导数的几何意义教案 人教课标版(优秀教案)
绝世美人儿
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2021年01月28日 03:32
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关于清明节的日记-学习cad的方法
《导数的几何意义》教案
教
学
过
程
一、创设情境、导入新课
设
计
意
图
老
师
引
导
学
生
.
回顾旧知、引出研究的问题:
回忆联系本节课的< br>前面我们初步了解了一些微积分背景知识,
对有
“微积分之父”
旧知识,
下面探究导
之称的牛顿和莱布尼慈,
也相识了
(幽默:
同时知道当爹的不易 )
,
数的几何意义也是
依据导数概念的形
之后重点学习了函数在
x< br>
x
0
处的导数
f
(
x
0
)
就是函数在该点处的
成,
寻求解决问题的
途径。
瞬时变化率
。那么:
.....
提问:
()
求导 数
f
(
x
0
)
的步骤有哪几步
?
生:总共分三步(拉音,模仿赵本山):
第一步:求增量
y
f
x
x
f
(
x
0
)
第二步:求平均变化率
y
0
;
x
x
f
x
x
f
(
x
0
)
第三步:求瞬时变化率
f
(
x< br>0
)
lim
0
.
x
0
x
教师板书,
便于
学生数形结合探究
导数的几何意义。
突
破
平
均
变
化
率的几何意义,
后面
在表示割线斜率时
能直接联系此知识。
同时引出本节课的
研究问题——导数
几何意义是什么?
(即
< br>x
0
,
平均变化率趋近
于的确定常数
就是该点导数
)
..
....
..
()
观
察
函
数
y
f
(
x
)
的
图
象
,
平
均
变
化
率
y
f
x
0
x
f
(
x
0
)
在图形中表示什么?
x
x
(复习引入用时约
分钟)
生:
平均变化率表示的是割线
PP
n
的斜率
.
y
师:
这就是平均变化率
(
)
的几何意义
,那么瞬 时变化率
.....
.
.
.....
x
y
)
在图中又表示什么呢?今天我们就来探究导数的几何意
x
0
x
义。板书
(
lim
二、引导探究、获得新知
.
动画类比,得到切线的新定义
要
研
究
导
数
的
几
何
意
义
,
结
合
导
数
的
概
念
,
即
要
探
究
x
0
,割线的变化趋势
,看 下面的动画。
.......
以
求
.
导
.
数
.
的
.
两
.
个步骤为 依据
,
从平
......
均变化率的几何意
◆多媒体显示【动画】:
义入手探索导数的
圆上点处的切线和割线,
演示点从右边沿着圆逼近点
,< br>然后再
几
何
意
义
,
抓
住
从左边沿着 圆逼近点
,即
x
0
,割线的变化趋势。
x
0
的联系,在
图形上从割线入手
来研究问题。
带
着
问
题
观
察
教师引导学生 观察割线与切线是否有某种内在联系呢?
借助熟悉的圆
生:
先感 知后发现,当
x
0
,随着点沿着圆逼近点,割线
动画,
中的某点处的割线
无限趋近于点处的切线。
和切线,
学生更易感< br>知当
x
0
,
割线
◆把割线逼近切线的结 论从圆推广到一般曲线,可得:
多媒体显示【动画】:
的变化趋势。
动态演示教材上点
P
n
(
x
0
x
,
f
(
x
0
x
))
沿着曲线
f
(
x
)
趋近于
用逼近的方法体
点
P
(
x
0
,
f< br>(
x
0
))
时,割线
PP
n
的变化趋势图。
会割线逼近切线,
消
除学生对极限的神
师:
类比【动画】 ,当点
P
n
(
x
0
x
,f
(
x
0
x
))
沿着曲线
f
(
x
)
趋
秘感。
近于点
P
(
x
0
,
f
(
x
0
))
时,即< br>
x
0
,研究割线
PP
n
的变化趋势。< br>
肯
定
学
生< br>的
研
究结果,
并引导学生
把这种由割线逼近
的方法得到切线推
广到一般曲线,
并由
此得出割线的变化< br>趋势,
为研究几何意
义做好铺垫。
两个动画,
探索
一般曲线中的切线
学生观察【动画】,类比得出
一般曲线的切线定义
:
定义,
让不同程度的
学生都能借助直观
当点
P
n
(x
0
x
,
f
(
x
0
x
))
沿着曲线
f
(
x
)
逼近点
P
(
x
0
,
f
(
x
0< br>))
的图象感知和发现,
得出:
x
0
,
割
时,
即
x
0
,
割线
PP
n
趋近于确定的位置,
这个确定位置上的
线逼近该点处的切
直 线称为
点处的切线。
线
突破研究的难点
:
< br>x
0
,割线
PP
n
点处的切线
那么:
x
0
,割线的斜率
?与导数
f
(
x
0
)
又有何关系
呢?进行下面的 探究活动。
.
数形结合,探究导数的几何意义
结合【动画】的变化过程,探究导数的几何意义。
【探究一】
.
已知曲线上两点
P
(
x
0
,
f
(
x
0
)),
P
n
(
x
0
x
,
f
(
x
0
x
))< br>,求:
()
结合两点坐标,割线
PP
n
的斜率k
n
可表示为什么?
生:
k
n
f
x
0
x
f
(
x
0
)
x
(直观获得切线的
定义,
至此用时约分
钟)
感知联系,< br>运用
数形结合的方法研
究数值表示。
从直观
感知到数式研究相
对照,
有利于大多数
学生主动建构知识,
进而得出导数的几
何意义。
要
求
学
生
善
于
归纳和总结并深入
体会知识间的联系。
()
结合
x
0
,割线
PP
n
→切线,则切线的斜率
k
可表
示为什么?
f< br>
x
0
x
f
(< br>x
0
)
生:
k
lim
x
0
x
.
你能发现导数的几何意义吗?
< br>生:
函数
f
(
x
)
在
x
x
0
处的导数就是曲线在该点处的切线斜
率
k
,即:
k
lim
x
0
f
x
0
x
f
(
x
0
)
f
(
x
0
)
x
.
在上面的研究过程中,某点处的割线斜率与切线斜率与某点
附近的平均变化率和瞬时 变化率有何联系?
x
0
瞬时变化率
生:
平均变化率
x
0
割线的斜率
切线的斜率
三、探索小结、重点讲评
.
获得导数的几何意义
借
助
实
物
投
影
◆学生快速探究活动后, 展示研究成果,教师重点讲评:
仪,展示学习成果,
学生经历了完整的
割线
PP
n
的斜率是
k
n
f
(
x< br>0
x
)
f
(
x
0< br>)
,
(
x
0
x
)
x
0
探究过程后,
教师的
讲评就可以有针对
当点
P
n
沿着曲线无限接近点时,
k
n
无限趋近于切线的斜率
k< br>,
性和详略,
学生也可
以结合自己探究的
即
k
lim
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
f
(
x
0
)
x
0
x
体 会更好地建构知
识。
切线的斜率
k
即为函数在
x
x
0
处的导数。
导数的几何意义:
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
f
(
x
0
)
lim
x
0
x< br>
曲线在
x
x
0
处的切线的斜率
k
师:
由导数的几何意义,我们可以解决
哪些问题
?
生:
已知某点处的导数或者切线的斜率可以求另外一个量。
y
l
1
A
突破导数的几何
意义这个学习重点。
l
2
B
x
C
初中平面几何中,
圆的切线的
的定义:直线和圆有惟一公共点< br>时,叫做直线和圆相切。这时,
直线叫做圆的切线,惟一的公共
点叫做切点。
圆是一种特殊的曲线。这种
定义并不适用于一般曲线的切
线。
例如上图中,
直线
l
1
虽然与曲
线有惟一的公共点,但我们不能< br>认为它与曲线相切;而另一条直
线
l
1
虽然与曲线有不只一个公共点,我们还是认为它是曲线的切
线。因此,以上圆的切线定义并
不适用于一般的曲线。
通过逼近的方法,
将割线趋于
确定位置的直线定义为切线(交
点可能不 惟一),适用于各种曲
.
了解以直代曲思想
把点附近 函数的图象放大,引导学生理解以直代曲思想是指
某点附近一个很小的研究区域内,曲线与切线的变化趋 势基本一
致,故可由曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线。
师:
在某点附近一个很小的研究区域内,曲线与切线的变化趋
势有何关系? 如果切线的斜率为正,则该点附近曲线的增减情况
怎样?
生:
点附近,曲线 和该点处的切线的增减变化情况一致。如果
切线的斜率为正,则该点附近曲线呈上升趋势。
P
通
过
将
曲
线
一
点处的局部“ 放大、
放大、
再放大”
的直
观方法,
形象而逼真
地再现“以 直代曲”
思想。
渗
透
用
导
数
的
几何意义研究函数
的增减性
至此突破学习重
点和难点,
用时约分
钟
P
P
四、知识应用、巩固理解
.
导数几何意义的应用
例题:简单小题
例
题< br>:
如
图
,
它
表
示跳
水
运
动
中
高
度
随
时
间
变
化
的
函
数
h
(
t
)
4
.
9
t
2
6
.
5
t
10
的图象。
见学案
“学
生活
动”
要< br>求
学
生
动
脑
(
审题
),
动手
(
画切
线
)
,动口
(
讨论
)
,
体会利用导数的几