3.1.3导数的几何意义教案
余年寄山水
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2021年01月28日 03:30
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3.1.3
导数的几何意义
教学三维目标：
1.
知识与技能：了解平均变化率与割线斜率之间的关系；
2.
过程与方法：理解曲线的切线的概念；
3.
情态与价值：通过 函数的图像直观地理解导数的几何意义并会用导数的几何意义解题；
教学重点：
曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；
教学难点：
导数的几何意义．
教学方法：
讨论法
教学工具：
多媒体
教学课时：
1
课时
教学过程：
创设情景
（一）平均变化率、割线的斜率
（二）瞬时速度、导数
我们知道，
导数表示函数
y
=f
(
x
)
在
x
=
x
0
处的瞬 时变化率，
反映了函数
y
=
f
(
x
)
在< br>x
=
x
0
附近
的变化情况，导数
f
(
x
0
)
的几何意义是什么呢？
新课讲授
< br>（一）曲线的切线及切线的斜率
：如图
3.1-2
，当
P
,2 ,3,4)
沿着曲线
f
(
x
)
n
(
xn
,
f
(
x
n
))(
n
1
趋近于点
P
(
x
0
,
f
(
x0
))
时，割线
PP
n
的变化趋势是什么？
图
3.1-2
我们发现
,
当点
P
n
沿着 曲线无限接近点
P
即
Δ
x
→
0
时
,
割线
PP
n
趋近于确定的位置，这个确定
位置的直线
PT
称为曲线在点
P
处的
切线
.
k
问题：⑴
割线
PP
n
的斜率
k
n
与切线
PT
的斜率
有什么关系？
⑵
切线
PT
的斜率
k
为多少？
- 1 -
容易知道，
割线
PP
n
的斜率是
k
n
< br>f
(
x
n
)
f
(
x
0< br>)
,
当点
P
n
沿着曲线无限接近点
P
时，< br>k
n
无限
x
n
x
0
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
f
(
x
0
)
x
趋近于切线
PT
的斜率
k
，即
k
lim
x
0
说明：
（
1
）
设切线的倾斜角为
α
,
那么当
Δ
x
→
0
时
,
割线
PQ
的斜率
,
称为曲线在点
P
处的切线
的斜率
.
这个概念
:
①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法
;
②切线斜率的本质—函数在
x
x
0
处的导数
.
（
2
）
曲线在某点处的切线
:1)
与该点的位置有关
;2)
要根据割线是否有极限位置来判断与
求解
.
如有极限
,则在此点有切线
,
且切线是唯一的
;
如不存在
,
则在此 点处无切线
;3)
曲线的切
线
,
并不一定与曲线只有一个交点
,
可以有多个
,
甚至可以无穷多个
.
（二）导数的几何意义
：
函数
y
=
f
(
x
)
在
x
=
x
0
处的导数等于在该点(
x
0
,
f
(
x
0
))
处的 切线的斜率，
即
f
(
x
0
)
lim
x
0
f
(
x0
x
)
f
(
x
0)
k
x
说明：
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤
:
①求出
P
点的坐标
;
②
求
出
函
数
在
点
x
0
处
的
变
化
率
f
(
x
0
)
lim
x
0
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
k
，得
到
曲
线
在
点
x
(
x0
,
f
(
x
0
))
的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程
.
（二）导函数
：
由函数f
(
x
)
在
x
=
x
0
处求导 数的过程可以看到
,
当时
,
f
(
x
0< br>)
是一个确定的数，那么
,
当
x
变化时
,
便是
x
的一个函数
,
我们叫它为
f
(
x< br>)
的导函数
.
记作：
f
(
x
)< br>或
y
，
即
:
f
(
x
)
y
lim
x
0
f
(
x
x
)
f
(
x
)
x
注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
（三）函数f
(
x
)
在点
x
0
处的导数
f
(
x
0
)
、导函数
f
(
x
)
、导数
之间的区别与联系。
1
）函数在一点 处的导数
f
(
x
0
)
，就是在该点的函数的改变 量与自变量的改变量之比的极限，
它是一个常数，不是变数。
2
）函数的导数，是指某一区间内任意点
x
而言的，
就是函数
f(x)
的导函数
3
）
函 数
f
(
x
)
在点
x
0
处的导数
f
'
(
x
0
)
就是导函数
f
(< br>x
)
在
x
x
0
处的函数值，
这也 是
求函数
在点
x
0
处的导数的方法之一。
典例分析
- 2 -