猜 甲刚才所想数字，把乙所猜
数字记为
b
，且
a
，
b
分别取
0
，
1
，
2
，
3
，若
a< br>，
b
满足
|a
﹣b|≤1，则称甲、乙两人“心有灵犀”，现任
意找两个玩这个游戏，得出“心有灵犀”的概率为
_____
．

18．一条弦把圆分成
5
：
1
两部分，若圆的半径为
2cm
，此弦长为
_____
．

三、解答题

19
．< br>新昌特色小吃是中华饮食文化宝库中的一块瑰宝，
种类繁多，
色香味美，
著名的 “米海茶”、
“春饼”、
“芋饺”、“炸面”、“炒年糕”等都是新昌特色小吃．一数学兴趣小 组在全校范围内随机抽取了一些同
学进行“我最喜爱的新昌特色小吃”的调查活动，
将调查结果 绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据图
中的信息，解答下列问题：

2

(1)
请将条形统计图补充完整．

(2)
在扇形统计图中，表示“炒年糕”对应的扇形的圆心角是多少度？

( 3)
若该校共有
1200
名学生，请你估计该校学生中最喜爱“米海茶”的学生有多少 人？

20
．如图，已知等边△
ABC
，请用直尺（不带刻度）和圆 规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留
作图痕迹）

（
1
）作△
ABC
的外接圆圆心
O
；
< br>（
2
）设
D
是
AB
边上一点，在图中作出一个等边△
DFH
，使点
F
，点
H
分别在边
BC
和< br>AC
上；

（
3
）在（
2
）的基础上作出一 个正六边形
DEFGHI
．


21
．如图，
AB
为⊙
O
的直径，
C
为⊙
O
上一点，
D为
BC
延长线一点，且
BC
＝
CD
，
CE⊥
AD
于点
E
．

（
1
）求证：直线
EC
为⊙
O
的切线；

（
2
）设
BE
与⊙
O
交于点
F
，
AF
的延长线与
EC
交于点
P
，已知∠
PCF＝∠
CBF
，
PC
＝
5
，
PF
＝3
．求：
cos
∠
PEF
的值．


22
．如图，两条射线
BA//CD
，
PB
和
PC
分别平分∠
ABC
和∠
DCB
，
AD
过点
P
，分别交
AB
，
CD
与点
A
，
D
．

（
1
）求∠
BPC
的度数；

（
2
）若
AD

BA
,

BCD

60

,
BP

2
，求
AB+CD
的值；

（
3
）若
S

ABP
为
a
，
S

CDP
为
b
，
S
< br>BPC
为
c
，求证：
a+b=c
．

23< br>．在平面直角坐标系
xOy
中，直线
y
＝
x+1
与抛 物线
y
＝
ax
+bx+3a
交于点
A
和点
B
，点
A
在
x
轴上．

（
1
）点
A
的坐标为


．

（
2
）①用等式表示
a
与
b
之间的数量关系，并求抛物线的对称轴；②当
3
2
≤AB≤
5
2时，结合函数图
象，求
a
的取值范围．

24
．某种机 器在加工零件的过程中，机器的温度会不断变化
.
当机器温度升高至
40
< br>C
时，机器会自动启动
冷却装置控制温度上升的速度；当温度升到
100

C
时，机器自动停止加工零件，冷却装置继续工作进行降
温；当温度恢复至
40

C
时，机器自动开始继续加工零件，如此往复，机器从
20

C
时开始，机器的温度
y
（

C
）随时间
t
（分）变化的函数图象如图所示
.
2

（
1
）当机器的温度第一次从
40

C
升至
100

C
时，求
y
与
t
之间的函数关系式；

（
2
）冷却装置将机器温度第一次从
100

C
降至
40

C
时，需要多少分钟？

（
3
）机器的温度在
98

C
以上（含
98

C
）时，机器会自动发出 鸣叫进行报警
.
当
0

t

154
时，直 接写出
机器的鸣叫时间
.
25
．一家商店销售某种商品，平均每天可售出< br>20
件，每件盈利
40
元为了扩大销售、增加盈利，该店采取
了降价措 施，在每件盈利不少于
25
元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低
1< br>元，平均每
天可多售出
2
件

（
1
）若降价
3
元，则平均每天销售数量为


件；

（
2
）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200
元？

（
3
）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润的最大值是多少元？





【参考答案】
***
一、选择题

题号

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案

D
D
D
D
A
C
C
B
D
B
二、填空题

13
．
2
14
．
1:9
15
．
y=2x
+1
16
．
7
17
．
2
C
C
5

8
18
．
2cm
三、解答题

19
．< br>(1)
见解析；(2)54°；
(3)60
人
.
【解析】

【分析】

（
1
）由“芋饺”的人数及其所占百分比可得总人数；

（
2
）用
360°乘以“炒年糕”人数所占比例可得；

（
3
）用总人数乘以样本中最喜爱“米海茶”的学生人数所占比例即可得．

【详解】

（
1
）被调查的总人数为
10÷25%＝
40(
人
)
，

则“春饼”对应人数为
40
﹣< br>(2+10+8+6)
＝
14(
人
)
，

补全图形如下：


6
＝54°；

40
2
（
3
）估计该校学生中最喜爱“米海茶”的学生有
1200×
＝< br>60(
人
)
．

40
（
2
）表示“ 炒年糕”对应的扇形的圆心角是
360°×
【点睛】

本题考查条形统计图、 扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的
条件，利用数形结合的 思想解答．

20
．
（
1
）见解析（
2
） 见解析（
3
）见解析

【解析】

【分析】
（
1
）根据垂直平分线的作法作出
AB
，
AC
的垂直平 分线交于点
O
即为所求；

（
2
）取
BF
＝
CH
＝
AD
构成等边三角形；

（
3
）
作新等边三角形边的垂直平分，
确定外心，
再作圆确定另外三点，
六边形DEFGHI
即为所求正六边形．

【详解】

（
1
）如图所示：点
O
即为所求．


（
2
）如图所示，等边△
DFH
即为所求；

（
3
）如图所示：六边形
DEFGHI
即为所求正六边形．


【点睛】

本题考查了作图﹣复杂作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质．

21
．
（
1
）详见解析；
（
2
）
【解析】
【分析】

（
1
）说明
OC
是△
B DA
的中位线，利用中位线的性质，得到∠
OCE=
∠CED=90°，从而得到CE
是圆
O
的切
线．

（
2
）
利用直径上的圆周角，
得到△
PEF
是直角三角形，
利用角相等，
可得到△
PEF
∽△
PEA
、
△
PCF
∽△
PAC
，
从而得到
PC=PE=5
．然后求出
cos
∠< br>PEF
的值．

【详解】

（
1
）证明：∵
CE
⊥
AD
于点
E
∴∠
DEC
＝90°，

∵
BC
＝
CD
，

∴
C
是
BD
的中点，

又∵
O
是
AB
的中点，

∴
OC
是△
BDA
的中位线，

∴
OC
∥
AD
，

∴∠
OCE
＝∠
CED
＝90°，

∴
OC
⊥
CE
，

又∵点
C
在圆上，

∴
CE
是圆
O
的切线；

（
2
）连接
AC
，

4
.
5

∵
AB
是直径，点
F
在圆上

∴∠
AFB
＝∠
PFE
＝90°＝∠
CEA
，

∵∠
EPF
＝∠
EPA
，

∴△
PEF
∽△
PEA
，

∴
PE
2
＝PF×PA，

∵∠
FBC
＝∠
PCF
＝∠
CAF
，

又∵∠
CPF
＝∠
CPA
，

∴△
PCF
∽△
PAC
，

∴
PC
2
＝PF×PA，

∴
PE
＝
PC
，

在直角△
PEF
中，

∴
EF
＝
4
，
cos
∠
PEF
＝
【点睛】

本题考查了切线 的判定、三角形的中位线定理、相似三角形的性质和判定等知识点．利用三角形相似，说
明
PE =PC
是解决本题的难点和关键．

22
．
（
1
） 90°；
（
2
）
4
；
（
3
）证明见解析< br>
【解析】

【分析】

（
1
）根据角平分 线定义和平行线的性质，可得∠
PBC+
∠
PCB
的值，于是可求∠
BPC
的值；

（
2
）在△
ABP
，△
P CD
和△
BCP
中，利用特殊角在直角三角形中的边关系可求
AB+CD的值．

（
3
）利用角平分线性质作垂直证明全等，通过割法获得面积关系．

【详解】

（
1
）∵
BA
∥
CD
，∴∠
ABC+
∠BCD=180°．

∵
PB
和
PC
分别平分∠
ABC
和∠
DCB
，
∴∠
PBC< br>
∠
BCD
）=90°，∴∠BPC=90°；

（
2
）
若∠BCD=60°，
BP=2
，
∴∠ABC=180°－60 °=120°，
∠
PCD

EF
4
=
．

PE
5
1
1
1
∠
ABC
，
∠PCB

∠
BCD
，
∴∠
PBC+
∠
PCB


（∠
ABC+
2
2
2
1
1
∠BCD=30°，
∴∠
ABP

∠ABC=60°．

2
2
3
，
CD=3
，∴
AB+CD=4
．

在
Rt
△
ABP
中，
BP=2
，
AB=1
．在
Rt
△
BCP
中，
CP=2
3．在
Rt
△
PCD
中，
PD
=
（
3< br>）如图，作
PQ
⊥
BC
．

∵∠
ABP=< br>∠
QBP
，∠
BAP=
∠
BQP
，
BP=B P
．

∴△
ABP
≌△
BQP
（
AAS< br>）
．

同理△
PQC
≌△
PCD
（
AAS
）
，∴
S
△
BCP
=S
△
BPQ< br>+S
△
PQC
=S
△
ABP
+S
△
PCD
，∴
a+b=c
．


【点睛】

本题考查了角平分线的性质、含
30°角的直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离
相等是解题的关键．

a

23
．
（
1< br>）
（﹣
1
，
0
）
；
（
2
） ①
b
＝
4a
，
x
＝
-2
；②
< br>1
剟
【解析】

【分析】

（
1
） 令
y
＝
0
，
x+1
＝
0
，则
A< br>点坐标为（﹣
1
，
0
）
，

1
1
1
a
或
剟
.
3
7
5
（
2
）①将（﹣
1
，
0
）代入
y
＝
ax
+bx+3a
，可得
b
＝
4a
，由对称轴
x
＝﹣
②设
B
（
m
，
m+1
）< br>，由
m+1
＝
am
2
+4am+3a
，得
m
＝
合
AB
的取值范围即可求解，

【详解】
解：
（
1
）令
y
＝
0
，
x+1
＝
0
，则
A
点坐标为（﹣
1
，
0
），

故答案为（﹣
1
，
0
）
，
（
2
）①将（﹣
1
，
0
）代入
y
＝< br>ax
2
+bx+3a
，

∴
a
﹣
b +3a
＝
4a
﹣
b
＝
0
，

∴
b
＝
4a
，

∵
x
＝﹣
1
﹣
3
，
AB
＝
a
2
b
＝﹣< br>2
，

2
a
1
2

m
< br>1

＝
2
|m+1|
＝
2
|
﹣2|
，结
a
2
b
＝﹣
2
，

2
a
2
②设
B
（
m
，
m+1
）< br>，

AB
＝
2

m

1

＝
2
|m+1|
，

∵
m+1
＝
am
2
+4am+3a
，
< br>m+1
＝
a
（
m+1
）
（
m+3
）
，

∵m≠﹣
1
，

∴
m
＝
1
﹣
3
，

a
1
﹣
2|
，

a
∴
AB
＝
2
|
∵
3
2
≤AB≤5
2
，

∴
3
2
≤
2
|
1
﹣2|≤5
a< br>2
，

a

∴

1
剟
【点睛】

1
1
1
a
或
剟
.
3
7
5
本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质，熟练掌握交点坐标的含义，不等式的解法是 解
题的关键．

24
．
（
1
）
y

t

36
；
（
2
）冷却装置将机器温度第一次从
100

C
降至
40

C
时，需要
15
分钟；
（
3
）机器工作
154
分钟会鸣叫
5
分钟
.
【解析】

【分析】

（
1）先设函数关系式，再从图中找到时间和温度的对应值，求出自变量，可得机器温度
T
（℃ ）与运行
时间
t
（
h
）的函数关系式；

（
2
）从函数图象可知机器开始第二次工作时的函数值为
40
，将
y

100
代入函数关系式可求出第一次停
机后多少小时机器开始第二次加工；

（
3
）
机器温度第一次由
100

C
降至
40

C
的过程中，
先求
y
与
t
之间的函数关系式．
根据
y
值求
t
值可得
.
【详解】

（
1
）根据图象可设
y

k< br>1
t

b
1
.
由点

4,40
和点

44,80

在函数图象上，可得


4k
1

b
1

40,
解得

44k
1

b
1

80,

k< br>1

1,
∴
y
与
t
之间的函数关系式为y

t

36
.


b
1

36,
（
2
）由（
1
）可得，当
y
100
时，
100

t

36
，得
t

64
，所以冷却装置将机器温度第一次从
100
C
降
至
40

C
时，需要
79
64

15
（分钟）
.
（
3
）设机器温度第 一次由
100

C
降至
40

C
的过程中 ，
y
与
t
之间的函数关系式为
y

k
2< br>t

b
2
.
由点

64k
2

b
2

100,

k
2


4,
64,100
79,40


和点


在函数图象上，可得

79k

b

40,解得

b

356,
∴
y


4t

356
.
当机器
2
2


2
的工作温度为
98

C
时，由
y

t

36
，得
t
1

62
；由
y< br>

4t

356
，得
t
2
64.5
，
t
2

t
1

2.5（分）
.
∵

154

4



79

4


2
，∴
2
< br>2.5

5
（分）
，∴机器工作
154
分钟会鸣叫< br>5
分钟
.
【点睛】

本题主要考查一次函数的实际运用，必须学会从一次函数图象中找到对应的已知条件．

25
．
（
1
）
26
；
（
2
）每 件商品应降价
10
元时，该商店每天销售利润为
1200
元；
（3
）当每件商品降价
15
元
时，该商店每天销售利润最大值为
1 250
元．

【解析】

【分析】

（
1
）根据题意销售单价每降低
1
元，平均每天可多售出
2
件，计算即可
.
（
2
）设出设每件商品应降价
x
元时，该商店每天销售 利润为
1200
元，根据题意列出方程求解即可
.
（
3
） 根据题意设设每件商品降价
n
元时，该商店每天销售利润为
y
元，再根据一元 二次方程求解最大值
即可
.
【详解】

（
1
）若 降价
3
元，则平均每天销售数量为
20+2×3＝
26
件．

故答案为：
26
；

（
2
）设每件商品应降价x
元时，该商店每天销售利润为
1200
元，根据题意，
得（
4 0
﹣
x
）
（
20+2x
）＝
1200
整 理，得
x
2
﹣
30x+200
＝
0
，
< br>解得：
x
1
＝
10
，
x
2
＝
20
要求每件盈利不少于
25
元

∴
x
2＝
20
应舍去，解得
x
＝
10
答：每件商品应降价< br>10
元时，该商店每天销售利润为
1200
元．

反正何以奇-男人面相学

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