数学大师谈数学中的几何美
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2021年01月28日 03:30
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数学大师谈数学中的几何美
“数学跟大自然一样广泛、
丰富，
和大自然走的是相同的
轨道，也共同见证着宇宙的包 容、简洁、稳定”。
今天很高兴在这边做这个演讲，我对文学、人文科学其实都< br>不是很懂，都是自学，所以讲人文方面都是班门弄斧，希望
你们专家能够原谅。今天讲的几何学倒 是我的专长，我研究
几何学
45
年，对几何一直都是很喜欢，我的数学就是从几
何学来，以后更应用到很多方面。
现在我们来讲几何的起源。几何起源很老，基 本上有
4000
年的历史。古代人在生活实践中发现了很多简单的几何图形，
发觉它们 满足了一定的规律——简洁、
明了，
具有一种美感。
于是他们开始研究几何，这种美感 令人赞叹。几何图形，在
埃及、巴比伦都有很多论述，但这些论述都不是系统化的。
1
、泰勒斯。
到公元前
68
年，在 希腊文明中才得到明确的推崇。第一位
对几何有兴趣的希腊哲学家叫泰勒斯（
Thales）
，他开始晓
得不能够用神秘宗教来解释自然，要创造一个演绎的方法，
利用逻辑 的思想来统一自然界与几何的现象。这是一个很大
的突变，以前哪个国家的文化都没有这种想法。
2
、毕达哥拉斯
他的学生 毕达哥拉斯
(Pythagoras)
采取了定理证明的概念，
毕达哥拉斯学派很重要 ，影响了整个西方的科学思想，这里
不是一个人，是一群数学家。他们认为宇宙的实体有两个：
一个是数字，万物都是数字，数的存在是有限方面的实体；
一个是无限的空间，空间是存在的无限的实体 。数字跟空间
合在一起，生出宇宙万象。这个概念一路影响到今天，不仅
仅是几何本身，早在< br>16
世纪发展解析几何的时候，就用到
坐标系统、用到数字来描述，到现在计算机能够用 数字来描
述，世界上一切东西都跟这个有关；而我们看到物体的分布
影响到空间几何，也受到空 间几何的影响，这个概念也是近
代物理爱因斯坦推崇的主要概念。
3
、柏拉图的三个著名几何问题
第三个重要的人物是 柏拉图（
Plato
）
，他是一位哲学家也是
数学家，
他在雅典郊外 成立了一个很出名的学院叫
Academy
（也称柏拉图学园）
，相传他的文章讲“不 懂几何学者，不能
进这个学园的门”，可见柏拉图在希腊学界多么重视几何学。
这种理念也影响 了西方科学相当长的时间。柏拉图虽是哲学
家，但他对数学有很浓厚的兴趣，他认为几何上有五种正多< br>面体，
在三维空间里只有五个正多面体，
跟二维空间不一样。
这个命题在欧几里 得的《几何原本》中被证明。这个命题的
证明并不是很简单，可是这个定理令希腊的哲学家很兴奋，他们认为这是自然界赐予的一个美好的理论。这种理念影响
了很久，甚至到了
19
世纪，伟大的天文学家开普勒，还企
图用此来解释宇宙的结构、身体的运行，不幸地，开普勒的
解释是错误的。可在大自然的晶体里，我们可以找出五种结
构出来，这五个结构影响到今天的数学发展。
柏拉图提出了三个著名的几何问题：三等分一角；构造正方
形 与单位圆同面积；构造立方体，其体积是单位立方体的两
倍。我希望你们在中学学过这三个问题，这三个 问题影响数
学界差不多
2000
多年，
第三个问题在中国、
印度亦出 现过。
如果容许用复杂的机械来解决这三个问题，古代数学家早已
找到答案，但柏拉图坚持我们 用最单纯的几何方法，即只靠
圆规和直尺来构造，也因此这三个问题影响了很久。
第三个问题又叫
Delos
问题，
传说
Delos
城的居民为了解除
太阳神
Apollo
（阿波罗）降给他们的瘟疫，向
De lphi
（智慧
女神）神庙的祭司求救，祭祀要求他们做一个立方体，它的
体积要刚巧 是
Apollo
祭坛立方体的一倍。
他们不懂得怎么解
决，只好向柏拉图请教 。这个问题有很久的历史，可能是蛮
有兴趣的一个传说。
4
、伽罗华群论
柏拉图提出的这三个几何问题直到
19
世纪伽罗华理论
（
Galois Theory
）出现后，才得到完满的解决 。伽罗华是位
年轻数学家，
21
岁就去世了，他解决这个问题的时候才
20< br>岁，留下了很多重要手稿。他去世不是病死也不是其他，而
是为了争女朋友跟一个朋友决斗而亡， 很不幸。他的方法中
是用到一个很重要的概念叫群论，用群论解决了这三个问题。
他们发现这些 问题跟用圆规与直尺构造的数字有密切关系。
他们发现这些数字必须满足一些以整数位系数多项式方程< br>式。然而，假如用圆规与直尺来做的话，这三个问题所产生
的数字（比如√π、
?2）并不能满足这些方程（
1882
年的
Lindemann
证明
π
为超越数，
它不满足任何整数为系数的方
程）
，因此，这些古典问题是不能 用圆规和直尺来解决的。
所以这三个问题是很古老的问题，直到
19世纪用相当高深
的数学才能完满地解决。这三个问题只不过是好奇，可是解
决它们的方法却 影响到近代数学与近代科学的发展。伽罗华
群论成为
20
世纪、
21
世纪最重要的理论之一。
5
、欧几里得五条公理
< br>欧几里得是柏拉图之后集几何学的大成，他由五条公理推到
大量有趣的命题，实开千古科学演绎法 之先河，直接影响到
以后牛顿力学体系。牛顿利用三个基本定律来推导天体的运
行，其中逻辑运 用之妙，无可伦比。
逻辑运用，是很重要的事情，这也是整个中国科学发展缺少< br>的一部分，西方从希腊数学家就开始了。欧几里得其实用了
柏拉图学生亚里士多德发明的三段论证 法。三段论证有大前
提、小前提、结论，看起来简单，可是学生很少明白，中国
的科学也很少用 。
欧几里得就是通过归纳法，发现平面几何上有五条显而易见
的性质。举例来讲，两点可以用一条直线连起来等种种不同
方法，归纳出五条公理，并根据这个公理推导 出平面几何所
有的定理。这是一个漂亮伟大的贡献。
第
5
条公理叫平行公理，在直线外任何一点，必有唯一的直
线通过这点而不与原来的直线相交，就是一个平 行线。我们
都学过这个公理，很多人现在认为可以接受。可是差不多有
20
世纪，哲学家都不大愿意接受这条公理，
他们企图用其他
四条公理去证明，但都没有办法成功。今 天看起来好像简单
的一个问题，
可是哲学家始终不服输，
一路到
19
世纪初期，
算术几何的面世，才发现平行公理是不能用其他四条公理证
明的。
6
、高斯、黎曼、傅里叶
因此，我们又产生了一个新 的几何——算术几何。算术几何
跟平面几何不大一样，平行公理最重要的是影响到算术几何
的诞 生，也影响到几何学对空间观念的完全改变。
算术几何以后，通过两个伟大的几何 学家——高斯与黎曼，
对空间的观念开始完全改变。空间不再是欧式几何那样简单
的一个空间， 而是能够变动、能够影响我们天天看到的物理
现象有关的空间。由于平行公理的变化，从平行移动的观念
引出了内对称的观念，进而影响到高等物理粒子的变化，内
对称主宰一切已知粒子的变化，著名 的物理学家杨振宁先生
的理论就是要从内对称演绎的。近代数学开始影响近代物理
学的发展。< br>
19
世纪伟大的法国数学家傅里叶，
他讲数学可以用来决定最一般的规律，同时也可以量度时间、空间、温度，所以他讲
数学跟大自然一样广泛、
丰富，
和大自然走的是相同的轨道，
也共同见证着宇宙的包容、简洁、稳定。数学是很抽象的，
可是从一个伟大的应用数学家那里，看得出来数学有其自己
的空间、
发展的方法，
不 一定跟其他自然科学有同样的问题，
它是走自己的路。
以简制繁的观念也 影响到艺术的发展。大部分学者认为统御
自然界的共通原理必须简洁，从牛顿、到爱因斯坦、到笛卡尔、
到杨振宁，
都是这样的看法。
所以，
描述自然界的绘画，
或 者表露心灵与自然界交接的诗篇与颂词亦必如此。这种观
念，我认为起源于希腊的基本精神。
调和的思想也可说贯穿了古代数学直到近代数学的发展。数
学的美，使我们与大自然 更为接近，大自然的美开阔了我们
的胸襟，加深了我们的视野。
下面讲讲古希腊人的精神。也是从我父亲的一本书里所引，
我父亲是个哲学家（编者注：丘成桐父亲名 丘镇英）
。英国
一个出名的作者叫狄更逊
（
Dickinson
）< br>在其所著
《希腊人的
人生观》
（
The Greek View of Life
）中说：调和呦！就在这
一字的意义上，我们可以有办法解说希腊文明的主要观念。< br>
希腊人视美与善，身与心，个人与国家、神与人为调和统一
的。
1
、美与善之调和
柏拉图在《理想国》中讲：“美术家能洞鉴美 与善之真性，发
挥之于技术，使吾伎之青年，身之所居，目之所见，耳之所
闻，无一而非善，而 善之真际，即同时流露于其身目，有如
清风之来自蓬莱，
人之灵魂与同情之美，
于不知 不觉之间。”
2
、身与心之调和
希腊大政治家伯里克 理斯（
Pericles
）讲：“我们是美之爱好
者，但我们的趣味是淡雅的，我们陶 冶心灵，但我们也不失
却丈夫气。”
柏拉图在《理想国》中以体育和音乐为教育之基 。前者是养
身，后者是修心，可见注重身心调和。
3
、个人与国家的调和
亚里士多德说“国家系相同的人们，
求达可 能的最善生活的一
种组合。
”所以希腊人绝不能逃避对国家应尽的义务，
但也要
个人的自由，个人与国家在一定分限上调和无间。
4
、神与人的调和
希腊人认为神是美丽而人性的生物。男神是雄伟的美男子 ，
女神是纯洁的美女子。你可以讲它是宗教，其实不是宗教，
这是希腊人的理想，假借众神来表 现。
调和的思想也可说贯穿了古代数学直到近代数学的发展。数
学的美， 使我们与大自然更为接近，大自然的美开阔了我们
的胸襟，加深了我们的视野。也正由于这个原因，从宇 宙的
起源，星球的运行，原子的结构，一直到山水人物的绘画都
有许多几何学家参与其中，进行 研究，做出了基本的贡献。
远古的时候，无论埃及人、巴比伦人、印度人和中国人 都对
历法有浓厚的兴趣。这些关于星体运行的学问，自然牵涉到
几何学。事实上，古希腊人早已 知道如何量度地球的半径和
地球到太阳的距离。
古代中国人对地图的制作 有重要贡献，刘安在《淮南子》中
也讨论了如何计算地日的距离，可见古人一方面好奇，一方
面 由实际需要来发展几何，传说中国同余定理的发现始于历
法的计算。
而希 腊天文学家西帕恰斯发明正弦的概念来测量星体的运
行；托勒密则造弦表，以后阿拉伯和印度数学家将三 角发展
出来，可见天文学对数学的影响。
现在回头再讲数学、
几 何学，
从古希腊想法发展出来的结果，
对毕达哥拉斯学派来讲，万物皆数，第一个他发现音乐可 以
用数字来解释，
这个学问表面上跟几何学毫无关系，
但到
19
世纪 ，傅里叶对波动力学开始研究后，谱分析逐渐在几何学
生根，任何一个图形都有它的谱，这些谱的研究已 经成为几
何学的主流。
是怎么产生的呢？举一个例子来讲，我们设想几何 图形由一
片薄膜做成，比如鼓，可以是用任何几何图形做成的鼓，击
打这个鼓，会发出不同的声 音，这个声音用谱来分析，可以
推测鼓的形状，这是一个重要的问题。也可以看出几何与音
乐的 关系，从几何图形产生的音乐，我们可以推导出几何图
形是怎样的。
音乐 的美由耳朵来感受，几何的美由眼睛来感受。美丽的音
乐与图形都有调和的意义，这是刚才希腊人的调和 之意。这
种调和的意思可以用数学来定义，举个例子，我们固定两端
的琴弦，弹奏时会形成很多 不同的波，这些波由基本的正弦
函数组成，如弦长为
L
，这些函数可写成
si n
（
nx/l
）
，这是个
很漂亮的函数，有调和的意思在里边。
什么叫调和函数？调和函数的定义是这样子，它定义于空间，
并满足于一个重 要性质，即它在每个点上的值等于它在环绕
这点上球的平均值。这些函数有着“中道”的性质，这与希腊
哲学中所追求的中道和儒家的中庸有着共同的意思。所以调
和函数是一个很美妙的函数，每点的 值是一个平均值，不多
也不少。
函数跟我们讲的基本波有很多共同的东西 。击鼓时，鼓的振
动由基本波组成，这些基本波的描述与上述的调和函数极为
相似，也许这就是 音乐和美术有共通之处的原因。
有趣的是，这些基本波都有物理意义。这些波都有 能量，在
一定的条件下，音乐的基本波具有最少的能量。这是物理和
几何学中基本的原则：物质 的状态，总是在具有最低能量时
最稳定。这是个基本的看法，影响了物理学、几何学、数学
几百 年。